八年级数学上册三角形解题技巧

“三线”误中悟 错误变财富

一、错误理解中线

例1 如图1，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，且ADC ABD S S ∆∆=，

则AD 为（ ）

A ．高

B ．角平分线

C ．中线

D ．不能确定 错解：选A 或B ．

剖析：有的同学一看到面积就认为与高相关，错选A ；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，错选 B.因为△ABD 与△ACD 同高，设高为h ，又ADC ABD S S ∆∆=，即

21BD ·h =2

1CD ·h ，所以BD =CD.由此可知，AD 为△ABC 的边BC 上的中线． 正解：选C ．

对症训练：1. 可把三角形分为面积相等的两部分的是（ ）

A ．三角形的角平分线

B ．三角形的中线

C ．三角形的高

D ．以上都不对

二、错误理解角平分线

例2 如图2，已知∠1＝∠2，则AH 必为△ABC 的（ ）

A ．角平分线

B ．中线

C ．一角的平分线

D ．角平分线所在射线

错解：选A 或C ．

剖析：只注意平分内角而忽视了三角形的角平分线为线段这一条件，错选A 或C. 正解：选D.

对症训练：2.下列说法中正确的是（ ）

A ．三角形的角平分线和中线都是线段

B ．三角形的角平分线和中线都是射线

C ．三角形的角平分线是射线，而中线是线段

D ．三角形的角平分线是线段，而中线是射线

三、错误理解高 例3如图3，AE ⊥BC 于点E ，试问：以AE 为高的三角形有哪些？

错解：以AE 为高的三角形有：△ABC ，△ADC ． 剖析：错认为三角形的高一定是在三角形的内部，忽视了钝角三角形的高可以在三角形外部漏掉△ABD ，直角三角形的高可以与边重合漏掉了以AE 为直角边的直角三角形． 正解：以AE 为高的三角形有：△ABC ，△ADC ，△ABD ，△ADE ，△ACE ，△ABE ．

对症训练参考答案：1.B 2. A

平行线牵手三角形的角

图3 图1

一、平行线牵手三角形内角

例1 如图1，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，20A ∠=︒，100COD ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）

A ．80°

B ．70°

C ．60°

D ．50°

分析:根据平行线性质求出∠D ，利用三角形的内角和定理得出

∠C=180°-∠D-∠COD ，代入求出即可．

解：因为AB ∥CD ，所以∠D=∠A=20°.

因为∠COD=100°，所以∠C=180°-∠D-∠COD=60°.故选C ．

点评：本题考查了三角形的内角和定理与平行线性质的应用，关键是求出∠D 的度数. 例2 如图2,点B ，C ，E ，F 在同一条直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF .若∠B =∠F =72°,则∠D = 度.

分析:根据“两直线平行，同位角相等”可得∠DCE =∠B ，

∠DEC =∠F ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．

解：因为AB ∥DC ，DE ∥GF ，所以∠DCE =∠B ，∠DEC =∠F .又

∠B =∠F =72°，所以∠DCE =∠DEC=72°.

在△CDE 中，∠D =180°－∠DCE －∠DEC =180°－72°－72°=36°．故填36． 点评：先利用平行线的性质将已知角转移到同一个三角形中，再用三角形的内角和定理解题．

二、平行线牵手三角形外角

例3 如图3，AB ∥CD ，∠ABE =60°，∠D =50°，则∠E 的度数为（ ）

A ．30°

B ．20°

C ．10°

D ．40° 分析: 由AB ∥CD ，易知∠EFC =∠AB

E =60°，利用三角形外角的性质求得∠E 的度数．

解：因为AB ∥CD ，∠ABE =60°，所以∠EFC =∠ABE =60°．

因为∠D =50°，所以∠E =∠EFC －∠D =60°－50°=10°.故选C ． 点评：根据平行线的性质进行角

三角形的角新题展示

一、定义新概念型

例1 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．

解析: 根据题目给出的定义，得∠α=100°，所以2∠β=100°，即∠β=50°.所以这个“特征三角形”的最小内角为180°-100°-50°=30°.故填30°.

点评:解题的关键在于掌握新定义类题目的解法，读懂题目的定义，根据定义来求得具体角度.

二、学科综合型

例2 如图1所示，∠AOB 的两边OA ，OB 均为平面反光镜，∠AOB =35°，在OB 上有一点E .从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰

D F C

E B A 图3 图1 图2 A 72°

C E D

72°G 第5题C

B

A E

D

图1

好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（ ）

A ．35° B. 70° C. 110° D. 120° 解析:由DC ∥O

B ，得∠AD

C =∠AOB =35°.又由入射角与反射角相等，可推得∠ADC =∠ODE =35°.因为∠DEB 是△ODE 的一个外角，所以∠DEB =∠ODE +∠AOB =70°.故选B.

点评：掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等. 三、规律探索型

例3 如图2，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013= 度.

解析:根据角平分线的性质、三角形外角的性质解题．

因为A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，所以∠A 1BC=1

2

∠ABC ，∠A 1CD=

1

2

∠ACD. 所以∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+1

2

∠ABC. 所以∠A 1=

1

2

（∠ACD-∠ABC ）. 因为∠A+∠ABC=∠ACD ，所以∠A=∠ACD-∠ABC. 所以∠A 1=

12∠A. 所以∠A 1=2m ⎛⎫︒ ⎪⎝⎭

. 同理，由∠A 1=

12∠A ，可得∠A 2=12∠A 1=212

∠A ，…，以此类推得∠A 2013=20131

2∠

A=20132m

⎛⎫

︒

⎪⎝⎭

.故填2013

2m . 点评:解题的关键是推导出∠A 1=1

2

∠A ，然后找出规律．

三角形的应用生活秀

一、有几种选法

例1 小明要制作一个三角形木架，现有两根长度分别为8 cm 和5 cm 的木棒，如果要求第三根木棒的长度是整数，小明有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？

解：由三角形的三边关系很容易得到，小明有9种选法.第三根木棒的长度可以是4 cm 、5 cm 、6 cm 、7 cm 、8 cm 、9 cm 、10 cm 、11 cm 、12 cm .

图2