子群的陪集
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又任取 x H ．由于 a H ，故 a1x H ，且
x a(a1x) H .
从而又有 H aH ．因此 aH H ．
2020/4/20
3) baH aH bH ． 证明 设 b aH ．令 b ax(x H ) ，则由 2)有 bH axH aH 。反之，设 aH bH ．则因 b bH ，故 b aH ． 4) aH bH ，即 a 与 b 同在一个左陪集中
现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：
2020/4/20
(1) 在 Z 4 中剩余类 0 ,8,4,0,4,8, 4Z 4n n Z 是 整数加群Z,的一个子群. 而其余的剩余类1,2,3都 不是 Z ,的子群. (2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类0有着 密切的联系.譬如, 1就是用代表元 1 与0中每个元素相 加所成的剩余类, 1即恰是用0中每个元素都加上 1 而 形成的.一般地, Z4 中的每个剩余类i都是由0中每个元 素普遍加上 i (或加上i中任取定的一个元素)而形成的.其
思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/4/20
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
2020/4/20
第 12 讲
第二章 群 论
§7 子群的陪集 (2课时)
（Coset of subgroup）
2020/4/20
本讲的教学目的和要求： 在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集
H（13） H (132) {(13),(132)};
2020/4/20
H (23) H (123) {(23),(123)}.
说明 1 在引例 2 中,自然有 H H1, K H13 H123 , M H 23 H 132 . 所以有 S3 的分类 S3 H H 13 H 23.
a 叫做代表元. 2）形如 aH 的子集叫做子群 H 的一个左陪集,其中 a 叫
做代表元. 由此可见,子群 H 的陪集正是 H 与元素 a 相乘的积,当
a 从右方去乘 H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.
2020/4/20
例 1 设 H {(1),(12)},求 S3 关于 H 的所有左陪集以 及右陪集.
（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能 掌握。
（3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项 需要了解。
（4）Lagrange 定理和推论本身的掌握以及有关理 论应用需要掌握。
2020/4/20
本讲的重点和难点： 本节的内容中重点是对陪集概念的
了解和 lagrange 定理的应用，而难点在于 学会并掌握有关陪集理论的命题的证明。
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
2020/4/20
定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
2020/4/20
一、陪集的引入
引例 1 对整数加群Z,而言，取定模 4，则可确定 Z 的
一个分类： Z4 0,1,2,3。其中 Z 中的 4 个剩余类分别为： 0 ,8,4,0,4,8, 1 ,7,3,1,5,9, 2 ,6,2,2,6,10 3 ,5,1,3,7,11,
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个类中任取定的一个元素.
具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内 容.(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
2020/4/20
定义 1 (集合的积) 设 X 和Y 是群 G 的二个 非空子集,于是 X 与Y 的积记为
113 13， 1213 123
(或者说是由(123)右乘 H 中每个元素而形成的类).同理, M 是由 (23)(或(132))右乘 H 中每个元素形成的类.
2020/4/20
总之, 中每个类,都是由本类中任取定一元素右 乘 H 中每个元素而得到的.
上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但 它们的分类都有一个共同的特点：
解 S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)},
H 的所有左陪集为: (1)H (12)H {(1), (12)} H ;
wk.baidu.com(13)H (123)H {(13),(123)} ;
(23)H (132)H {(23),(132)}．
H 的所有右陪集为: H (1) H (12) {(1), (12)};
合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
2020/4/20
在本讲的学习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。
中20i20/04,1/2,20,3 .
引例 2. 给定三次对称群
S3 1,12,13,23,123132 的一个分类 H, K, M.其中 这三个分列为: H 1,12， K 13,123， M 23,132 。
同上例一样可以发现： (1) 分类 中只有 H 是 S3 的子群，而 K, M 都不是 S3 的子群。 (2) K 恰是由(13)右乘 H 中每个元素而形成的类:
x a(a1x) H .
从而又有 H aH ．因此 aH H ．
2020/4/20
3) baH aH bH ． 证明 设 b aH ．令 b ax(x H ) ，则由 2)有 bH axH aH 。反之，设 aH bH ．则因 b bH ，故 b aH ． 4) aH bH ，即 a 与 b 同在一个左陪集中
现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：
2020/4/20
(1) 在 Z 4 中剩余类 0 ,8,4,0,4,8, 4Z 4n n Z 是 整数加群Z,的一个子群. 而其余的剩余类1,2,3都 不是 Z ,的子群. (2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类0有着 密切的联系.譬如, 1就是用代表元 1 与0中每个元素相 加所成的剩余类, 1即恰是用0中每个元素都加上 1 而 形成的.一般地, Z4 中的每个剩余类i都是由0中每个元 素普遍加上 i (或加上i中任取定的一个元素)而形成的.其
思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/4/20
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
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2020/4/20
第 12 讲
第二章 群 论
§7 子群的陪集 (2课时)
（Coset of subgroup）
2020/4/20
本讲的教学目的和要求： 在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集
H（13） H (132) {(13),(132)};
2020/4/20
H (23) H (123) {(23),(123)}.
说明 1 在引例 2 中,自然有 H H1, K H13 H123 , M H 23 H 132 . 所以有 S3 的分类 S3 H H 13 H 23.
a 叫做代表元. 2）形如 aH 的子集叫做子群 H 的一个左陪集,其中 a 叫
做代表元. 由此可见,子群 H 的陪集正是 H 与元素 a 相乘的积,当
a 从右方去乘 H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.
2020/4/20
例 1 设 H {(1),(12)},求 S3 关于 H 的所有左陪集以 及右陪集.
（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能 掌握。
（3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项 需要了解。
（4）Lagrange 定理和推论本身的掌握以及有关理 论应用需要掌握。
2020/4/20
本讲的重点和难点： 本节的内容中重点是对陪集概念的
了解和 lagrange 定理的应用，而难点在于 学会并掌握有关陪集理论的命题的证明。
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
2020/4/20
定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
2020/4/20
一、陪集的引入
引例 1 对整数加群Z,而言，取定模 4，则可确定 Z 的
一个分类： Z4 0,1,2,3。其中 Z 中的 4 个剩余类分别为： 0 ,8,4,0,4,8, 1 ,7,3,1,5,9, 2 ,6,2,2,6,10 3 ,5,1,3,7,11,
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个类中任取定的一个元素.
具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内 容.(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
2020/4/20
定义 1 (集合的积) 设 X 和Y 是群 G 的二个 非空子集,于是 X 与Y 的积记为
113 13， 1213 123
(或者说是由(123)右乘 H 中每个元素而形成的类).同理, M 是由 (23)(或(132))右乘 H 中每个元素形成的类.
2020/4/20
总之, 中每个类,都是由本类中任取定一元素右 乘 H 中每个元素而得到的.
上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但 它们的分类都有一个共同的特点：
解 S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)},
H 的所有左陪集为: (1)H (12)H {(1), (12)} H ;
wk.baidu.com(13)H (123)H {(13),(123)} ;
(23)H (132)H {(23),(132)}．
H 的所有右陪集为: H (1) H (12) {(1), (12)};
合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
2020/4/20
在本讲的学习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。
中20i20/04,1/2,20,3 .
引例 2. 给定三次对称群
S3 1,12,13,23,123132 的一个分类 H, K, M.其中 这三个分列为: H 1,12， K 13,123， M 23,132 。
同上例一样可以发现： (1) 分类 中只有 H 是 S3 的子群，而 K, M 都不是 S3 的子群。 (2) K 恰是由(13)右乘 H 中每个元素而形成的类: