高考数学做选择题的技巧及例题

（一）数学选择题的解题法

1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再

与选择支对照，从而作出选择的一种法。运用此种法解题需要扎实的数学基础。

例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目

标的概率为 （ ）

125

27.12536.12554.12581.D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。

125

27)106(104)106(333223=⨯+⨯⨯C C 故选A 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9

2

y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ）

A ．11

B ．10

C ．9

D ．16

解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8，两式相加后将

|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。

例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值围是（ ）

A ．（0，1）

B ．（1，2）

C ．（0，2）

D ．[2，+∞）

解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ log (2)a y ax =-在[0，1]上是减函数。

∴a>1，且2-a>0，∴1

2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、

特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则

它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的法。用特例法解选择题时，特例取得

愈简单、愈特殊愈好。

（1）特殊值

例5、若sin α>tan α>cot α(24παπ<<-

)，则α∈（ ） A ．(2π-，4π-) B ．（4π-，0） C ．（0，4π） D ．（4π，2

π） 解析：因24παπ<<-，取α=－6

π代入sin α>tan α>cot α，满足条件式，则排除A 、C 、D ，故选B 。

例6、一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ）

A ．－24

B ．84

C ．72

D ．36

解析：结论中不含n ，故本题结论的正确性与n 取值无关，可对n 取特殊值，如n=1，

此时a 1=48,a 2=S 2－S 1=12，a 3=a 1+2d= －24，所以前3n 项和为36，故选D 。

（2）特殊函数

例7、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]

上是（ ）

A.增函数且最小值为－5

B.减函数且最小值是－5

C.增函数且最大值为－5

D.减函数且最大值是－5

解析：构造特殊函数f(x)=

3

5x ，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C 。

例8、定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ）

A ．①②④

B ．①④

C ．②④

D ．①③

解析：取f(x)= －x ，逐项检查可知①④正确。故选B 。

（3）特殊数列

例9、已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有 （ ） A 、11010a a +> B 、21020a a +< C 、3990a a += D 、5151a =

解析：取满足题意的特殊数列0n a =，则3990a a +=，故选C 。

（4）特殊位置

例10、过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+q

p 11 （ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a

4 解析：考虑特殊位置PQ ⊥OP 时，1||||2PF FQ a

==，所以11224a a a p q +=+=，故选C 。

（5）特殊点

例12、设函数()2(0)f x x x =+≥，则其反函数)(1x f -的图像是 （ ）

A 、

B 、

C 、

D 、 解析：由函数()2(0)f x x x =+≥，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊

点(2,0)及(4,4)都应在反函数f －1(x)的图像上，观察得A 、C 。又因反函数f －1(x)的定义域为

{|2}x x ≥，故选C 。

（6）特殊程

例13、双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos

2α等于（ ） A ．e B ．e 2 C ．e 1 D ．21e

解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊程来考察。

取双曲线程为42x －12y =1，易得离心率e=25,cos 2α=5

2，故选C 。 （7）特殊模型

例14、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么

x y 的最大值是（ ） A ．21 B ．

33 C ．2

3 D ．3 解析：题中x y 可写成00--x y 。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=1212x x y y --，可将问题看成圆(x －2)2+y 2

=3上的点与坐标原点O 连线的斜率的最大值，即得D 。 3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几意义，将数的问题(如解程、解不等式、求最值，求取值围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。 例15、已知α、β都是第二象限角，且cos α>cos β，则（ ） A ．α<β B ．sin α>sin β C ．tan α>tan β D ．cot αcos β找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B 。 例16、已知a r 、b r 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a r ＋3b r |= （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 解析：如图，a r ＋3b r ＝OB uuu r ，在OAB ∆中，||1,||3,120,OA AB OAB ==∠=∴o u u u r u u u r Q 由余弦定理得｜a r ＋3b r |=｜OB uuu r ｜＝13，故选C 。

例17、已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 解析：等差数列的前n 项和S n =2d n 2+(a 1-2d )n 可表示 为过原点的抛物线，又本题中a 1=-9<0, S 3=S 7,可表示如图， 由图可知，n=52

73=+,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛 物线的对称轴，所以n=5时S n 最小，故选B 。

4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

例19、程lg 3x x +=的解0x ∈ ( )

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，+∞）

解析：若(0,1)x ∈，则lg 0x <，则lg 1x x +<；若(1,2)x ∈，则0lg 1x <<，则1lg 3x x <+<；若(2,3)x ∈，则0lg 1x <<，则2lg 4x x <+<；若3,lg 0x x >>,则3 5 7 O n n S O A B a r 3b r b r a r ＋3b r