几何图形中的最值问题
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几何图形中的最值问题
引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:
1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5.
3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之Байду номын сангаас大于第三边，两边之差小于第三边。
∴DN+MN的最小值是10。
例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=300,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是
解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P，则PA+PB最短。
连OB，OA/,
∵∠AMN=300,B是弧AN的中点，
∴∠BOA/=300, 根据对称性可知
∴∠NOA/=600, ∴∠MOA/=900,
在Rt△A/BO中，OA/=OB=1,
∴A/B= 即PA+PB=
例3.如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E关于直线y=x的对称点M，
连MD交直线y=x于P，连PE，
∵∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″
＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°，
故选：B．
6.（2011•贵港）如图所示，在边长为2的正△ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是
解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，
只要使BP+PG最短即可，
连接AG交EF于M，
∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4× =2
故答案为2
3.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是______．
解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，
连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），∴OA=9，
∵tan∠BOA= ∴AB=3 ，∠B=60°，
【答案】15。
【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，
连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
一、最小值问题
例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。
解: 作点D关于AC的对称点D/，则点D/与点B重合，连BM,交AC于N，连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM= =10,
在Rt△BCD中，由勾股定理得 。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
则DF即为PQ+DQ的最小值．
∴AG⊥BC，EF∥BC，
∴AG⊥EF，AM=MG，
∴A、G关于EF对称，
即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
AP=PG，BP=BE，
最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案为：3．
7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标是（9，0），tan∠BOA= ，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P/Q，PC，
则P/Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，
当点Q与点C重合，CP/⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP/中，∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴CP/=BC•sinB=2×=．
5. (2012兰州)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130°B．120°C．110°D．100°
解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
则PE+PD最短；即PE+PD=MD。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N，
则MN⊥ND,又∵D(1,-3),则N(1,-1),
在Rt△MND中,MN=5,ND=2, ∴MD= = 。
∴最小值是 。
练习
1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲cm．
解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上，
且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短，即为B/H最短。
在Rt△AHB/中，
∠B/AH＝45°，AB/=4，
∴B/H=4,
∴BM＋MN的最小值是4.
4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为，
引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:
1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5.
3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之Байду номын сангаас大于第三边，两边之差小于第三边。
∴DN+MN的最小值是10。
例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=300,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是
解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P，则PA+PB最短。
连OB，OA/,
∵∠AMN=300,B是弧AN的中点，
∴∠BOA/=300, 根据对称性可知
∴∠NOA/=600, ∴∠MOA/=900,
在Rt△A/BO中，OA/=OB=1,
∴A/B= 即PA+PB=
例3.如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E关于直线y=x的对称点M，
连MD交直线y=x于P，连PE，
∵∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″
＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°，
故选：B．
6.（2011•贵港）如图所示，在边长为2的正△ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是
解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，
只要使BP+PG最短即可，
连接AG交EF于M，
∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4× =2
故答案为2
3.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是______．
解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，
连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），∴OA=9，
∵tan∠BOA= ∴AB=3 ，∠B=60°，
【答案】15。
【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，
连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
一、最小值问题
例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。
解: 作点D关于AC的对称点D/，则点D/与点B重合，连BM,交AC于N，连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM= =10,
在Rt△BCD中，由勾股定理得 。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
则DF即为PQ+DQ的最小值．
∴AG⊥BC，EF∥BC，
∴AG⊥EF，AM=MG，
∴A、G关于EF对称，
即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
AP=PG，BP=BE，
最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案为：3．
7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标是（9，0），tan∠BOA= ，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P/Q，PC，
则P/Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，
当点Q与点C重合，CP/⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP/中，∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴CP/=BC•sinB=2×=．
5. (2012兰州)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130°B．120°C．110°D．100°
解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
则PE+PD最短；即PE+PD=MD。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N，
则MN⊥ND,又∵D(1,-3),则N(1,-1),
在Rt△MND中,MN=5,ND=2, ∴MD= = 。
∴最小值是 。
练习
1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲cm．
解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上，
且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短，即为B/H最短。
在Rt△AHB/中，
∠B/AH＝45°，AB/=4，
∴B/H=4,
∴BM＋MN的最小值是4.
4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为，