设随机变量X的概率密度为
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第四章
随机变量的数字特征
数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数 契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征
引言
分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求
分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。 由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。
本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方
差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。
§1、数学期望
【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，
击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。 枪手每次射击的得分X是一 个随机变量，其分布律为
II I III
X pk
0 来自百度文库0
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
(2)
x) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f ( 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
e , x 0, f ( x) x 0. 0,
1 4
x 4
300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。 设售出一台设备的净赢利为 X 1, 100, a( X ) 200, 0 X 1.
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
1 p1
2 p2
现射击N次,其中得0分的有 a0 次,得1分的有 a1次, 得2分的有 a2 次, a0 a1 a2 N . 于是,射击N次 的总分为
0 a0 1 a1 2 a2 .
从而,每次射击的平均分为 2 0 a0 1 a1 2 a2 ak k . N N k 0 在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时, ak pk PX k ,故当N很大时, 频率 接近于概率
1 0 x 1500, 1500 2 x, 1 f ( x) 15002 (3000 x), 1500 x 3000, 0, 其它. 求E(X)。 分段函
数的积 〖解〗这是连续型随机变量。由数学期望定义得：
E( X ) xf ( x)dx
1500
E( X1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分) E( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分)
由 E( X1 ) E( X 2 ) 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。□
【例2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为
N
2 ak k k pk . N k 0 k 0 2
这表明:随着试验次数增大 ,随机变量X的观察值的算 2 术平均 k ak 接近于
k 0
N
k p
k 0
2
k
,
称后者为随机变量X的数学期望(均值).
一、概念
定义1 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为
离散型 xk pk , k 1 E ( X ) xf ( x)dx, 连续型
1 1 1500 [ 2 3 x |
0 3 1500 0
分
x2 1500 2
dx
3000 x ( 3000 x ) 1500
1500 2
dx
3 2 3000 ( 1 x 150 x ) |1500 ] 3
1500 (分) □
二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
【例3】
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
E (Y ) E[ g ( X )] g (k ) P{ X k}
(1)
x) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f ( 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其
分布律分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 X2 pk 0 1 2 0.6 0.3 0.1
试评定甲乙成绩的优劣。 〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得：
定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数， 则Z也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xi , y j ) pij , i 1 j 1 (3) E ( Z ) E[ g ( X , Y )] g ( x, y ) f ( x, y )dxdy, 连续型
k 1
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 5 2 □ 6 6 6 6 6 6
【例4】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从
指数分布,其概率密度为
工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费
x, y) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, pij , f (分 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。
cov(X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} —X与Y的协方差（§4）
其中k,m为自然数。
可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
E[a( X )] a( x) f ( x)dx
(200) e dx 100 e dx
随机变量的数字特征
数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数 契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征
引言
分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求
分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。 由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。
本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方
差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。
§1、数学期望
【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，
击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。 枪手每次射击的得分X是一 个随机变量，其分布律为
II I III
X pk
0 来自百度文库0
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
(2)
x) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f ( 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
e , x 0, f ( x) x 0. 0,
1 4
x 4
300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。 设售出一台设备的净赢利为 X 1, 100, a( X ) 200, 0 X 1.
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
1 p1
2 p2
现射击N次,其中得0分的有 a0 次,得1分的有 a1次, 得2分的有 a2 次, a0 a1 a2 N . 于是,射击N次 的总分为
0 a0 1 a1 2 a2 .
从而,每次射击的平均分为 2 0 a0 1 a1 2 a2 ak k . N N k 0 在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时, ak pk PX k ,故当N很大时, 频率 接近于概率
1 0 x 1500, 1500 2 x, 1 f ( x) 15002 (3000 x), 1500 x 3000, 0, 其它. 求E(X)。 分段函
数的积 〖解〗这是连续型随机变量。由数学期望定义得：
E( X ) xf ( x)dx
1500
E( X1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分) E( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分)
由 E( X1 ) E( X 2 ) 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。□
【例2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为
N
2 ak k k pk . N k 0 k 0 2
这表明:随着试验次数增大 ,随机变量X的观察值的算 2 术平均 k ak 接近于
k 0
N
k p
k 0
2
k
,
称后者为随机变量X的数学期望(均值).
一、概念
定义1 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为
离散型 xk pk , k 1 E ( X ) xf ( x)dx, 连续型
1 1 1500 [ 2 3 x |
0 3 1500 0
分
x2 1500 2
dx
3000 x ( 3000 x ) 1500
1500 2
dx
3 2 3000 ( 1 x 150 x ) |1500 ] 3
1500 (分) □
二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
【例3】
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
E (Y ) E[ g ( X )] g (k ) P{ X k}
(1)
x) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f ( 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其
分布律分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 X2 pk 0 1 2 0.6 0.3 0.1
试评定甲乙成绩的优劣。 〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得：
定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数， 则Z也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xi , y j ) pij , i 1 j 1 (3) E ( Z ) E[ g ( X , Y )] g ( x, y ) f ( x, y )dxdy, 连续型
k 1
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 5 2 □ 6 6 6 6 6 6
【例4】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从
指数分布,其概率密度为
工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费
x, y) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, pij , f (分 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。
cov(X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} —X与Y的协方差（§4）
其中k,m为自然数。
可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
E[a( X )] a( x) f ( x)dx
(200) e dx 100 e dx