数形结合思想在集合学习中的应用举例
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２ ０ １ ２ 年第 ３ 期
数形结合思想在集合学习中的应用举例
■ 邹爱英
也是很多数学概念建立 集合是高中数学 的 第 一 个 概 念 ， 学好集合非 常 重 要 ． 对 集 合 含 义、 交并补运算的考查 的基础 ， 是检验掌握集合知识方法的关键 ． 通过数 轴 、 平面直角坐标系 以及韦恩图表示集合 ， 利用数形结合思想方法使得集合问题 直观生动好理解 ， 能够得到事半功倍的成 效 ． 在集合学习中数 形结合思想方法有着广泛的应用 ， 举例说明如下 ． 利用数轴解决不等式解集的表示问 题 或 判 断 一 元 不 等 １． 式所含参数取值范围问题 ． ，Ｂ ＝ 例 １ 已 知 Ａ ＝ ｛ ｘ ａ≤ｘ≤ ａ＋３｝ ｜ ２ （ ） ， ； （ ） 若 求 的取值范围 若 ｛ ｝ ． １ Ａ Ｂ ＝ ａ ２ ｘ ｘ －４ ｘ －５ ０ ∩ Φ ｜ ＞ 求 ａ 的取值范围 ． Ａ∪Ｂ＝Ｂ， 分析 ： 在数轴上标出集合 Ａ、 利 用 Ａ、 Ｂ 所 含 元 素 的 范 围， 经 过 定 点 Ｑ（ 作 ｌ： ｋ ｘ－２ 及直线ｌ 上侧的平面区域 ， ０， －２） ｙ＝ 、 ， ， ， 是 上 的 切 点 易 得 所 单位圆的切线ｌ ｌ Ｐ ｌ Ｏ Ｑ Ｐ ＝３ ０ ° ∠ １ ２ ２ ， ， ］ ， 以ｌ 因 为 ＡＢ， 所 以 ｋ∈ ［ 即 ｋ∈ ０ ° ｋ ｋ ２ 的倾斜 角 为 ６ ｌ ｌ １ ２ ［ －槡 ３， ． ３］ 槡 ） 利用韦恩 （ 图判断抽 象 集 合 间 包 含 或 相 等 的 关 系 ３． ｖ ｅ ｎ ｎ 或求有穷集合所含元素或其个数问题 ． 例 ４ Ｍ ， 且 Ｍ， 若 Ｎ 为集合Ｉ 的非 空 真 子 集 ， Ｎ 不 相 等， 则 Ｍ ∪Ｎ ＝ （ Ｎ ∩Ｃ Ｍ ＝Φ， ． ） Ｉ Ａ． Ｍ Ｂ． Ｎ Ｃ． Ｉ Ｄ． 分析 ： 利用韦恩图可以判断集合 Ｍ 、 Ｎ 间的包含关系 ． 解： 由 Ｎ ∩瓓 集合 Ｎ 与 瓓 ＩＭ ＝ 可知 ， ＩＭ 没有公共元素 ， 利用韦恩图可知 Ｎ Ｍ ， 所以 Ｍ ∪Ｎ ＝Ｍ ， 答案选 Ａ．
Ｂ．
分析 ： 从 韦 恩 图 中 可 看 到 全 集 Ｓ 是 由 互 不 重 叠 的 Ⅰ： 、 、 （ （ Ａ∩ （ Ａ ∩Ｂ、 Ａ） Ｂ） Ｂ） Ａ） ∩（ 瓓 Ⅱ： 瓓 Ⅲ： Ⅳ： ∩Ｂ 瓓 瓓 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 四部分构成 ． ， 解： 因为 Ｓ＝ ｛ 所 以 Ａ∩ ２， ３， ５， ７， １ １， １ ３， １ ７， １ ９， ２ ３， ２ ９｝ ｝ ， ， Ｂ＝ ｛ １ １， １ ３ Ａ＝ ｛ ３， Ｂ＝ ｛ ７， ． ５， １ １， １ ３｝ １ １， １ ３， １ ９， ２ ３｝
｛
｛
｛
２ ２ ， Ｂ ＝ ｛ （ ｘ， ｘ ＋ｙ ＝１｝ ｜ ｙ） ， ， 其中 ｘ， ｛ （ ） ｘｙ ｜ ｋ ｘ－ｙ－２≤０｝
若 ＡＢ， 则 实 数ｋ 的 取 值 ｙ∈Ｒ， 范围 ． 分析 ： 在平面直角坐 标 系 中 ， 作出 集 合 Ａ 中 的 定 圆 和 集 合 Ｂ ） 中过定点 （ 的动直线， 由Ａ ０， －２ 图４ Ｂ 知要解决本题 还 必 需 作 出 动 ） 直线的边界 ： 过定点 （ 的定圆的两条切线 ． ０， －２ 解： 集合 Ａ 中的 点 构 成 单 位 圆 ， 集合 Ｂ 中的点构成直线
图６ 例 ６ 某班有 ３ 绘画 、 摄影课外兴趣小 ６ 名同学参加书法 、 组， 每名同学至多参加两个小组 ， 已知 参 加 书 法 、 绘画、 摄影小 组的人数分别为 ２ 同时参加书法和绘画小组的有６ ６， １ ５， １ ３， 人， 同时参加绘画和摄影小组的有 ４ 人 ， 则同时参加摄影和书 法小组的有 人． 分析 ： 利用韦恩图 把 多 个 复 杂 条 件 对 号 入 座 地 同 时 呈 现 出来 ， 便于解决问题 ． 解： 设同时参加摄影和书 法小组的有 ｘ 人 ， 如图７所示， 有（ ＋ｘ＋ （ ９－ｘ） ＋１ ５ ２ ０－ｘ） 所以 ｘ＝８． ＝３ ６， 即同时参加摄 影 和 书 法 小 组的有 ８ 人 ． 作者 单 位 ： 山东省滨州市 滨城区第一中学 图７
图 ２ 图 ３ 利用平面直角坐标系作出方程的曲 线 解 决 公 Baidu Nhomakorabea 点 问 题 ２． 或二元不等式所含参数取值范围问题 ． ，Ｂ ＝ （ Ａ ＝ ｛ ｘ， ４ ｘ＋ｙ＝６｝ ｜ ｙ） ， ， 求 Ａ ∩Ｂ， ｛ （ （ Ｃ＝ ｛ Ａ ｘ， ３ ｘ＋２ ｘ， ４ ｘ＋ｙ＝３｝ ｜ ｜ ｙ） ｙ＝７｝ ｙ） ２ ∩Ｃ． 分析 ： 在平面直 角 坐 标 系 中 ， 作 出 直 线ｌ ４ ｘ＋ｙ＝６， ｌ １： ２： ／ ／ 则ｌ 可知 ３ ｘ＋２ ｌ ４ ｘ＋ｙ＝３， ｌ ｌ ３： １ 与ｌ ２ 相交于 一 点 ， １ ３， ｙ＝７， Ａ∩Ｂ 只有一个元素 ， Ａ∩Ｃ 没有任何元素 ． ４ ｘ＋ｙ＝６， ｘ＝１， ４ ｘ＋ｙ＝６， 解： 由 得 而 无 解， 所以 Ａ ３ ｘ＋２ ｘ＋ｙ＝３， ｙ＝７， ｙ＝２， ４ ， （ ｝ １， Ａ∩Ｃ＝ ． ２） ∩Ｂ＝ ｛ 例 ３ 已 知 集 合 Ａ ＝ 例 设
Ｂ 的位置关系确定参数ａ 的取值范围 ． 解 ： （１ ） Ｂ ＝
４ ６
， ｛ 或 ｘ＞５｝ ｘ ｘ＜ －１， ｜ 利用 数 轴 得 到 满 足 Ａ ∩
图１ 图５ ， 例 ５ 已知全集 Ｓ＝ ｛ 不大 于 ３ ０的 质 数｝ Ａ， Ｂ 是Ｓ 的 两 ，（ 个 子 集 ，且 满 足 Ａ ∩ （ ＝ ｛ ３， Ｂ） ５｝ Ａ） 瓓 ∩Ｂ＝ 瓓 Ｓ Ｓ ， ， 求集合 Ａ 和集合 ｛ （ ＝｛ ２， １ ９， ２ ３｝ Ａ） Ｂ） １ ７， ２ ９｝ ７， ∩（ 瓓 瓓 Ｓ Ｓ
Ｂ＝Φ 的 不 等 式 组
｛
ａ≥ －１， 所以实数ａ 的取值范围是 ａ＋３≤５，
｛ ． ａ ａ≤２｝ ｜－１≤ （ ） 由 Ａ∪Ｂ＝Ｂ 知 Ａ Ｂ， 利 用 数 轴 得 到 满 足 Ａ∪Ｂ＝Ｂ ２ 的不等式 ａ ＋３＜ －１， 或 ａ＞５， 所以实数ａ 的取值范围是 ｛ 或 ａ＞５｝ ． ａ ａ＜ －４， ｜
数形结合思想在集合学习中的应用举例
■ 邹爱英
也是很多数学概念建立 集合是高中数学 的 第 一 个 概 念 ， 学好集合非 常 重 要 ． 对 集 合 含 义、 交并补运算的考查 的基础 ， 是检验掌握集合知识方法的关键 ． 通过数 轴 、 平面直角坐标系 以及韦恩图表示集合 ， 利用数形结合思想方法使得集合问题 直观生动好理解 ， 能够得到事半功倍的成 效 ． 在集合学习中数 形结合思想方法有着广泛的应用 ， 举例说明如下 ． 利用数轴解决不等式解集的表示问 题 或 判 断 一 元 不 等 １． 式所含参数取值范围问题 ． ，Ｂ ＝ 例 １ 已 知 Ａ ＝ ｛ ｘ ａ≤ｘ≤ ａ＋３｝ ｜ ２ （ ） ， ； （ ） 若 求 的取值范围 若 ｛ ｝ ． １ Ａ Ｂ ＝ ａ ２ ｘ ｘ －４ ｘ －５ ０ ∩ Φ ｜ ＞ 求 ａ 的取值范围 ． Ａ∪Ｂ＝Ｂ， 分析 ： 在数轴上标出集合 Ａ、 利 用 Ａ、 Ｂ 所 含 元 素 的 范 围， 经 过 定 点 Ｑ（ 作 ｌ： ｋ ｘ－２ 及直线ｌ 上侧的平面区域 ， ０， －２） ｙ＝ 、 ， ， ， 是 上 的 切 点 易 得 所 单位圆的切线ｌ ｌ Ｐ ｌ Ｏ Ｑ Ｐ ＝３ ０ ° ∠ １ ２ ２ ， ， ］ ， 以ｌ 因 为 ＡＢ， 所 以 ｋ∈ ［ 即 ｋ∈ ０ ° ｋ ｋ ２ 的倾斜 角 为 ６ ｌ ｌ １ ２ ［ －槡 ３， ． ３］ 槡 ） 利用韦恩 （ 图判断抽 象 集 合 间 包 含 或 相 等 的 关 系 ３． ｖ ｅ ｎ ｎ 或求有穷集合所含元素或其个数问题 ． 例 ４ Ｍ ， 且 Ｍ， 若 Ｎ 为集合Ｉ 的非 空 真 子 集 ， Ｎ 不 相 等， 则 Ｍ ∪Ｎ ＝ （ Ｎ ∩Ｃ Ｍ ＝Φ， ． ） Ｉ Ａ． Ｍ Ｂ． Ｎ Ｃ． Ｉ Ｄ． 分析 ： 利用韦恩图可以判断集合 Ｍ 、 Ｎ 间的包含关系 ． 解： 由 Ｎ ∩瓓 集合 Ｎ 与 瓓 ＩＭ ＝ 可知 ， ＩＭ 没有公共元素 ， 利用韦恩图可知 Ｎ Ｍ ， 所以 Ｍ ∪Ｎ ＝Ｍ ， 答案选 Ａ．
Ｂ．
分析 ： 从 韦 恩 图 中 可 看 到 全 集 Ｓ 是 由 互 不 重 叠 的 Ⅰ： 、 、 （ （ Ａ∩ （ Ａ ∩Ｂ、 Ａ） Ｂ） Ｂ） Ａ） ∩（ 瓓 Ⅱ： 瓓 Ⅲ： Ⅳ： ∩Ｂ 瓓 瓓 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 四部分构成 ． ， 解： 因为 Ｓ＝ ｛ 所 以 Ａ∩ ２， ３， ５， ７， １ １， １ ３， １ ７， １ ９， ２ ３， ２ ９｝ ｝ ， ， Ｂ＝ ｛ １ １， １ ３ Ａ＝ ｛ ３， Ｂ＝ ｛ ７， ． ５， １ １， １ ３｝ １ １， １ ３， １ ９， ２ ３｝
｛
｛
｛
２ ２ ， Ｂ ＝ ｛ （ ｘ， ｘ ＋ｙ ＝１｝ ｜ ｙ） ， ， 其中 ｘ， ｛ （ ） ｘｙ ｜ ｋ ｘ－ｙ－２≤０｝
若 ＡＢ， 则 实 数ｋ 的 取 值 ｙ∈Ｒ， 范围 ． 分析 ： 在平面直角坐 标 系 中 ， 作出 集 合 Ａ 中 的 定 圆 和 集 合 Ｂ ） 中过定点 （ 的动直线， 由Ａ ０， －２ 图４ Ｂ 知要解决本题 还 必 需 作 出 动 ） 直线的边界 ： 过定点 （ 的定圆的两条切线 ． ０， －２ 解： 集合 Ａ 中的 点 构 成 单 位 圆 ， 集合 Ｂ 中的点构成直线
图６ 例 ６ 某班有 ３ 绘画 、 摄影课外兴趣小 ６ 名同学参加书法 、 组， 每名同学至多参加两个小组 ， 已知 参 加 书 法 、 绘画、 摄影小 组的人数分别为 ２ 同时参加书法和绘画小组的有６ ６， １ ５， １ ３， 人， 同时参加绘画和摄影小组的有 ４ 人 ， 则同时参加摄影和书 法小组的有 人． 分析 ： 利用韦恩图 把 多 个 复 杂 条 件 对 号 入 座 地 同 时 呈 现 出来 ， 便于解决问题 ． 解： 设同时参加摄影和书 法小组的有 ｘ 人 ， 如图７所示， 有（ ＋ｘ＋ （ ９－ｘ） ＋１ ５ ２ ０－ｘ） 所以 ｘ＝８． ＝３ ６， 即同时参加摄 影 和 书 法 小 组的有 ８ 人 ． 作者 单 位 ： 山东省滨州市 滨城区第一中学 图７
图 ２ 图 ３ 利用平面直角坐标系作出方程的曲 线 解 决 公 Baidu Nhomakorabea 点 问 题 ２． 或二元不等式所含参数取值范围问题 ． ，Ｂ ＝ （ Ａ ＝ ｛ ｘ， ４ ｘ＋ｙ＝６｝ ｜ ｙ） ， ， 求 Ａ ∩Ｂ， ｛ （ （ Ｃ＝ ｛ Ａ ｘ， ３ ｘ＋２ ｘ， ４ ｘ＋ｙ＝３｝ ｜ ｜ ｙ） ｙ＝７｝ ｙ） ２ ∩Ｃ． 分析 ： 在平面直 角 坐 标 系 中 ， 作 出 直 线ｌ ４ ｘ＋ｙ＝６， ｌ １： ２： ／ ／ 则ｌ 可知 ３ ｘ＋２ ｌ ４ ｘ＋ｙ＝３， ｌ ｌ ３： １ 与ｌ ２ 相交于 一 点 ， １ ３， ｙ＝７， Ａ∩Ｂ 只有一个元素 ， Ａ∩Ｃ 没有任何元素 ． ４ ｘ＋ｙ＝６， ｘ＝１， ４ ｘ＋ｙ＝６， 解： 由 得 而 无 解， 所以 Ａ ３ ｘ＋２ ｘ＋ｙ＝３， ｙ＝７， ｙ＝２， ４ ， （ ｝ １， Ａ∩Ｃ＝ ． ２） ∩Ｂ＝ ｛ 例 ３ 已 知 集 合 Ａ ＝ 例 设
Ｂ 的位置关系确定参数ａ 的取值范围 ． 解 ： （１ ） Ｂ ＝
４ ６
， ｛ 或 ｘ＞５｝ ｘ ｘ＜ －１， ｜ 利用 数 轴 得 到 满 足 Ａ ∩
图１ 图５ ， 例 ５ 已知全集 Ｓ＝ ｛ 不大 于 ３ ０的 质 数｝ Ａ， Ｂ 是Ｓ 的 两 ，（ 个 子 集 ，且 满 足 Ａ ∩ （ ＝ ｛ ３， Ｂ） ５｝ Ａ） 瓓 ∩Ｂ＝ 瓓 Ｓ Ｓ ， ， 求集合 Ａ 和集合 ｛ （ ＝｛ ２， １ ９， ２ ３｝ Ａ） Ｂ） １ ７， ２ ９｝ ７， ∩（ 瓓 瓓 Ｓ Ｓ
Ｂ＝Φ 的 不 等 式 组
｛
ａ≥ －１， 所以实数ａ 的取值范围是 ａ＋３≤５，
｛ ． ａ ａ≤２｝ ｜－１≤ （ ） 由 Ａ∪Ｂ＝Ｂ 知 Ａ Ｂ， 利 用 数 轴 得 到 满 足 Ａ∪Ｂ＝Ｂ ２ 的不等式 ａ ＋３＜ －１， 或 ａ＞５， 所以实数ａ 的取值范围是 ｛ 或 ａ＞５｝ ． ａ ａ＜ －４， ｜