两角和与差的公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β (T (α－β))
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β (T (α＋β))
2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任
意角α，β都成立．( × )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π
2
，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )
1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C
解析 ∵sin α＋2cos α＝
10
2
， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝5
2.
化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3
4
.故选C.
2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2，则tan 2α等于( )
A ．－34 B.34 C ．－43 D.43
答案 B
解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－
3，
则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝3
4
.
3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1
2，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －
10
5
解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13
， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
3sin θ＝－cos θ，
sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角，
解得sin θ＝
1010，cos θ＝－310
10
. ∴sin θ＋cos θ＝－
10
5
.
4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1
解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.
题型一 三角函数公式的基本应用
例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，
cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β
2)等于( )
A.33
B ．－33 C.539
D ．－
69
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝3
1－2＝－3.
故选A. (2)cos(α＋β
2
)
＝cos[(π4＋α)－(π4－β2
)]
＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)．
∵0<α<π2，
则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.
又－π
2<β<0，
则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63
.
故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539
.故选C.
思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．
(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝1
7
，则sin α等于( )
A.3
5 B.45 C ．－35
D ．－45
(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1
tan 5°－tan 5°)＝________.
答案 (1)A (2)
3
2
解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝1
7，
∴tan α＝－34＝sin α
cos α，
∴cos α＝－4
3sin α.
又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝9
25
.
又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3
5
.
(2)原式＝2cos 210°
4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°
＝
cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°
＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°
＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°
＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°
＝32
. 题型二 三角函数公式的灵活应用
例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12
D.32
(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋
1
2
2tan (π4－x )sin 2(π4＋x )
＝________.
(3)求值：cos 15°＋sin 15°
cos 15°－sin 15°＝________.
答案 (1)B (2)1
2
cos 2x (3) 3
解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝2
2
.故选B. (2)原式＝1
2
(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin (π4－x )
cos (π4－x )
·cos 2(π
4－x )
＝(2cos 2x －1)24sin (π4－x )cos (π4－x )＝cos 22x 2sin (π
2－2x )
＝cos 22x 2cos 2x ＝12
cos 2x .
(3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°
1－tan 45°tan 15°
＝tan(45°＋15°)＝ 3.
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．
(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α
2
)
2＋2cos α
＝________.
(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C
2的值为
________．
答案 (1)cos α (2) 3
解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α
2
)
4cos 2
α2.
因为α∈(0，π)，所以cos α
2
>0，
所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2
)
2cos
α2
＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2
＝cos α.
(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan
A ＋C
2
＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C
2
＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C
2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换
例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－1
3
.则sin(α－β)＝________，cos β＝
________.
(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝2
3，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.2
3 答案 (1)－
1010 950
10 (2)A 解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π
2.
又∵tan(α－β)＝－1
3<0，
∴－π
2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－
1010，cos(α－β)＝31010
. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝4
5.
∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝910
50
. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π
4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42
＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋π
22＝1－sin 2α2
，
所以cos 2
⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－2
32＝16
，选A.
思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝
α＋β2－α－β2，α＝α＋β
2
＋
α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α
2
＋β)等． (1)设α、β都是锐角，且cos α＝
55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于( ) A.2525 B.25
5
C.2525或255
D.55或525
(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π
6)的值是________．
答案 (1)A (2)－4
5
解析 (1)依题意得sin α＝
1－cos 2α＝
25
5
， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±4
5
.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，
所以cos(α＋β)＝－45.
于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.
(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝4
53，
∴
32cos α＋32sin α＝4
53， 3(12cos α＋32sin α)＝4
53， 3sin(π6＋α)＝4
53，
∴sin(π6＋α)＝45
，
∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45
.
高考中的三角函数求值、化简问题
典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ
2
－sin θ－1
2sin (θ＋π
4)
＝________.
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π
2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A ．3α－β＝π
2
B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3
3
，则cos 2α等于( ) A ．－
53 B ．－59 C.59 D.5
3
(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°等于( )
A ．－
32 B ．－12 C.12 D.32
思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．
(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ
1＋tan θ
，
又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－
1
2
或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－1
2，
故原式＝1＋
12
1－
12
＝3＋2 2.
(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β
cos β，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π
2－α)．
∵α∈(0，π2)，β∈(0，π
2
)，
∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π
2)，
∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π
2－α，
∴2α－β＝π
2
.
(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝
33，∴(sin α＋cos α)2＝13
， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－2
3.
又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝3
3
>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3
4π(k ∈Z )，
∴4k π＋π<2α<4k π＋3
2π(k ∈Z )，
∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－
1－sin 22α＝－
53
. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13
， ∴2sin αcos α＝－2
3
.
∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2
＝
1－2sin αcos α＝
153
.
由⎩⎨⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝3＋156，cos α＝3－156.
∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. (4)原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°
＝
sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12
. 答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C
温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．
方法与技巧
1．巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2
， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2
±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2
. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、
降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝
2
2
所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.
A组专项基础训练
(时间：30分钟)
1．已知tan(α＋β)＝
2
5，tan⎝
⎛
⎭
⎫
β－
π
4＝
1
4，那么tan⎝
⎛
⎭
⎫
α＋
π
4等于() A.
13
18 B.
13
22 C.
3
22 D.
1
6
答案 C
解析因为α＋
π
4
＋β－π
4
＝α＋β，
所以α＋π
4
＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫
β－
π
4
，所以
tan⎝⎛⎭⎫
α＋
π
4
＝tan⎣⎡⎦⎤
(α＋β)－⎝⎛⎭⎫
β－
π
4
＝
tan(α＋β)－tan⎝⎛⎭⎫
β－
π
4
1＋tan(α＋β)tan⎝⎛⎭⎫
β－
π
4
＝3
22.
2．若θ∈[
π
4，
π
2]，sin 2θ＝
37
8，则sin θ等于()
A.
3
5 B.
4
5 C.
7
4 D.
3
4
答案 D
解析由sin 2θ＝
3
87和sin
2θ＋cos2θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2＝
37
8
＋1＝(
3＋7
4)
2，
又θ∈[π
4
，π
2]，∴sin θ＋cos θ＝
3＋7
4.
同理，sin θ－cos θ＝
3－7
4
，∴sin θ＝3
4.
3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α
的值为( ) A ．4 3
B.654 C ．4 D.233
答案 B
解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α
， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654
. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )
A. 2
B.
2＋32 C. 3 D ．22－1 答案 C
解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°
＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°
＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3
)的值是( ) A ．－233
B ．±233
C ．－1
D ．±1 答案 C
解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12
sin x )＝3cos(x －π6
)＝－1. 6． sin 250°1＋sin 10°
＝________. 答案 12
解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)
＝1－cos(90°＋10°)
2(1＋sin 10°)
＝
1＋sin 10°
2(1＋sin 10°)
＝1
2.
7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1
解析根据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，
∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
8.
3tan 12°－3
(4cos212°－2)sin 12°
＝________.
答案－4 3
解析原式＝3sin 12°cos 12°
－3
2(2cos212°－1)sin 12°
＝23⎝⎛⎭⎫1
2sin 12°－
3
2cos 12°
cos 12°
2cos 24°sin 12°
＝
23sin(－48°)
2cos 24°sin 12°cos 12°
＝
－23sin 48°
sin 24°cos 24°
＝－23sin 48°
1
2sin 48°
＝－4 3.
9．已知1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．
解因为1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
＝(1＋sin α)2
cos2α
－
(1－sin α)2
cos2α
＝|1＋sin α|
|cos α|
－
|1－sin α|
|cos α|
＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|
＝2sin α|cos α|
， 所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α
. 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.
故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2
，k ∈Z }． 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62
. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35
，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62
， 两边同时平方，得sin α＝12
. 又π2<α<π，所以cos α＝－32
. (2)因为π2<α<π，π2
<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2
. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45
. cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310
. B 组 专项能力提升
(时间：25分钟)
11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4
)等于( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255
答案 A
解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋1
1－tan α＝12，得tan α＝－13.
又－π2<α<0，所以sin α＝－10
10.
故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)
＝22sin α
＝－25
5.
12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，且sin 2α＋cos 2α＝1
4，则tan α的值等于(
) A.2
2 B.3
3 C. 2 D. 3
答案 D
解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，且sin 2α＋cos 2α＝1
4，
∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝1
4，
∴cos α＝12或－1
2(舍去)，
∴α＝π
3，∴tan α＝ 3.
13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π
4)＝________.
答案 72
10
解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝4
5，
又由θ∈(0，π
4)，得2θ∈(0，π
2)，
所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝3
5，
所以sin(2θ＋π
4)
＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝4
5×22＋35×22＝72
10.
14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π
4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π
4，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2
，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭
⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.
(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45
， cos βcos α－sin βsin α＝－45
， 两式相加得2cos βcos α＝0，
∵0<α<β≤π2，∴β＝π2
， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4
－2＝0. 15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4
)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值；
(2)若x ∈[π12，π2
]，求f (x )的取值范围． 解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·
cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12
sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12
(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1
＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35
.
(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
＝22
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，2＋12.。