连续型随机变量及其概率密度资料

二 概率密度函数
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 可 积 函 数p( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) p(t)d t,
则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量, 其 中 p( x) 称 为 X的 概 率 密 度 函 数,简 称 概 率 密 度.
用上述直方图刻画随机变量X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概 率分布情况。
频数 6 12 24 28 18 8 4
频率 0.06 0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4) 以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频
率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。
第4.3节 连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给 出概率分布。而是用“概率密度函数”表示 随机变量的概率分布。
一 频率直方图
若 X 为离散型随机变量, { X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
连 续 型
离 散 型
p( x)
S1
x2 p( x) d x
x1
1
S1
••
0
x1 x2 x
(5) P{x1 X x2} F(x2 ) F(x1)
x2 p( x)dx
x1
证明 P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
密度函数的性质
(1) p( x) 0 ；
(2) p(x) dx 1 ；
这两条性质是判定函数
f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3) 对 p(x)的进一步理解：
若x是 p(x)的连续点，则
x x
lim P(x X x x) lim x
p(t )dt
x0
x
x 0
x
= p(x) ，
故, X的概率密度函数p (x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量, p(x)相当于物理学中的线密度。
若不计高阶无穷小，有：
P{ x X x x} p( x)x .
(3) 计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) (131.5, 135.5) (135.5, 139.5) (139.5, 143.5) (143.5, 147.5) (147.5, 151.5) (151.5, 155.5)
例1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
x2 p( x) d x
x1 p( x) d x x2 p( x)d x.
x1
Байду номын сангаас
(6) P(X b) P(X b) F (b)
P(X a) P(X a) 1 F(a)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 p(x) × △x 。
p(x) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
(4) 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的 概率等于零.即
P{X a} 0.
证明
P{ X
a}
a x
lim
x0 a
p( x)d
x
0.
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能 事件,则有 P{X a} 0.
若 P{ X a} 0, 则不能确定 {X a} 是不可能事件
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1)先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2)确定数据分组数 m = 7，组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, ···, m；