大学物理磁场

证 m SB dS
a
Ba S Bb S 0 Ba Bb
S
b
§9.4 磁场的安培环路定理
静电场: 磁 场:
E dl 0 B dl ?
静电场是保守场
I
L
一.磁场的安培环路定理
• 以无限长载流直导线为例
r
B
L
B dl B cosdl
螺绕环与无限长螺线管一样， 磁场全部集中在管内部
例 求无限大平面电流的磁场 解 面对称
S
dS
B
规定
磁力线穿入 磁力线穿出
m 0
m 0
dS
三.磁场的高斯定理
磁场线都是闭合曲线
B
磁高斯定理
m B dS 0
S
电流产生的磁感应线既没有起始
S
点，也没有终止点，即磁场线即 没有源头，也没有尾 —— 磁场是无源场（涡旋场）
例 证明在 磁力线 线为平行直线的空间中，同一根磁力线 上各 点的磁感应强度值相等。
2r
0 I
P
L

L
2r
0 I
rd 0 I
I
L
d B r r
dl
磁场的环流与环路中所包围的电流有关
• 若环路方向反向，情况如何？
0 I LB dl L 2r rd 0 I
L
I
• 若环路中不包围电流的情况？
r'
d
r

0
静电场：e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
一. 磁力线
1. 规定：
§9.3 磁场的高斯定理
静电场是有源场
（1）方向：磁力线切线方向为磁感应强度 B 的方向 （2）大小：垂直 B 的单位面积上穿过的磁力线条数为磁感 应强度 B 的大小
L
dl1
环路不包围电流，则磁场环流为零
• 推广到一般情况
I1 ~ I k I k 1 ~ I n
B dl
L
—— 在环路 L 中 —— 在环路 L 外
In
P
I2 I1
Ii
I k 1
Ik
L
则磁场环流为
L
Bi dl
i 1
环路上各点的 磁场为所有电 流的贡献
20
b 2
X
dx 2 2by sec
2
0 I
I dx
1
x y tan dx y sec d
BP
b 1 arctan 2y
0 I
b
0
1
b d arctan b 2y
0 I
b 分析： B p arctan b 2y
（1）
0 I
y b
磁感应强度
安培力公式
dFmax B Idl dF Idl B
Idl dF Baidu Nhomakorabea 0
P
B
dB
毕奥－萨伐尔定律 0 Idl r0 0 Idl r dB 2 4 r 4 r 3 二.毕－萨定律的应用
1.载流直导线的磁场 求距离载流直导线为a 处 一点P 的磁感应强度 B
B dl
L
—— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
（3）环路上各点的磁场为所有电流的贡献 （4）安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立 I 2 例 如图载流直导线, 设 1 2 / 4
0 I LB dl L 4a cos1 cos 2 dl 0 2I 0 I 2 0 I 2 2a 4a 2 2
Idl
I
r r a
P
Idl

解
dB
4
0 Idl sin
r
2
B
B dB
4
0 Idl sin
r
2
2
I
根据几何关系：
a r sin
Idl
l
l acot acot
dl acsc 2d
r a
dq 2rdr

r
O R X
2rdr dI rdr 2
dB 2(r x )
2
p dB
q
0 r 2dI
2 3/ 2

2(r x )
2
0r 3dr
2 3/ 2
B dB
0 R 2 2 x 2
2
2 x 2 2 x R
则L的环流为:
a
L
1
二. 安培环路定理的应用
基本思路： 若电流分布具有某些对称性，则可用安培环路定理求电流 产生的磁场。
L
B dl 0 Ii
B 0 I i / dl
L
例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。
解 系统具有轴对称性，圆周上各点的 B 相同 P 点的磁感应强度

L
L
k k Bi dl 0 I i 0 0 I i ( L内） i 1
B dl 0 Ii
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 0 倍
讨论 （1）积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0 （2）磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B 0 NI / 2r
N
r
o
r
R1 dr
N B内 0 I 0 nI 2r
内部为均匀磁场 • 若在外部再做一个环路，可得
h
R2
Ii 0
B外 0
S
螺绕环内的磁通量为
m
R2
R1
R2 0 NI 0hNI R2 B dS ln hdr R1 2r 2 R1
4 R 2
0 IR

2
O R

I 1 3
例 如图，求O点的磁感应强度
解 B1 0
30 I B2 4R 2 8R
0 I 3
B3
4R 4R
0 I
(cos 1 cos 2 )
1 2 2
2
O R I
0 I
1
3
B B1 B2 B3
x0
圆盘圆心处
B
0
2
R

r
O
R q X p dB
2 3 dpm r dIn r drn
R
4 R 3 pm dpm r dr 0 4
方向沿 X 轴正向
3. 载流螺线管轴线上的磁场 已知螺线管半径为R 单位长度上有n匝
l
dl
dN B dS
2. 磁力线的特征: （1）无头无尾的闭合曲线
（2）与电流相互套连，服从右手螺旋定则 （3）磁力线不相交
二.磁通量 dN B dS
dm B dS
通过面元的磁场线条数 —— 通过该面元的磁通量
对于有限曲面 m B dS 对于闭合曲面 m B dS
r R 区域： B
2r 2 r R 区域： B 2r 0 jr
B
2R 2
0 Ir
I j R 2
例 求螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的磁通量 解 • 在螺绕环内部做一个环路，可得 I
LB cosdl B Ldl B 2r
0 NI
若螺绕环的截面很小，r
dB
I
r
R
P
dI ' Indl
dB
2( R l )
2
0 R 2dI
2 3/ 2

2( R l )
2
0 R 2 Indl
2 3/ 2
l Rcot
R l R csc
2 2 2 2
l
dB
B
讨论
0
2

nI sin d
R
1
r
P
dB
2
2 1
0
2
nI sin d
0 nI
2
cos 2 cos 1
（1）无限长载流螺线管
1 2 0
B 0 nI
（2）半无限长载流螺线管
1 2
2 0
三.运动电荷的磁场 0 Idl r0 dB 4 r 2
B 0 nI / 2
2 yb
BP
（2）
0 Ib

2y
0 I
b b arctan 2y 2y
无限长载流直导线
y b
b π arctan 2y 2
i
无限大板
1 BP 0i 2b 2b 2
0 I
0 I
i
B1 B3 0
磁屏蔽
B2 0i
（1） （2） （3）
2.载流圆线圈的磁场
P
B
1
B
4a
0 I
2
1
sin d
4a
0 I
(cos 1 cos 2 )
讨论
B
4a
0 I
I
(cos 1 cos 2 )
2
（1）无限长直导线 1 0
B
2a
0 I
2
1
B
P
方向：右螺旋法则
（2）任意形状直导线
B1 0
1
例 如图的导线，已知电荷线密度为，当绕O点以 转动时
求 O点的磁感应强度
dq
解 线段1：

dq dl bd
dB1 4 b 2
v
4
d
O
b a
2
3
0 dq b

0
4
d
1 0 qv r0 B1 d 0 B 0 4 4 4 r 2 0 a / (2 / ) 1 线段2： 同理 B2 0 2a 4 线段3： dq dr 1 dq 0 dr r 0 dB3 dr 2 4 r 4r v d b v b 0 b 0 B3 dr In O dB a 4r 4 a 4 3 a 0 b In 线段4： 同理 B4 2 4 a b In 1 B B1 B2 B3 B4 (1 a ) 0 2
B2

4a
4a
0 I
(cos 90 cos180 )
0 0
P
0 I
r
a
2
I
1
B
（3）无限长载流平板 解
Idx dI b 0 Idx 0dI dB 2by sec 2r
dB dB X dB
0 b
Y
P

r
BP Bx dBx 2 dBcos
P 电荷密度
Idl
r
dQ n sdl q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl r0 dB 4 r2
电流元内总电荷数
S
Idl
q +
dN nsdl
0 dN qv r0 dB 4 r2
一个电荷产生的磁场
dB 0 qv r0 B dN 4 r 2
B
0 IR 2
2 3/ 2
方向满足右手定则
讨论
B
2( R 2 x 2 )3 / 2
0 IR
2
（1） x 0 载流圆线圈的圆心处 B 如果由N匝圆线圈组成
0 I
2R

0 I 2πR
4π R
I
2
B
0 NI
2R
（2）一段圆弧在圆心处产生的磁场
B
0 I

2 R 2

沿圆周的切线方向
R
rR
dI' dB dB'
P
r
I
L
P
B cosdl
L
B dl
L
dI
B 2r 0 I
B
rR
在系统内以轴为圆心做一圆周
2r
0 I
R
LB cosdl B Ldl B2r 0
B0
推广 无限长圆柱形载流直导线的磁场分布
I
0 I
求轴线上一点P的磁感应强度
Idl
R 0 I
r
X P
dB
dB
根据对称性
4 r
0 Idl
2

X dB
B 0
B dBx dB cos
R R cos 2 2 1/ 2 r (R x )
B 2( R x )
2
4 r
0 Idl
2
cos
B
B1
2r 1
0 I
B2
2r2
0 I
I
L
dl
对一对线元来说
B1 dl B2 dl
B1dl cos1 B2dl cos 2
0 Ir1d 0 Ir2d 0 2r1 2r2
I
d
r2
B2
B1
dl2
r1
（3） x R
B
B
0 IR 2
2x
3



2x
0 IS
3
2( R 2 x 2 )3 / 2
0 IR 2
pm
S I
n
pm ISn 定义 0 p m B 3 2 x
磁矩
例 求绕轴旋转的带电圆盘轴线上的磁场和圆盘的磁矩 解
q / R 2