示范教案(集合间的基本关系)

1.1.2 集合间的基本关系
从容说课
本课主要是研究集合的关系，从同学们熟知的背景出发逐步建立子集、集合相等、真子集等概念及表述方法和研究手段.对一些结论的产生不是直接得到，而是要引导学生发现.本节包含了较多的新概念、新符号，教学中可通过区别“∈”与“⊆”，“{0}与∅”等关系，帮助学生扫除“符号混淆”这一障碍，对于元素与集合、集合与集合的关系，尤其是一个集合是另一个集合的元素时，学生不易理解，数学中结合实例进行分析，如{a}∈{{a}，{b}，∅}中{a}表示集合{{a}，{b}，∅}的一个元素.
三维目标
一、知识与技能
1.了解集合间包含关系的意义.
2.理解子集、真子集的概念和意义.
3.会判断简单集合的相等关系.
二、过程与方法
1.观察、分析、归纳.
2.数学化表示日常问题.
3.提高学生的逻辑思维能力，培养学生等价和化归的思想方法.
三、情感态度与价值观
1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式.
2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系.
3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.
教学重点
子集、真子集的概念.
教学难点
元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解.
教具准备
中国地图、多媒体、胶片.
教学过程
一、创设情景，引入新课
师：今天我们先来看一看中国地图，先看江苏省区域在什么地方？再看一看中国的区域.请问：江苏省的区域与中国的区域有何关系？
生：江苏省的区域在中国区域的内部.
师：如果我们把江苏省的区域用集合A来表示，中国的区域用集合B来表示，则会发现集合A在集合B内，即集合A中的每一个元素都在集合B内.再看一看下面两个集合之间的关系（投影胶片，胶片上可以用一组人群表示）
A=｛x|x为江苏人｝，B=｛x|x为中国人｝，
生：江苏人是中国人.
师：我说的是从集合的角度看是什么关系？
生：集合A中的元素都是集合B中的元素.
师：说得对，再来看一看下面给出的集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系？
（1）A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝；
（2）设A为海门中学高一（2）班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成
的集合；
（3）设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
生：均有集合A中的元素都是集合B中的元素.
由此引出子集的概念.
二、讲解新课
1.子集
对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B ⊇A）.
读作“A含于B”（或“B包含A”）.
其数学语言的表示形式为：若对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B.
——为判别A是B的子集的方法之一.
很明显：N⊆Z，N⊆Q，R⊇Z，R⊇Q.
若A不是B的子集，则记作A B（或B A）.
读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
例如，A=｛2，4｝，B=｛3，5，7｝，则A B.
2.图示法表示集合
（1）Venn图
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图（必要时还可以用小写字母分别定出集合中的某些元素）.
由此，A⊆B的图形语言如下图.
B
A
（2）数轴
在数学中，表示实数取值范围的集合，我们往往借助于数轴直观地表示.
例如｛x|x＞3｝可表示为
4
3
5x
1
2
又如｛x|x≤2｝可表示为
还比如｛x|－1≤x＜3＝可表示为
x
3.集合相等
对于C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合C、D都是由所有等腰三角形组成的集合，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素.同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.这样，集合D的元素与集合C的元素是一样的.
我们可以用子集概念对两个集合的相等作进一步的数学描述.
如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B.
事实上，A⊆B，B⊆A⇔A=B.
上述结论与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，同学们有什么体会?
4.真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.
例如，A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝，则有A B.
子集与真子集的区别就在于“A B”允许A=B或A B，而“A B”是不允许“A=B”的，所以若“A⊆B”，则“A B”不一定成立.
5.空集
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A.
例如｛x|x2+1=0，x∈R｝，｛边长为3，5，9的三角形｝等都是空集.
可以让同学们列举多个生活中空集的例子.
空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A.
6.子集的有关性质
（1）A⊆A；
（2）A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；A B，B C⇒A C.
7.例题讲解
【例1】写出集合｛a，b｝的子集.
解：∅，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝.
方法引导：写子集时先写零个元素构成的集合，即∅，然后写出一个元素构成的集合，再写两个元素构成的集合，依此类推.
师：请写出｛a，b，c｝的所有子集.
生：∅，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛a，c｝｛b，c｝，｛a，b，c｝.
师：写出｛a｝的子集.
生：∅，｛a｝.
师：∅的子集是什么？
生：∅.
师：我们可以列一个表格（板演），先猜一猜4个元素集合的子集个数是多少？
集合集合元素个数集合子集个数
∅0 1
｛a｝ 1 2
｛a，b｝ 2 4
｛a，b，c｝ 3 8
｛a，b，c，d｝ 4
…………
n个元素
生：16个.
师：从上面写出的集合子集我们可以看出集合的子集个数与集合的元素个数之间有什么关系？
换句话：你能否猜想n个元素集合的子集共有多少个子集？
生：2n个.
师：猜得很好.因为我们所学知识还不能证明这个结论，要等到高二学过排列、组合知识后就可以证明了，有兴趣的同学可以自己先学.
【例2】写出不等式x－3＞2的解集并进行化简（即化成直接表明未知数本身的取值范围的解集）.
解：不等式x－3＞2的解集是{x|x－3＞2}={x|x＞5}.
【例3】在以下六个写法中，错误写法的个数是
①｛0｝∈｛0，1｝②∅｛0｝③｛0，－1，1｝⊆｛－1，0，1｝④0∈∅
⑤Z=｛全体整数｝⑥｛（0，0）｝=｛0｝
A.3
B.4
C.5
D.6
思路分析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“｛｝”本身就表示全体元素之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.只有②和③正确.故选B.
【例4】已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：
（1）数2与集合A的关系如何?
（2）集合A与集合B的关系如何?
师：元素与集合之间、集合与集合之间分别用什么符号连接?
生：元素与集合之间用“∈”或“∉”连接，集合与集合之间用“⊆”“”“=”或“”等连接.
师：本问题的第（1）问给了我们什么启示?
生：要判别2是否属于A，只需考虑2能否表示成8m+14n的形式，若能写成8m+14n 的形式，则说明2∈A，否则2∉A.
师：很好.现在的问题是2能否写成8m+14n的形式?
生：能，并且可以有多种写法，比如：2=8×2+14×（－1），且2∈Z，－1∈Z，
2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z，3∈Z等.所以2∈A.
师：我们从第（2）问中读到了什么?
生：判定两个集合A、B的关系，应优先考察它们的包含关系.对于本题，我们的思考是A⊆B成立吗?B⊆A成立吗?如果两个方面都成立，则A=B；如果只有一个方面成立，则应考虑是否是真子集；如果两个方面都不成立，则两集合不具备包含关系.
师：回答得很好，问题是如何判别A⊆B?
生：用定义法.任取x∈A，只要能够证明x∈B，则A⊆B就成立了.
师：好，现在我们一起解决问题（2）.
生：任取x0∈B，则x0=2k，k∈Z.
∵2k=8×（－5k）+14×3k，且－5k∈Z，3k∈Z，∴2k∈A，即B ⊆A.
任取y0∈A，则y0=8m+14n，m、n∈Z，
∴y0=8m+14n=2（4m+7n），且4m+7n∈Z.∴8m+14n∈B，即A⊆B.
由B ⊆A且A⊆B，∴A=B.
师：对于本题我们能够得到A=B，现在的问题是在集合有关问题中如何证明两个集合相等?
生1：欲证A=B，根据定义，只需证A⊆B，且B ⊆A即可.
生2：如果A、B是元素较少的有限集合，也可用穷举法判别它们相等.
师：很好，两位同学的方法加以组合，判别两个集合相等的方法就完美了.由此，平时的学习中，只要敢于探究，善于探究，我们一定能挖掘出自身的潜能，使自己的学习永远立于不败之地，这对我们今后的学习和工作将十分有益.
三、课堂练习
教科书P8练习题2
答案：（1）∈ （2）∈ （3）＝ （4） （5） （6）＝ 四、课堂小结
1.本节学习的数学知识：
子集、集合相等、真子集、子集的性质. 2.本节学习的数学方法：
归纳的思想、定义法、穷举法. 五、布置作业
1.教科书P 8练习题3.
2.教科书P 13习题1.1 A 组第5题.
3.满足条件{1，2} M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 A.3
B.6
C.7
D.8
4.已知集合A =｛x ，xy ，1-xy ｝，B =｛0，|x |，y ｝，A =B ，求实数x 、y 的值.
5.已知M ⊆｛1，2，3，4，5｝，且a ∈M 时，也有6－a ∈M ，试求集合M 所有可能的结果.
6.若a 、x ∈R ，A =｛2，4，x 2－5x +9｝，B =｛3，x 2+ax +a ｝，C =｛x 2+（a +1）x －3，1｝，求：
（1）使A =｛2，3，4｝的x 的值； （2）使2∈B ，B A 的a 、x 的值； （3）使B =C 的a 、x 的值. 板书设计
1.1.2 集合间的基本关系
子集 Venn 图 集合相等 真子集 空集
子集的性质 例1 例2 例3 例4
课堂练习 课堂小结。