小波变换在图像处理中的应用

小波变换是一种快速发展和比较流行的信号分析方法。

经典的傅里叶变换能满足大多数信号处理的需求，但对于非平稳信号的分析却不能依靠傅里叶变换，因为它不能提供局部时间段上的频率信息。

后来提出的加窗傅里叶变换解决了这一问题，但是它也具有很大的局限性，即当基本窗函数取定时，窗口的时间宽度和频率宽度就固定了，不会随着时域和频域的位移而变换。

为了克服这个缺点，学者们经过努力探索，提出了小波变换的理论。

近年来，小波变换作为一种变换域信号处理方法，得到了迅速发展，在信号分析、图像处理、地震勘探和非线性科学等诸多领域得到了广泛应用。

小波变换在图像处理中的应用主要体现在以下几个方面：图像的压缩、去噪、融合、增强、分解与重构、边缘检测、检索以及人脸、指纹、虹膜的识别等。

本文介绍了小波变换的基本理论及特征，包括连续小波变换、离散小波变换。

基于小波变换的这些理论和特性，总结了其在图像处理方向的应用，最后对小波变换在图像处理方向的应用进行了总结和展望。

关键字小波变换图像处理
1 研究背景和意义 (1)
2 小波变换理论及性质 (2)
2.1 连续小波变换 (2)
2.2 离散小波变换 (3)
2.3 小波变换的性质 (4)
3 小波变换在图像处理中的应用 (6)
3.1 图像压缩 (6)
3.2 图像去噪 (7)
3.3 图像融合 (9)
3.4 图像增强 (10)
3.5 图像分解与重构 (11)
3.6 图像边缘检测 (13)
3.7 图像检索 (14)
4 小波变换进行指纹识别 (15)
5 小波变换进行人脸识别 (16)
6 小波变换进行虹膜识别 (17)
7 总结和展望 (18)
参考文献 (19)
1 研究背景和意义
小波变换诞生于20世纪80年代, 素有“数学显微镜”的美称，这也就决定了它在高科技研究领域重要的地位。

目前, 它在模式识别、图像处理、机器学习、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何的时频信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。

但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等。

其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是太大。

换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。

所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。

而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，
在低频部分可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。

小波分析在图像处理中有非常重要的应用，本文主要介绍了小波变换的基本理论及特点，并根据其特点研究了小波分析在图像处理中的应用。

2 小波变换理论及性质
2.1 连续小波变换
定义：设φ(t )∈L 2(R )，其傅立叶变换为φ̂(ω̂)，当φ̂(ω)满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）
C φ=∫|φ̂(ω)|2|ω|∞−∞dω (1) 时，我们称φ(t )为一个基本小波或母小波。

将母函数φ(t )经伸缩和平移后得
φa,b (t )=1
√|a |φ(t−a
a ) a,
b ∈R;a ≠0 (2)
称其为一个小波序列。

其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。

对于任意的函数f (t )∈L (R )的连续小波变换为
W f (a,b )=√a f (t )φ(t−b a )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∞−∞
dt (3) 其重构公式（逆变换）为
f (t )=1
C φ∫∫1a 2∞−∞∞−∞W f
(a,b )φ(t−b a )da db (4)
由于基小波φ(t )生成的小波φa,b (t )在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以φ(t )还应该满足一般函数的约束条件
∫|φ(t )|∞
−∞
dt <∞ (5) 故φ̂(ω)是一个连续函数。

这意味着，为了满足完全重构条件式，φ̂(ω)在原点必须等于0，即
φ̂(0)=∫φ(t )∞−∞
dt =0 (6) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波φ(t )的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：
A ≤∑|φ
̂(2−jω)|2∞−∞≤B (7) 式中0<A ≤B <∞ 。

2.2 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。

因此，有必要讨论连续小波φa,b (t )和连续小波变换W f (a,b )的离散化。

需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。

这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。

在连续小波中，考虑函数
φa,b (t )=|a |−12⁄φ(t−b
a )
这里b ∈R ， a ∈R +，且a ≠0，为方便起见，在离散化中，总设a 只 取正值，这样相容性条件就变为
C φ=∫|φ̂(ω)||ω|∞0dω<∞ (8) 通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散公式分别取作a =a 0j ，b =ka 0j b 0，这里j ∈Z ，扩展步长a 0≠1是固定值，为方便起见，总是假定a 0>1（由于m 可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。

所以对应的离散小波函数φj,k (t )即可写作
φj,k (t )=a 0−j 2⁄φ(t−ka 0j b 0a 0j )=a 0−j 2⁄φ(a 0−jt −kb 0) (9) 而离散化小波变换系数则可表示为
C j,k =∫f (t )φj,k ∗∞
−∞(t )dt (10) 其重构公式为
f (t )=C ∑∑C j,k ∞−∞∞−∞φj,k (t ) (11)
其中，C 是一个与信号无关的常数。

为保证重构信号的精度，网格点应尽可能密（即a 0和b 0尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数φj,k (t )和离散小波系数C j,k 就越少，信号重构的精确度也就会越低。

2.3 小波变换的性质
连续小波变换具有如下性质：
性质1（线性）：设f (t )=αg (t )+βh (t )，则
WT f (a,b )=αWT g (a,b )+βWT h (a,b )
性质2（平移不变性）：若f(t)↔WT f(a,b)，则f(t−τ)↔
WT f(a,b−τ)。

平移不变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。

性质3（伸缩共变性）：若f(t)↔WT f(a,b)，则f(ct)↔
(ca,cb)，其中c>0。

√c f
性质4（冗余性）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。

其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数φa,b(t)存在许多可能的选择。

尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。

由以上特性可知，小波变换可以获得信号的多分辨率描述，这种描述符合人类观察世界的一般规律，同时，小波变换具有丰富的小波基可以适应不同特性的信号。

从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：
（1）小波分解可以覆盖整个频域（提供一个数学上的完备描述）；
（2）小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；
（3）小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率；
3 小波变换在图像处理中的应用
小波变换是对傅里叶变换与短时傅里叶变换的一个重大突破，突破了傅里叶变换在瞬态和非平稳信号的局部特性方面的局限性，形成了具有时—频域局部化特性和快速变换算法的分析方法，又克服了短时傅里叶变换在单分频率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点。

从小波变换的特征来看，小波变换是一种很好的图像的分解、表示方法，利用小波变换可以较好地实现图像的变换编码，从而在图像处理中得到了广泛的应用。

3.1 图像压缩
对于图像来说，如果要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。

在同等的通信容量下，如果图像数据压缩后再进行传输，就可以传输更多的图像信息，也就是可以增加通信的能力。

图像压缩研究的就是寻找高压缩比的方法，且压缩后图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原始信号，并且在压缩、传输、恢复过程中，还要求图像的失真度小，便于对图像进行分类、识别等。

一幅图像经过小波分解后，可得到一系列的不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不同的，其中的高频部分代表图像的轮廓、边缘，而低频部分代表图像的细节部分。

高频图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。

而对于一幅图
像来说，表征它的最主要部分是低频部分。

因此利用小波分解去掉图像的高频部分而仅保留低频部分是一种最简单的图像压缩方法。

小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。

它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征基本不变，而且在传递的过程中可以抗干扰。

如图（1）所示，为小波压缩后的图像：
图（1）小波压缩图像
3.2 图像去噪
去噪处理是图像预处理中的重要课题，图像去噪的目的是为了在减少图像噪声的同时，尽可能多的保持图像的特征信息。

Mallat利用信号和噪声经过小波变换之后在各尺度上的不同表现，提出了一种利用小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法，这是小波去噪的最经典的方法。

后有学者提出了小波阈值收缩方法，这种收缩算法的一个严重的缺陷是：在去噪之前必须知道噪声的大小。

而在实际应用中噪声大小是无法预先知道的，于是有学者提出了GCV(generalized cross validation)方法，这种方法无需知道噪声大小的
先验知识，较好地解决了这一问题。

目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先验信息，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更好的去噪效果。

基于小波变换域阈值法的去噪依据是通过对图像进行小波变换，得到小波变换系数，信号对应的小波系数包含有重要的信息，其数据较少，幅值变化较大。

而噪声对应的小波系数的分布则恰好相反，通过设定特定的阈值对小波系数进行取舍，得到估计小波系数，最后通过估计小波系数进行小波重构，得到去噪后的图像。

如图（2）所示，为含噪图像和经过两次小波去噪的图像：
图（2）小波两次去噪图像
3.3 图像融合
在某些情况下，由于受照明环境条件（如噪声、云、烟雾、雨等）、目标状态（如运动、密集目标、伪装目标等）、目标位置（如远近、障碍物）等因素的影响，如何将图像信息进行融合，获得较为完整信息，是解决此类问题的关键。

这里的图像融合是特指将两幅图像中聚焦清晰的部分融合在一起，获得一个无散焦迷糊的结果图像。

源图像经过小波分解后具有以下特性：
1）源图像中区域的数据变化幅度与在变换域上图像中相应区域的数据变化幅度一致；
2）对于同一目标物体或同一物体的不同源图像，在其变换域上低频子图像相应区域的数据值相同或相近，而高频子图像却有着显著的差别。

小波分解的上述特性，为有效融合方法的选择提供了理论依据。

基于小波变换的图像融合，就是对原始图像进行小波变换，将其分解在不同频段的不同特征域上，然后在不同的特征域内进行融合，再用小波逆变换得到合成图像的过程。

与传统的数据融合方法，如PCA、IHS等相比，小波融合模型不仅能够针对输入图像的不同特征来合理选择小波基以及小波变换的次数，而且在融合操作时又可以根据实际需要来引入双方的细节信息，从而表现出更强的针对性和实用性，融合效果更好。

如图（3）所示，为小波在不同频率（高频和低频）上的融合图像：
图（3）小波融合后的图像
3.4 图像增强
图像增强是图像处理中一项非常重要且应用广泛的技术，其目的是为了降低噪声，突出图像的期望特征，以便于进一步的处理和分析应用。

基于小波变换的图像增强技术在目前图像处理领域研究中尚处于探索性阶段，图像增强是指按特定的需要突出图像上的某些信息，同时削弱或去除某些不重要的信息的图像处理方法。

傅里叶分析时在所有点的分辨率都是原始图像的尺度，但是我们可能不需要这么大的分辨率，而单纯的时域分析又显得太粗糙。

小波变换的多尺度分析特性为提供了灵活的处理方法，可以选择任意的分解层数。

小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向都不同的分量，
在做逆变换前可以改变变换域中某些系数的大小，从而有选择的放大所感兴趣的分量而减小不需要的分量，用尽可能少的计算量得到更满意的结果。

如图（4）所示，为小波的增强图像：
图（4）小波增强图像
3.5 图像分解与重构
Mallat是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，它建立了小波变换快速算法，运用于信号和图像的分解与重构。

小波分解后的重构分两种：一种是完全重构，就是把最终分解的最大阶次的逼近信息和各阶细节信息加到一起重构，得到原始信号，通常应用时为了某种目的，可以减少某些阶次的信息去重构，例如消噪时，可以去掉几个低阶的细节信息，用高阶细节和最大阶次的逼近信息完全重构，就可以得到原始图像消噪的结果；另一种是单级重构，就是不管逼近还是细节的小波系数都是不能直接应用的，通常都需要用小波系数重构才能得到处理结果。

用小波变换可以将图像分解为更低分辨率水平上的低频轮廓信息和原始信号在水平、垂直和对角线方向的高频细节信息,且可以对图像作多次分解，也可将不同频率的图像进行重构。

如图（5.1）、（5.2）所示为小波变换对图像在不同频率上的分解和重构：
图（5.1）小波变换对图像的分解
图（5.2）小波变换对图像的重构
3.6 图像边缘检测
边缘检测是图像处理领域的重要课题，是进行模式识别和图像信息提取的基本手段。

物体的边缘往往是图像局部特性的不连续性表现，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等。

图像边缘的特性表现为沿边沿缘走向的像素变化平缓，而垂直于边缘方向的像素变化剧烈。

由于实际图像的空间频率成份复杂，经典的图像边缘检测算法存在噪声抑制和边缘定位精度之间的矛盾，而小波变换具有良好的时域局部化特性和多尺度分析能力，适合检测突变信号，用小波变换可以将图像分解成不同频率成份的小波分量，然后再从这些不同层次的小
波分量中找出信号本身的特征，所以基于小波变换的边缘检测算法可以有效的对图像进行边缘提取。

图（6）所示为小波变换对图像的边缘检测：
图（6）边缘检测图像
3.7 图像检索
随着多媒体和因特网技术的迅速发展，使得图像数据库应用在短时间内成为一个新的研究热点。

在这一新的领域里，如何高效、准确地进行图像的检索成为人们关心的核心技术之一。

图像检索技术的发展大体经过了两个阶段，基于文本的图像检索和基于内容的图像检索。

目前小波变换在图像检索技术中的应用都是基于内容的图像检索技术。

基于内容的图像检索技术是一种综合集成技术，以自动提取图像中的视觉特征作为索引，如颜色、形状、纹理等，并存储在特征库中，用户可以根据自己定义的图像特征，查找类似或相关的图像。

大多数图像检索都采用多特征查询，如颜色和纹理特征，但是不同系统对不同特征的检索都有不同的相似性度量方法，很难找到一个
与用户要求最相符合的综合性相似度方法。

有些图像检索系统利用小波变换后的系数为特征来解决基于形状的图像检索问题，但这些方法通过规则抽样进行离散小波变换以后得到的小波系数缺少平移不变性。

对于此问题，有人提出了基于小波变换的图像检索方法，通过对图像进行小波变换获得多尺度边界图像的不变距，使用归一化不变距的加权欧氏距离来表示图像的相似度，这种方法能够很好地描述图像的形状和空间分布信息，检索效果良好。

后有学者提出了一种新的基于自适应提升小波的图像检索算法，这种算法降低了噪声对检索结果的影响，具有良好的缩放、旋转和镜像不变性，检索结果能较好地符合人的视觉感受。

4 小波变换进行指纹识别
指纹识别技术就是图像处理应用中的一个典型例子。

指纹识别技术除应用于刑事侦察用之外，在民用方面已非常广泛，如指纹门禁系统、指纹考勤系统、银行指纹储蓄系统、证券交易指纹系统、指纹枪械管理系统、智能建筑指纹门禁管理系统、驾驶员指纹管理系统等。

从图像采集设备取得的指纹图像会受多种因素影响，都会给指纹图像带来各种噪声，比如手指被弄脏，手指上有刀疤、伤疤，手指干和湿，手指皮肤本身的纹路质量低，手指在采集窗口上的移动和不准确的压力以及传感器易受干扰等，都可能会影响指纹识别的准确性。

为了使指纹识别更快、准确率更高，必须对指纹图像进行处理。

在指纹图像预处理的方法中，传统的基于傅里叶变换的去噪方法
存在着保护信号局部性和抑制噪声之间的矛盾。

小波变换是传统傅里叶变换的继承和发展，由于小波的多分辨率分析具有良好的空间域和频率域局部化特性，对高频采用逐渐精细的时域或空域变换，可以聚焦到分析对象的任意细节，因此，非常适合对图像信号这一类非平稳信号进行处理。

小波变换的方法进行指纹预处理，可直接对二值化后的指纹图像进行离散小波变换，提取其特征值。

基于离散小波变换可以快速有效地提取指纹的细节特征，将指纹的细节特征转化为小波域的特征向量。

因此小波变换可以避免繁琐的预处理计算，有效降低特征获取时间，并减少了指纹特征库比对的时间，加快识别速度，提高指纹识别系统的实时性。

5 小波变换进行人脸识别
人脸识别技术己经成为图像处理、模式识别和计算机视觉领域的研究热点。

可用于公安系统刑侦破案的犯罪身份识别、身份证及驾驶证等证件验证、银行及海关监控、自动门卫系统、视频会议、机器人的智能化研究以及医学等方面。

对于人脸识别领域，由于人脸处于高维，人脸是非刚体，存在表情变化；人脸随着年龄增长而变化；发型、眼镜、帽子及口罩等装饰对人脸造成遮挡；人脸受光照、成像角度、成像距离等影响，因此人脸图像信号存在极大的不确定性。

人脸图像经离散小波分解后得到不同尺度、不同频率的小波系数分量矩阵，这些系数完备的描述了信号
的时域、频域特征，不仅有效地降低了维数，而且有助于降低噪声对模式特征的影响。

应用离散小波变换将人脸图像分解为不同分辨率和尺寸的子分量，为人脸定位、特征提取和识别提供了不同时、频域信息，同时，实现简单，低分辨率子图降低了计算的复杂度，更加适合于实时人脸识别系统。

6 小波变换进行虹膜识别
与指纹、人脸、声纹等生物识别技术相比较，虹膜识别存在着明显的优势。

人脸、声纹等属于易变特征，甚至指纹也会随着时间或是人为的改变造成误识，使系统的可靠性和识别的准确率降低，而人的虹膜具有终身不变性，可使误识率将至最小，大大提高准确率和安全性。

与身份证、信用卡、门禁卡以及ID号码等传统识别方式相比，其优势是十分明显的。

传统的虹膜识别算法，如Daugman提出的利用Gabor滤波器对虹膜纹理进行一种简单的粗量化和编码；Wildes提出的识别算法依赖于图像登记技术，计算量较大。

近期，Boles等人又提出了一种基于小波变换过零检测的新的虹膜识别算法，此方法克服了以往识别系统受漂移、旋转和比例缩放带来的局限，并且克服了对亮度变化及噪声的影响。

在对虹膜纹理图像编码前，先建立虹膜的特殊结构模型，然后自适应选取最优小波基，以完成具有高压缩比的特征编码方式来完成准
确的特征提取和高速模式匹配。

小波分析方法在纹理图像的特征提取中的应用可以借助与信号处理中变换与逆变换的意义来表达。

变换中的每个系数是由输入函数和其中一个基系数之间的内积确定的，在某种意义下，这个值表示输入系数和那个特定基函数之间的相似程度；逆变换则是以变换系数为幅度权重的基函数加权和来重构原始信号或图像，如果信号或图像中感兴趣的分量与一个或少量基函数相似，这些分量将以基函数的最大系数来体现，这样它们在变换中“容易被找到”，这导致变换在信号或图像特征抽取方面成为一种极其强有力的方法。

小波变换是处理瞬变信号的一种强有力的新工具，因此能有效地应用于边缘检测、编码、解码、模式识别等问题。

7 总结和展望
小波变换是一种快速发展的信号分析方法，它继承了傅里叶变换的优点，同时又克服了它的许多缺点，能够同时提供信号在时域和频域中的信息，并且由于其运算时间也比傅里叶变换少, 因此在现代工程，如：图像处理、模式识别、机器学习等领域得到了广泛的应用。

本文对小波变换做了简单的说明，详细介绍了小波变换在图像处理中的应用，但由于小波变换的应用时间并不是很长，小波理论的应用还处在初级阶段，很多研究内容并不完善。

相信随着研究的深入，小波理论在图像处理中的应用会越来越多，越来越广，小波变换将使图形、图像处理进入更高的层次。

小波变换在图像处理中的应用
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