2.3.1-2.3.2-空间直角坐标系的建立--空间直角坐标系中的坐标-课件(北师大必修2)
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A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)； C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)． 由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)， ∴B1的横坐标为3，纵坐标为5， ∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)， ∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．
[悟一法] 1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．
[错因] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正 三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系 ∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住 空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应 选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果 没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确 定点(x0，y0，z0)的位置． (3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|， |z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)， 则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．
[研一题]
[例1] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3， AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方 体各顶点的坐标．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一 坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另 一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离 加上正负号)确定第三个坐标．
[通一类]
1．如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点， 试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的 坐标．
[自主解答]如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直 线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系 Oxyz. ∵长方体的棱长AD＝3， DC＝AB＝5， DD1＝AA1＝4， 显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)； C在y轴上，∴C(0,5,0)；
D1在z轴上，∴D1(0,0,4)； B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；
(3)P(x，y，z)关―于――坐―标―平―面―xO―y―对→称P5(x，y，－z)； P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―y―O―z对―称→P6(－x，y，z)； P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―x―O―z对―称→P7(x，－y，z)．
[通一类] 2．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适
[研一题]
[例2] 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对 称的点的坐标．
[自主解答] 如图所示， 过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)． 过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB. 则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)． A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
[正解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1， 可得 BO⊥AC，
分别以 OB，OC，OO1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
∵三棱柱各棱长均为 1， ∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12， OB＝ 23， ∵A，B，C 均在坐标轴上，
∴A(0，－12，0)，B( 23，0,0)，C(0，12，0)， 点 A1 与 C1 在 yOz 平面内， ∴A1(0，－12，1)，C1(0，12，1)， 点 B1 在 xOy 面内射影为 B，且 BB1＝1.
[读教材·填要点]
1．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系．
在空间直角坐标系中，四指先指向 x轴 正方向， 然后让四指沿握拳方向旋转90°指向 y轴 正方向，此 时大拇指指向 Z 轴 正向，这样的坐标系称右手系．
(2)坐标系中相关概念． 如图所示的坐标系中，O 叫作原点， x，y，z 轴
统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平 面，分别记为 xOy平面、 yOz平面 、 zOx平面 ．
有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[错解] 如图，分别以AB、AC、AA1所在的直 线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 显然A(0,0,0)，
又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上， ∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，
B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内， ∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)， ∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
P3 与 P1 关于原点 O 对称，P4 与 P2 关于原点 O 对称． ∴P3(－a2，－a2，0)，P4(a2，－a2，0)．
又∵|SP1|＝a，|OP1|＝ 22a，
∴在 Rt△SOP1 中，|SO|＝
a2－a22＝ 22a.
∴S(0,0，
2 2 a).
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所
解：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，E 点 在平面 xDy 中，且|EA|＝12.
∴E 点的坐标为(1，12，0)． ∵B 点和 B1 点的坐标分别为 (1,1,0)和(1,1,1)，故 F 点坐标为(1,1，12)． 同理可得 G 点坐标为(1，12，12)．
பைடு நூலகம்
2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？ 提示：确定点的位置一般有三种方法：
(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平 面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂 直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作 垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点 即为所求．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组 (x，y，z)来表示，第一个是 x 坐标，第二个是 y 坐标， 第三个是z坐标．
(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立
了 一一对应 的关系．
[小问题·大思维]
1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成 夹角为90°？ 提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴 的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝ 135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝ 90°，以表示z轴竖直．
当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．
解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂 直于Oy轴和Ox轴(如右图)．
正四棱锥S－P1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形 的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，
∵d(P1P2)＝a，而 P1，P2，P3，P4 均在 xOy 平面上， ∴P1(a2，a2，0)，P2(－a2，a2，0)．
[悟一法] 点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： (1)P(x，y，z)关于原点对称 P1(－x，－y，－z)； (2)P(x，y，z)关于 x 轴对称 P2(x，－y，－z)；
关于y轴对称 P(x，y，z)――――――→P3(－x，y，－z)； P(x，y，z)――关―于―z轴―对―称―→P4(－x，－y，z)． 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”．
∴B1( 23，0,1)， ∴各点的坐标为 A(0，－12，0)，B( 23，0,0)， C(0，12，0)，A1(0，－12，1)，B1( 23，0,1)， C1(0，12，1)．
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[悟一法] 1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．
[错因] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正 三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系 ∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住 空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应 选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果 没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确 定点(x0，y0，z0)的位置． (3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|， |z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)， 则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．
[研一题]
[例1] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3， AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方 体各顶点的坐标．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一 坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另 一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离 加上正负号)确定第三个坐标．
[通一类]
1．如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点， 试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的 坐标．
[自主解答]如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直 线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系 Oxyz. ∵长方体的棱长AD＝3， DC＝AB＝5， DD1＝AA1＝4， 显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)； C在y轴上，∴C(0,5,0)；
D1在z轴上，∴D1(0,0,4)； B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；
(3)P(x，y，z)关―于――坐―标―平―面―xO―y―对→称P5(x，y，－z)； P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―y―O―z对―称→P6(－x，y，z)； P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―x―O―z对―称→P7(x，－y，z)．
[通一类] 2．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适
[研一题]
[例2] 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对 称的点的坐标．
[自主解答] 如图所示， 过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)． 过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB. 则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)． A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
[正解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1， 可得 BO⊥AC，
分别以 OB，OC，OO1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
∵三棱柱各棱长均为 1， ∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12， OB＝ 23， ∵A，B，C 均在坐标轴上，
∴A(0，－12，0)，B( 23，0,0)，C(0，12，0)， 点 A1 与 C1 在 yOz 平面内， ∴A1(0，－12，1)，C1(0，12，1)， 点 B1 在 xOy 面内射影为 B，且 BB1＝1.
[读教材·填要点]
1．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系．
在空间直角坐标系中，四指先指向 x轴 正方向， 然后让四指沿握拳方向旋转90°指向 y轴 正方向，此 时大拇指指向 Z 轴 正向，这样的坐标系称右手系．
(2)坐标系中相关概念． 如图所示的坐标系中，O 叫作原点， x，y，z 轴
统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平 面，分别记为 xOy平面、 yOz平面 、 zOx平面 ．
有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[错解] 如图，分别以AB、AC、AA1所在的直 线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 显然A(0,0,0)，
又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上， ∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，
B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内， ∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)， ∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
P3 与 P1 关于原点 O 对称，P4 与 P2 关于原点 O 对称． ∴P3(－a2，－a2，0)，P4(a2，－a2，0)．
又∵|SP1|＝a，|OP1|＝ 22a，
∴在 Rt△SOP1 中，|SO|＝
a2－a22＝ 22a.
∴S(0,0，
2 2 a).
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所
解：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，E 点 在平面 xDy 中，且|EA|＝12.
∴E 点的坐标为(1，12，0)． ∵B 点和 B1 点的坐标分别为 (1,1,0)和(1,1,1)，故 F 点坐标为(1,1，12)． 同理可得 G 点坐标为(1，12，12)．
பைடு நூலகம்
2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？ 提示：确定点的位置一般有三种方法：
(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平 面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂 直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作 垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点 即为所求．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组 (x，y，z)来表示，第一个是 x 坐标，第二个是 y 坐标， 第三个是z坐标．
(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立
了 一一对应 的关系．
[小问题·大思维]
1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成 夹角为90°？ 提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴 的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝ 135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝ 90°，以表示z轴竖直．
当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．
解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂 直于Oy轴和Ox轴(如右图)．
正四棱锥S－P1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形 的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，
∵d(P1P2)＝a，而 P1，P2，P3，P4 均在 xOy 平面上， ∴P1(a2，a2，0)，P2(－a2，a2，0)．
[悟一法] 点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： (1)P(x，y，z)关于原点对称 P1(－x，－y，－z)； (2)P(x，y，z)关于 x 轴对称 P2(x，－y，－z)；
关于y轴对称 P(x，y，z)――――――→P3(－x，y，－z)； P(x，y，z)――关―于―z轴―对―称―→P4(－x，－y，z)． 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”．
∴B1( 23，0,1)， ∴各点的坐标为 A(0，－12，0)，B( 23，0,0)， C(0，12，0)，A1(0，－12，1)，B1( 23，0,1)， C1(0，12，1)．
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