刚体力学补充内容

刚体力学补充内容
一圆柱质量为m，半径为R。静
止地放在摩擦系数为
F
m 的粗糙水平面上。若沿水平方
向过质心加恒定外力F，
求其运动。
[分析] 受力：外力F，重力mg，支持力N，摩擦力f 如何运动与F、f 有关，而f 又与运动情况有关
a、又滚又滑 f = mN 接触点有相对滑动 b、纯滚动 f < mN 接触点在接触瞬时v = 0，f 不做功
刚利体用力相学补对充瞬内心容 的角动量定理：
y
Jp
1 ml2 3
ml 2
cos2 q
M p mgl cosq
p
Jpq Mp
cos2 q 1 q g cosq 0 N
3 l
q
C mg
Jpq Mp mq
O
x
1 cos2 q ml 2q mgl cosq ml cosq l sinq qq
瞬时转动中心（瞬心）
刚体的平面平行运动可看作每一时刻都绕平面上或平面外某点
的一个转动，一般而言，此点在不同时刻在不同的位置上。即
转动中心是随时间改变的，故称瞬时转动中心。
A’
B
A
B’
vA
vB A B
A
A vA vB
B
pB
A
vA
A’ 上海交通大学物理系高B景’jgao@sjtu.edu.cn
vB
B
刚相体对力瞬学补心充的内转容 动定律
Jp
d
dt
Mp
上海d交dL通tp大学物理dd系rtp高景Mjgavo@c sjtuM.edup.cn
Jp
d
dt
2M
刚长体2力l，学质补充量内m容，均匀刚性棒，放在光滑水平面上，下端与水平面接
触。棒的运动方程？
y
基本方法：mac N mg
Jcq Nl cosq
Jc
1 3
ml 2
p N
约束方程 yc l sinq
a
x
xc
Hale Waihona Puke Baidu
l 2
c osq
yc
l 2
s in q
(1)球的v0，0成何关系，球将滑至完全停止？
(2)球的v0，0成何关系，球滑到停止后返回，且最终速
度为3v0/7。
0
R
vA vC R t 0 : vA v0 R0 0 球受摩擦力，质心减速 vC v0 m gt
m
v0 由于摩擦力矩作用，球减速转动
q
C mg
N
l
Jcq , cosq
ac
yc
lqcosq
lq2 sinq
O
x
最后得 cos2 q 1 q sinq cosq q g cosq 0
3
l
利用机械能守恒定律：
1 2
myc2
1 2
1 3
ml 2q2
mgyc
const
上海交通大学物理系高景jgao@sjtu.edu.cn
yc l sinq
两个过程：
打击过程 连滚带滑 纯滚动
上海交通大学物理系高景jgao@sjtu.edu.cn
d
dt
rp
2MO
p
rc
C
上海交通大学物理系高景jgao@sjtu.edu.cn
刚体dMd力rtp学补M充内v容c
d dt
rc
M
Mvc
M
vc
p
rp
C
rc
O
ˆ ˆ ˆ
Jp
d
dt
Mp
M
2ˆ ˆ
相对瞬心的角动量定理
若转动过程中质心到瞬心距离保持不变，即 const
fA
mngR 2 mR2a
任一时刻
0
5mg
2R
t
5
a 5mg
2R
(1)球滑至完全停止，必满足 vC 0, 0
t v0 2R0 mg 5mg
v0
2 5
R0
(2)球停止滑动时
vC
0,
t1
v0
mg
0
5v0 2R
此后，质心速度为负，质心后退，但角速度仍沿原方向
摩擦力方向不变
质心向左加速，球转动继续减慢
如何考虑？
假设一种情况，得出结果后看是否合理。
上海交通大学物理系高景jgao@sjtu.edu.cn
刚体力学补充内容
若运动受到约束，则所受外力中除主动力外还存在着约束力，而 约束力在解出运动前是未知的，因此除基本方程外还需列出相应的 约束方程，才能构成完整的方程组。
刚体作平面平行运动时，在一定条件下还可选瞬时转动中心作 为角动量定理的参考点。
dLP dt
i
d dt
i
dri dt
mivi
ri rp
mi
vi
drp dt
mivi
ri
mi
dvi dt
ri’ i p
rp
ri
O
Lp
ri
mivi
i
0
dLp dt
drp dt
Mvc
i
Mvc
ri
Fi
Fi drp dt
Mvc
Mp
ddL在tJp p刚d体dddtt作平Jdpd面t运J动c J情pM况dd下t2ddJJtpp
v0
3v0
7R
代入即得
v0
1 4
R0
刚用体杆力学猛补击充内一容原来静止的小球，杆水平地打在中心线以上
h处，球被打击后质心以速率v0开始运动，球同时向前旋 转，经过一段距离后球作纯滚动，此时质心速率为9v0/7， 求h
F
[分析] 打击后，v0 ， 0
h
球运动状态：连滚带滑 纯滚动
R
最后v = 9v0/7 > v0，所以摩擦力 f 方向向前，且 0 R > v0 f 的作用使 ，v ，直至 R = v，从而开始纯滚动。
3
mgl cosq ml 2q2 cosq sinq
cos2 q 1 q sinq cosq q g cosq 0
3
l
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刚体力学补充内容
长为l，质量为m的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位
置自然倒下，当杆与铅直线的夹角为q 时，求质心的速
度与杆的加速度。
y
mg
l 2
1 2
mvc2
1 2
J
2
mgyc
q
yc
l 2
cosq
x 若应用运动定理
为 y pxy qx 型方程
通解 y e pdx qe pdxdx c
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刚体力学补充内容
棒一端置于光滑水平面上，另一端靠在光滑墙上，
棒与地面夹角a ，由此开始下滑。证明与地面夹角为
到某个时刻t2，A点速度为零，球开始做纯滚动
vA
vC
R
v0
m
gt2
0
5m g
2R
t2
R
0
t2
2v0 R0
7mg
此时
vC
v0
m gt2
3 7
v0
v0
1 4
R0
0
R
球相对P点角动量守恒
m
P
v0
(1)
2 5
mR20
mv0
R
0
v0
2 5
R0
(2)
2 5
mR20
mv0
R
mvR
2 5
mR2
以
v
3 7
sin-1(2sina / 3)时棒与墙分离。并求以后的运动，落地
时的角速度。
y
Nx mxc
N y mg myc
l 2
Nx
sin
q
l 2
N
y
sin
2
q
1 12
ml 2
d2 dt 2
q
1 12
ml 2q
当t =0时, q a
上海交通大学物理系高景jgao@sjtu.edu.cn
Nx
mg Ny