人教版高中数学-必修4第一章《三角函数》小结

数学·必修4(人教A版)

三角函数的概念

►专题归纳

三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．

►例题分析

求下列函数的定义域：

(1)y＝1－2cos x＋lg(2sin x－1)；

(2)y＝3tan x＋ 3.

分析：本题主要考查三角函数的定义域及数形结合的思想，列出满足条件的不等式(组)，结合单位圆中正弦线或余弦线、正切线求解，也可以作出函数的图象，由函数图象写出解集．

解析：(1)⎩⎨

⎧

1－2cos x ≥0，

2sin x －1＞0，

即⎩⎪⎨

⎪⎧

cos x ≤12

，sin x ＞1

2

.

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，

2k π＋π6＜x ＜2k π＋5π

6(k ∈Z ).

∴2k π＋π3≤x ＜2k π＋5π

6(k ∈Z)．

∴函数y ＝

1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域是

⎣

⎢⎡⎭⎪⎫

2k π＋π3，2k π＋56π(k ∈Z)．

(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－

3

3

. ∴k π－π6≤x ＜k π＋π2，

∴函数y ＝

3tan x ＋3的定义域为

⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫k π－π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .

点评：(1)注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题．

(2)求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．

已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，π，

求α的三个三角函数值．

分析：利用三角函数的比值定义求解．

解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0， ∴r ＝

x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，

故sin α＝y

r ＝－45

，

cos α＝x r ＝35，tan α＝y

x ＝－43

.

点评：利用三角函数定义解题时，注意距离r 是一正数．

►跟踪训练

1．若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．

解析：∵θ为第四象限，

∴0＜cos θ＜1＜π2，－π

2＜－1＜sin θ＜0，

∴sin(cos θ)＞0，cos(sin θ)＞0， ∴sin(cos θ)·cos(sin θ)＞0.

同角基本关系式和诱导公式的应用

►专题归纳

在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．

►例题分析

化简下列各式：

(1)sin 3(π＋α)cos (－α)cos (π－α)tan 3(π＋α)cos 3(－α－π)

＋

cos (α＋3π)sin 2

(α＋3π)cos 2⎝

⎛⎭

⎪

⎫

3π2＋αtan (α＋5π)tan (π＋α)cos 3(π＋α)

；

(2)tan (－510°)cos (－210°)cos 120°tan (－600°)sin (－330°)＋sin 29°

cos 61°－

tan 36°tan 54°.

分析：熟练诱导公式，关键是符号的正负． 解析：(1)原式

＝－sin 3αcos α(－cos α)tan 3α(－cos 3α)＋(－cos α)sin 2αsin 2α

tan αtan α(－cos 3

α) ＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2α

cos 2α·cos 3α

＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1.

(2)原式

＝－tan 510°cos 210°cos 120°－tan 600°(－sin 330°)＋sin 29°cos 61°－tan 36°tan 54°

＝－tan (360°＋150°)cos (180°＋30°)cos (180°－60°)

tan (2×360°－120°)sin (360°－30°)

＋1－tan

36°cot 36°

＝－tan 150°(－cos 30°)(－cos 60°)

tan (－120°)(－sin 30°)

＝tan (180°－30°)cos 30°cos 60°

tan (－180°＋60°)sin 30°

＝－tan 30°cos 30°cos 60°tan 60°sin 30°

＝－33×32×123×

12

＝－

36

. 点评：所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能的少．

已知tan α＝2，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．

分析：巧用“1”的变换，1＝sin 2α＋cos 2α，将所求式化为“关