多元函数极值的充分条件10

1 ) x sin ( 24 2 x 2 x cos 2 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
x 24
x
24 2 x
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2
极大值 极小值
AC B2 0
情况不定
A f xx ( x0，y0 )
， B f xy ( x0，y0 )
，C f yy ( x0，y0 )
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内容小结
求函数极值的一般步骤：z f ( x , y )
第一步 解方程组
f x ( x, y) 0
成本 最低 利润 最大
. . .
函数可疑点
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内容小结
二元函数取极值的 充分条件 定理2 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 并有一阶和二阶连续偏导数，且
f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0
f y ( x, y) 0
同时要考虑偏导 数不存在的点
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) 求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 根据 AC B 2 的符号，判断是否为极值点.
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内容小结
例1
3 3 2 2 求函数 f ( x，y) x y 3 x 3 y 9 x 的极值.
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内容小结
（1,0）
A B C AC-B2 12 0 6 72
（1,2）
12 0 -6 -72
（-3,0）
-12 0 6 -72
（-3,2）
-12 0 -6 72
结论
极小，-5
无极值
无极值
极大，31
A 6 x 6, B 0, C 6 y 6, AC B2 36( x 1)(1 y)
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内容小结
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos 2 sin 2 ) 0
解得:
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x (cos 2 sin 2 ) 0 60 , x 8 (cm) 3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求.
A 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
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内容小结
A f xx ( x0，y0 )
B f xy ( x0，y0 )
C f yy ( x0，y0 )
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内容小结
练习2 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积为
L 14 8 y 4 x 0
求得驻点（1.5,1），在该点处
2 A 4, B 8, C 20, AC B 80 64 16 0
该点是函数的极大值点，也是最大值点， 故最佳广告策略为，电视广告投入1.5万元，报纸广告投入1万元.
L( x, y) 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2
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内容小结
例2 某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R（万元）与 电视广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下关系：
R( x, y) 15 15 x 33 y 8 xy 2 x 2 10 y 2
在广告费用不限的条件下，求利润最大时 广告策略；
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第九章 多元函数微分法及其应用
知识点名称：091303 多元函数极值的充分条件
多元函数极值的充分条件
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例题解析 内容小结
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内容小结 用料 最省
函数Hale Waihona Puke Baidu极值
实际应用 （优化问题）
驻点 不可 导点
二元函数取得极值的充分条件 求二元函数极值的一般步骤
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解
由方程组
2 f x 3x 6 x 9 0 2 f 3 y 6y 0 y
解得驻点为(1，0)，(1，2)，(–3，0)， (–3，2).
A f xx ( x，y ) 6 x 6 ，B f xy ( x，y ) 0
，
C f yy ( x，y) 6 y 6，AC B2 36( x 1)(1 y)
记
A f xx ( x0，y0 ) ， B f xy ( x0，y0 ) ，C f yy ( x0，y0 )
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内容小结
则
f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
1
2 3
A 0 AC B 0 取得极值 A 0 AC B2 0 没有极值
利润函数： 解：由题意可知，
L( x , y ) R( x , y ) x y
即
L( x, y) 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2
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内容小结
令
x Ly 32 8 x 20 y 0
f ( x，y) x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x
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内容小结
练习1 求函数f ( x，y ) y3 x 2 6 x 12 y 5 的极值.
解得驻点为(3，2)，(3，–2).
极大值 f (3， 2) 30