如何证明极限不存在(精选多篇)-证明范本.doc
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在如何证明极限不存在？当我们讨论一个数列或函数的极限时，有时我们会遇到不能收敛到一个唯一的数值的情况，这就意味着极限不存在。
在这篇文章中，我们将探讨如何确定极限不存在。
首先，我们需要了解什么是极限。
极限是数学中非常重要的概念，它描述了当自变量趋近于某个值时函数的行为。
当自变量趋近于某个特定值时，如果函数的取值趋近于一个常数，我们称该常数为函数的极限。
例如，当自变量x趋近于无穷大时，如果函数f(x)的取值趋近于某个常数a，我们写作lim(x→∞)f(x) = a。
那么，如果我们无法找到一个常数a，使得当自变量趋近于某个特定值时函数的取值趋近于a，我们该如何证明极限不存在呢？下面是一些常用的证明方法：1. 变量的逼近法：我们可以选取一个适当的变量序列，使得当这个变量趋于特定值时，函数的取值不同。
如果我们可以找到至少两个不同的变量序列，使得在序列趋近于特定值时函数的取值不同，那么我们可以确定函数的极限不存在。
2. 两路径法：我们可以选取两条路径，分别使自变量x趋近于特定值。
如果这两条路径上函数的取值趋于不同的数值，那么我们可以断定函数的极限不存在。
3. ε-δ语言：这是一种更严谨的证明方法，首先我们需要假设存在一个极限值a，然后我们可以给出一个ε>0，并证明无论取多小的δ，总存在一个x在δ邻域内，其函数值与a的差大于ε。
这样就证明了极限不存在。
4. 间隔定义法：我们可以通过对函数在某个特定区间进行分析来证明极限不存在。
如果我们可以找到两个数x1和x2，在这个区间内，无论自变量如何变化，函数的取值都不在两个数之间，则可以确定函数的极限不存在。
无论使用哪种方法，我们都需要注意一些重要的细节：1. 证明的合理性：我们需要使用数学严谨的步骤来证明极限不存在，不能依靠主观的判断。
所有的证明必须经过推理和论证的过程，并且所有的步骤都要比较清晰地展示出来。
2. 反证法：我们也可以使用反证法来证明极限不存在。
【精品】二元函数极限不存在的证明方法
二元函数极限不存在的证明方法摘要函数是数学中最基本内容，极限方法是研究函数最主要的方法之一，在数学中的学习中,函数是最基本的内容，在研究函数的方法中,最常见的方法就是极限方法，不仅如此，极限的理论是后续更加轻松的学习微积分的基础，在高等数学中，我们也经常用到极限的法子解决，只是没有明确的被提出来这个概念。
证明函数的极限难度是比较大的，在数学的学习中，我们可以碰到各种各样的函数。
二元函数是一元函数的推广，也是学习多元函数的基础。
与一元函数的极限相比较，我们这个写到的二元函数极限就要复杂的多，数学思想方法是数学解题方法高度的凝炼。
每个学数学的学生以及老师都要接触数学思想方法的学习，对于师范数学专业学生，数学思想方法更是一门必修课，这对于以后在教学中是有启发意义的.二元，顾名思义就是自变量为２的函数，一元函数的自变量是１,很明显，二元的要比一元复杂，再加上它是由平面涉及到立体。
从后面的定义中，我们发现，它远远没有一元函数那样简单，涉及到聚点，路径的选取。
它研究的平面上动点逼近与一个确定的点时，所对应函数值的变化趋势。
在我们现实生活中,与工程计算中,计算利润，尺寸时，极限是非常基础的，所以工科学生也是必须懂的。
例如:我们以吃穿住行费用为自变量,计算总消费这个因变量是。
为了幸福指数,怎么消费更合适就会想到多维函数.本文用通俗易懂的语言描述二元关系以及判断几种不存在的方法，让读者更深刻理解极限概念.关键词：函数极限；累次极限；不存在;路径;齐次函数;点列AbstractFunction is the most basic mathematical content, ultimate method is to study the function of one of the most important ways, limit theory is the basis of calculus, limit method in higher mathematics is the focus, difficulties. Proof of function limit is difficult, in the learning of mathematics, we can meet a wide variety of functions. Is a unary function binary function of promotion, is the basis for learning functions of several variables. Although the limit of binary function is more complex than the limit of a function, but this mathematical ideas and methods are the essence of mathematical knowledge, is the important part two of it form the basis for mathematical knowledge is still based on the function of one variable limits. Seeking the limit of binary function is actually the limit of function of hospitals seeking this more complex method is extended to the binary function. II Yuan function of limit is high mathematics teaching in the is important of content, heavy difficulties, but in existing of textbook in the, on its calculation method no detailed and full of describeＤ． limit of thought in many field has widely of application, two Yuan function of limit and a Yuan function of limit meaning same, it research of is plane Shang moving points trend a a sentinel Shi, corresponding of function value of changes trenＤ． paper in with field limit concept of positive described and denied described of unified analysis defined,, good seeking two Yuan function limit method, Easy to understand description of binary relations and deep understanding of the concept of limit.Key words：limit; repeated limi does not exist; path; homogeneous functions;目录TOC \o "１—３" \h \z \u 引言５１二元函数极限的基本理论６１．１二元函数的极限６１．１．１二元函数在有限点的极限７１．１．２二元函数在无穷远点的极限８１．２二元函数极限的性质８２二元函数极限不存在证明方法１１２．１路径法１１２．２点列法１３２．３累次极限法１５２．４归结法１９２．５定义法２０２．６齐次法２２总结２６谢辞２７参考文献２８引言我们前面学习了一元函数的极限，但是不论在数学理论问题中还是现实生活中,更多的量的变化不止是由一个因素决定,而是由多个因素决定的,如研究质点运动需要用到三个空间变量和一个时间变量以及多个函数值（如加速度,速度,动能,位置等）.在研究消费选择时,所讨论的效用函数是消费在吃和穿等的函数.我们讨论二元函数的极限不存在问题,因为不像一元函数那样有罗必塔法则可用来确定未知式。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法是数学分析中非常重要的一种方法，它可以帮助我们确定一个函数是否存在极限，从而更好地理解函数的性质。
本文将介绍证明极限不存在的方法的主要内容，并以优美的紧凑的排版格式输出。
一、定义在介绍证明极限不存在的方法之前，我们先来回顾一下极限的定义。
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$x$满足$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\epsilon$，则称$L$是$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。
二、证明极限不存在的方法1. 构造两个不同的数列证明极限不存在的一种方法是构造两个不同的数列，使得它们分别趋近于不同的极限。
具体来说，如果存在两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，满足$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$，且$a\neq b$，则$f(x)$在$x_0$处的极限不存在。
例如，考虑函数$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$，当$x\neq 1$时，$f(x)=x+1$。
我们可以构造两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，分别为$x_n=1+\dfrac{1}{n}$和$y_n=1-\dfrac{1}{n}$，则有$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$和$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1$，但是$\lim\limits_{x\to 1}f(x)$不存在，因为当$x\to 1$时，$f(x)$趋近于$2$和$0$，不满足极限存在的条件。
2. 利用夹逼定理夹逼定理是证明极限存在的重要方法，但它也可以用来证明极限不存在。
二元函数极限不存在的证明方法
二元函数极限不存在的证明方法摘要函数是数学中最基本内容，极限方法是研究函数最主要的方法之一，在数学中的学习中,函数是最基本的内容，在研究函数的方法中,最常见的方法就是极限方法，不仅如此，极限的理论是后续更加轻松的学习微积分的基础，在高等数学中，我们也经常用到极限的法子解决，只是没有明确的被提出来这个概念。
证明函数的极限难度是比较大的，在数学的学习中，我们可以碰到各种各样的函数。
二元函数是一元函数的义就是自变量为2的函数，一元函数的自变量是1,很明显，二元的要比一元复杂，再加上它是由平面涉及润，尺寸时，极限是非常基础的，所以工科学生也是必须懂的。
例如:我们以吃穿住行费用为自变量,计算总消费这个因变量是。
为了幸福指数,怎么消费更合适就会想到多维函数.本文用通俗易懂的语言描述二元关系以及判断几种不存在的方法，让读者更深刻理解极限概念.关键词：函数极限；累次极限；不存在;路径;齐次函数;点列AbstractFunction is the most basic mathematical content, ultimate method is to study the function of one of the most important ways, limit theory is the basis of calculus, limit method in higher mathematics is the focus, difficulties. Proof of function limit is difficult, in the learning of mathematics, we can meet a wide variety of functions. Is a unary function binary function of promotion, is the basis for learning functions of several variables. Although the limit of binary function is more complex than the limit of a function, but this mathematical ideas and methodsare the essence of mathematical knowledge, is the important part two of it form the basis for mathematical knowledge is still based on the function of one variable limits. Seeking the limit of binary function is actually the limit of function of hospitals seeking this more complex method is extended to the binary function. II Yuan function of limit is high mathematics teaching in the is important of content, heavy difficulties, but in existing of textbook in the, on its calculation method no detailed and full of described. limit of thought in many field has widely of application, two Yuan function of limit and a Yuan function of limit meaning same, it research of is plane Shang moving points trend a a sentinel Shi, corresponding of function value of changes trend. paper in with field limit concept of positive described and denied described of unified analysis defined,, good seeking two Yuan function limit method, Easy to understand description of binary relations and deep understanding of the concept of limit.Key words: limit; repeated limi does not exist; path; homogeneous functions;目录TOC \o "1-3" \h \z \u 引言51 二元函数极限的基本理论61.1 二元函数的极限61.1.1 二元函数在有限点的极限71.2二元函数极限的性质82.1 路径法112.2 点列法132.3 累次极限法152.4 归结法192.5 定义法202.6 齐次法22总结26谢辞27参考文献28引言我们前面学习了一元函数的极限，但是不论在数学理论问题中还是现实生活中,更多的量的变化不止是由一个因素决定,而是由多个因素决定的,如研究质点运动需要用到三个空间变量和一个时间变量以及多个函数值(如加速度,速度,动能,位置等).在研究消费选择时,所讨论的效用函数是消费在吃和穿等的函数.我们讨论二元函数的极限不存在问题,因为不像一元函数那样有罗必塔法则可用来确定未知式。
极限证明(精选多篇)
极限证明(精选多篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。
an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。
证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。
?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。
证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
极限不存在证法例谈
双侧极限 & 当函数在分点两侧用不同式子定义时 ! 则需计算两个单侧极限 $ 需要提醒注意的是 ! 有时 函数在分点两侧虽 然 用 一 个 式 子 定 义 ! 但极限情 况不同 ! 此时也要从单侧极限入手考虑 $ 例 " 设 -’ ?(: 9 E 6 C ? + !’ ? % #! ? :""""? : #!求 0 , I ?( 7 -’ *? ?1# ’ E 6 C %+ % # ? $ #! , ?
注 " 用极限 定 义 的 否 定 式 去 否 定 某 一 个 常 数是数列的极限时 " 要用逐次缩小不等式的方法 " 关键是找! #7 ’" 用子列的性质 讨论数列的敛散性 " 经常用到子数列 $ 子数列 与原数列的 极 限 具 有 密 切 的 关 系 " 即& 如果数列 ) 有极限’" 则其任何子数列 ) *的极限必存 ? ? ** * F 在" 并且也是 ’’ 与这个结论等 价 的 叙 述 是 ( 如果 7 数列 ) 有某一个子数列 发 散 " 或有某两个收敛 ? **
第9 % 卷第 ; 期 ’ # # ;年9 ’月
高等函授学报 ! 自然科学版 # ! # ? 6 . 3 * / 0 6 @A , B 2 35 6 3 3 2 C 6 * + 2 * E 2F + . E / 8 , 6 * > / 8 . 3 / 0G E , 2 * E 2 C """ """ 4 D
收稿日期 ( ’ # # ;J9 #J9 9 与研究 $
的极限 $ 这也是发散数列的正面叙述 $
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函数极限的定义证明
函数极限的定义证明第一篇：函数极限的定义证明习题1-31.根据函数极限的定义证明:(1)lim(3x-1)=8;x→3(2)lim(5x+2)=12;x→2x2-4=-4;(3)limx→-2x+21-4x3(4)lim=2.x→-2x+121证明(1)分析 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 要使|(3x-1)-8|<ε , 只须|x-3|<ε.31证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-3|<δ时, 有|(3x-1)-8|<ε, 所以lim(3x-1)=8.x→331(2)分析|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 要使|(5x+2)-12|<ε, 只须|x-2|<ε.51证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-2|<δ时, 有|(5x+2)-12|<ε , 所以lim(5x+2)=12.x→25(3)分析|x-(-2)|<ε.x2-4x2+4x+4x2-4-(-4)==|x+2|=|x-(-2)|, 要使-(-4)<ε, 只须x+2x+2x+2x2-4x2-4-(-4)<ε, 所以lim=-4.证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-(-2)|<δ时, 有x→-2x+2x+2(4)分析1-4x3111-4x31-2<ε, 只须|x-(-)|<ε.-2=|1-2x-2|=2|x-(-)|, 要使2x+12x+12221-4x3111-4x3-2<ε, 所以lim证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-(-)|<δ时, 有=2.12x+12x+122x→-2.根据函数极限的定义证明:(1)lim1+x32x3sinxx→∞=1;2(2)limx→+∞x=0.证明(1)分析|x|>11+x32x311+x3-x3-=22x3=12|x|3, 要使1+x32x3-11<ε, 只须<ε, 即322|x|2ε.证明因为∀ε>0, ∃X=(2)分析sinxx-0=12ε, 当|x|>X时, 有1x1+x32x311+x31-<ε, 所以lim=.x→∞2x3221x<ε, 即x>sinxx|sinx|x≤, 要使sinx证明因为∀ε>0, ∃X=ε2, 当x>X时, 有xsinxx-0<ε, 只须ε.-0<ε, 所以limx→+∞=0.3.当x→2时,y=x2→4.问δ等于多少, 使当|x-2|解由于x→2, |x-2|→0, 不妨设|x-2|<1, 即1<x<3.要使|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001, 只要|x-2|<0.001=0.0002, 取δ=0.0002, 则当0<|x-2|<δ时, 就有|x2-4|<0.001.5x2-1x+34.当x→∞时, y=x2-1x2+3→1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y-1|<0.01?解要使-1=4x2+3<0.01, 只|x|>-3=397, X=.0.015.证明函数f(x)=|x| 当x→0时极限为零.x|x|6.求f(x)=, ϕ(x)=当x→0时的左﹑右极限, 并说明它们在x→0时的极限是否存在.xx证明因为xlimf(x)=lim=lim1=1,x→0-x→0-xx→0-xlimf(x)=lim=lim1=1,x→0+x→0+xx→0+limf(x)=limf(x),-+x→0x→0所以极限limf(x)存在.x→0因为limϕ(x)=lim--x→0x→0|x|-x=lim=-1,-x→0xx|x|x=lim=1,xx→0+xlimϕ(x)=lim++x→0x→0limϕ(x)≠limϕ(x),-+x→0x→0所以极限limϕ(x)不存在.x→07.证明: 若x→+∞及x→-∞时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)=A.x→∞证明因为limf(x)=A, limf(x)=A, 所以∀ε>0,x→-∞∃X1>0, 使当x<-X1时, 有|f(x)-A|<ε;∃X2>0, 使当x>X2时, 有|f(x)-A|<ε.取X=max{X1, X2}, 则当|x|>X时, 有|f(x)-A|<ε, 即limf(x)=A.x→∞8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)→A(x→x0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0|f(x)-A||f(x)-A|0,∃δ1>0, 使当x0-δ10, 使当x0| f(x)-A|证明设f(x)→A(x→∞),则对于ε=1,∃X>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|<ε=1.所以|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A|<1+|A|.这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时, |f(x)|<M,其中M=1+|A|.第二篇：利用函数极限定义证明11习题2-21.利用函数极限定义证明:(3).limxsinx→01x=0;x|≤1，则当 0<|x|<δ时, 有证明: 对于任意给定的正数ε>0, 取δ=ε, 因为 |sinx1x1xxsin=|x|sin≤|x|<ε，所以limxsinx→0=0.2．利用无穷大量定义证明：（1）lim1+x4x→∞=∞；1+x4证明：对于任意给定的正数 G>0, 取 M=4G+1, 则当 |x|>M 时, 有|所以 lim1+x4=∞.|>G，x→∞5．证明：若limf(x)=A，则lim|f(x)|=|A|.x→x0x→x0证明：对于任意给定的正数ε>0, 由于limf(x)=A，存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时, 都有|f(x)-A|<ε，而-ε<-|f(x)-A|≤|f|-|A|≤|f-A|<ε，即||f(x)|-|A||<ε，所以lim|f(x)|=|A|.x→x0第三篇：用定义证明函数极限方法总结144163369.doc用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式limf(x)=c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节x→a不同。
证明多元函数极限不存在
证明多元函数极限不存在多元函数的极限问题在很多数学学科中都有广泛的应用，尤其是在微积分和实分析课程中。
然而，有些多元函数的极限并不一定存在，这在一些特殊情况下尤其明显。
本文将介绍如何证明多元函数极限不存在，并给出一些例子以帮助读者更好地理解。
第一类：分歧多元函数的分歧可以导致极限不存在。
分歧是指当沿着不同的路径逼近函数值时，函数值的极限不同。
例如，考虑函数f(x, y) = (x^2-y^2)/(x^2+y^2)。
当以不同的方法逼近点(0,0)时，这个函数可能会收敛到不同的极限。
例如，如果我们考虑以x轴为x=0的直线逼近(0,0)，则f(x, y) = -1，但如果我们考虑以y轴为y=0的直线逼近(0,0)，则f(x, y) = 1。
因此，f(x, y)在点(0,0)处的极限不存在。
第二类：震荡另一种导致多元函数极限不存在的情况是震荡。
震荡是指当函数值在逼近某个极限时来回振荡的情况。
例如，考虑函数f(x, y) =sin(x^2+y^2)/x。
当x趋近于0时，函数值在不同的(y, x)点上来回振荡。
虽然函数的绝对值总是小于等于1，但结果是这个函数在(0,0)点不存在极限。
第三类：无穷在某些情况下，函数的极限问题可以被简化为证明函数的无穷。
例如，考虑函数f(x, y) = 1/(x^2+y^2)，它在平面上的图像是一个射线从原点开始向外扩展。
当我们接近原点时，这个函数的值变得越来越大。
我们可以证明这个函数在原点没有界，因此它的极限也不存在。
第四类：不连续最后，函数的不连续性也可能导致函数的极限不存在。
例如，考虑函数f(x, y) = |x|/x。
当x>0时，f(x, y) = 1；当x<0时，f(x, y) = -1。
很明显，这个函数在(0,0)处不连续，因此它的极限也不存在。
综上所述，证明多元函数极限不存在需要通过证明函数的分歧、震荡、无穷或不连续性来实现。
在处理这些证明问题时，需要表达得简单清晰，使用适当的符号，注重逻辑严密性。
证明极限不存在
证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于(0,0)时极限分别为 -3 和 -1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)证明该极限不存在lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)=1-lim8 / [(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2) 极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法引言极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点附近的行为。
在某些情况下，我们可能希望证明一个函数的极限不存在，即在某一点上函数无法趋近于一个确定的值。
本文将介绍几种常见的证明极限不存在的方法。
反证法反证法是一种常用的证明方法，用于证明某个命题的否定。
在证明极限不存在时，我们可以假设极限存在，并通过推理得出矛盾的结论，从而得出极限不存在的结论。
步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。
2.利用极限的定义，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x，只要|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε。
3.通过推理得出矛盾的结论，例如找到一个特定的x值，使得|f(x)-L|≥ε。
4.得出结论：函数f(x)在点a处的极限不存在。
间隔法间隔法是一种通过构造两个不同的数列来证明极限不存在的方法。
我们可以选择两个不同的数列，使得它们分别趋近于函数极限的两个不同值，从而得出极限不存在的结论。
步骤：1.找到两个不同的数列{xn}和{yn}，使得lim(xn)=a，lim(yn)=b，其中a≠b。
2.利用函数的性质，证明对于任意的ε>0，存在正整数N1和N2，使得当n>N1时，|f(xn)-L1|<ε，当n>N2时，|f(yn)-L2|<ε。
3.选择一个足够小的正数ε，使得ε<|L1-L2|，从而得出矛盾的结论。
4.得出结论：函数f(x)的极限不存在。
Cauchy准则Cauchy准则是一种常用于证明数列极限存在的方法，但也可以用于证明极限不存在。
该准则要求函数在某一点附近的值具有一定的波动性，即存在一对足够接近的点，使得函数在这两个点上的取值差异较大。
步骤：1.假设函数f(x)在点a处存在极限L。
2.利用Cauchy准则，选择一个足够小的正数ε，使得对于任意的x1和x2，只要|x1-a|<δ1，|x2-a|<δ2，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在如何证明极限不存在反证法若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
即|1-L|这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)矛盾所以原命题成立令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)用数学归纳法证此定理：n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1a+b故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)则，当n=n1+1时:式二两端同乘(a+b)[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b) = (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)因此二项式定理(即式一成立)下面用二项式定理计算这一极限：(1+1/n)^n (式一)用二项式展开得：(1+1/n)^n =1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2 *1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) …2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) …2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n - +∞,得0。
证明极限是否存在的方法
证明极限是否存在的方法说实话证明极限是否存在这事，我一开始也是瞎摸索。
我试过好几种方法呢。
有一种比较基础的就是直接根据极限的定义来证明。
就好比你要找一个宝藏，定义就给了你这个宝藏必须满足的条件。
但是这个方法有时候特别麻烦，你得把那个小的差值和大的范围来回倒腾，就像整理一团乱麻一样。
我之前证明一个简单的函数的极限，光是在那找合适的delta就是绞尽脑汁，特别容易出错。
还有就是利用函数的单调性来判断极限是否存在。
如果一个函数是单调递增或者单调递减的，并且有上界或者下界，那就像爬山一样，它不会无限制地乱跑，这种情况极限就是存在的。
不过我也有失败的时候，曾经我以为一个函数是单调的，就很草率地得出极限存在的结论，但后来仔细检查才发现，在某个小区间内它并不是单调的，就像原本以为是一条平坦的路，结果中间有个坑洼。
然后左极限和右极限相等这个方法也很常用。
这就好比从路的左边和右边走向一个点，要是最终都能到达同一个地方，那这个点的极限就是存在的。
比如说绝对值函数在0这点，你就得分别看从左边趋近和从右边趋近的情况。
我刚开始总是容易忘记分别去考虑两边，结果得出错误的结论。
另外，要是函数在某点附近有界，而且震荡不是特别剧烈，那极限也可能存在。
比如说一些三角函数在有界区间内的情况。
我曾经看到一个复杂的三角函数组合，乍一看感觉很懵，都不知道从哪下手去判断极限，后面才发现，只要找到它合理的界，然后分析震荡情况就能判断了。
在这里我得给个实在的建议，那就是不论用哪种方法，都要特别细心，多检查几遍，特别是最开始对函数或者数列的基本性质的分析一定不能错，不然一步错就步步错啦。
而且要多做些例题，像我就是做了好多不同类型的题后才有了更多的感悟。
再就是有时候函数是连续的也能帮助我们判断极限存在。
这就像链条一样，一环扣一环，如果函数在某个区间是连续的，那这个区间内大部分点的极限都是存在的，这里需要对函数的连续性要正确判断，我之前就把一些函数的连续区间判断错了，导致后面判断极限出了问题。
极限证明(精选多篇)
极限证明1.设f在上无穷次可微，且f??，求证当k?n?1时，?x，limf?0．x???2.设f??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf?0．?{xn}?3.设f在上无穷次可微；ff??0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f?0．sin)?1．求证limf存在．4.设f在上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在上连续，且f?0,记fvn?f,?n??exp{b?a，试证明：n1blnfdx}并利用上述等式证明下?ab?a式2??2?lndx?0?35.设f连续，???0fdt，且limx?0论?’在x?0处的连续性。f，求?’，并讨?ax36．给出riemann积分?afdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛i1lim?s。n??ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x???x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f?2x??f?x??a,求证：f’?0?存在且等于a.x1n40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?141.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f’?x??0,f’’有界，则limt??f’?t??042.用???分析定义证明limt??1x?31? x2?9243.证明下列各题?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；n?1??2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;n??n?1??3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,,证limnn???46.设f为上实值函数，且f＝1，f?＝〔1，＋?〕limf存在且小于1＋。x?＋?4，证明x?1）2x2＋f?47.已知数列{an}收敛于a，且a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于an48.若f?x?在?0,???上可微，limn??f?0，求证?0,???内存在一个单x??x调数列{?n}，使得lim?n???且limf??0n??x??e?sinx?cosx?,x?049.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f’’?x?在???,??处处存在。??ax?bx?c,x?0极限的证明 利用极限存在准则证明： 当x趋近于正无穷时，的极限为0;证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx>0,x_>0,故lnx/x_>0且lnx1),lnx/x_故的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0>√a时,xn-x=/2且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求x0综上,数列极限存在,且为√时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……时函数的极限： 由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性:th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会|xn+1-a|以此类推，改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|……|x2-a|向上迭代，可以得到|xn+1-a|2只要证明{x}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法：①证明{x}单调增加。x=√=√5>x;设x>x，则x-x)=√-√=/>0。②证明{x}有上界。x=1设xx=√3当0当0构造函数f=x*a =x* =x/t则：limf=limx/t=lim=lim1/=1/=0所以，对于数列n*a
函数极限的证明(精选多篇)
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
极限不存在的证明
极限不存在的证明
在微积分中，一个函数的极限在某些情况下可能不存在。
当一个函数的值无限地接近另一个值且趋向于该值时，我们说该函数在该值处具有极限。
然而，有时候我们无法找到函数在某个位置的极限。
下面就讲述一些无法存在极限的情况。
一、无界的函数
如果一个函数的值在某个点附近没有上下限，即值趋于正无穷或负无穷，则该函数在该点不存在极限。
例如，函数$f(x)=x$在$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值也趋近于正无穷大，因此$f(x)$在$x$趋近于无穷大时不存在极限。
二、周期函数
如果一个函数以某一个周期重复变化，则该函数在任意点不存在极限。
一个典型的例子是正弦函数。
正弦函数的图像是以一定的周期重复变化的，因此在任意点都不存在极限。
三、摆动不定的函数
综上所述，当一个函数在某个点的值摆动不定，以某一个周期重复变化，处于无界状态或者不存在左右侧极限时，该函数在该点不存在极限。
这些情况在数学分析和微积分中非常重要，因为它们说明了函数在某些情况下可能不存在极限，需要另外的方法来处理。
补充说明，对于不同的函数，需要观察其具体的性质来确认其是否存在极限。
如何证明极限不存在(精选多篇)
如何证明极限不存在(精选多篇)第一篇：证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )证明该极限不存在lim(x -5y )/(x +3y )=lim(x +3y )/(x +3y )-8y /(x +3y )=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数l，使limsin(1/x)=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，使|sin-l|<1/3，和|sin-l|<1/3，同时成立。
证明极限不存在的方法
证明极限不存在的方法要证明一个极限不存在，可以使用数学中的反证法来进行证明。
反证法是一种运用逻辑推理的方法，通过假设所要证明的结论为假，然后推导出一个导致矛盾的结论，从而证明原来的假设不成立。
假设要证明的极限L不存在，那么我们可以假设对于任意给定的正数ε，不存在正数δ，使得当x趋近于某个值c时，如果0 < x - c < δ，则f(x) - L < ε。
为了证明这个假设是不成立的，我们需要找到一个正数ε，对于任意的正数δ，总能找到一个x的取值范围，使得满足0 < x - c < δ，但是f(x) - L ≥ε。
这样就可以说明极限L不存在。
接下来，我们需要通过推理找到矛盾的地方。
一种常见的方法是通过构造一个符合要求的数列。
假设我们已经找到一个数列{x_n}，满足其极限为c。
那么我们就可以让函数取该数列作为自变量的取值，即考虑函数序列{f(x_n)}。
由于极限L不存在，那么对于我们已找到的正数ε，不存在正数δ，使得当0 < x - c < δ时，有f(x) - L < ε。
那么可以推断出，对于我们已找到的正数ε，对于任意正整数n，都存在正数δ_n，使得当0 < x_n - c < δ_n时，有f(x_n) - L ≥ε。
因为数列{x_n}的极限为c，所以我们可以构造一个正数序列{δ_n}，满足当n趋近于无穷大时，δ_n趋近于0。
那么根据上述推断可以得知，随着n无限增大，数列{f(x_n)}的值变化很小程度上不满足条件f(x_n) - L < ε，即不趋近于L。
这就产生了矛盾，因为数列{x_n}的极限为c，而根据传递性，函数序列{f(x_n)}的极限也应该是L。
但是我们通过构造数列和上述推理得到，函数序列{f(x_n)}的极限不可能是L。
因此，我们得出结论，原假设不成立，即极限L不存在。
总结来说，证明极限不存在的方法可以通过反证法进行。
极限不存在该证明
极限不存在该证明证明极限需要什么方法呢?极限存在与否该怎么证明呢?下面就是给大家的证明极限不存在内容，希望大家喜欢。
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在im(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2) 证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)=1-lim8/[(x/y)^2+3]因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|和|sin[1/x2(n)]-L|同时成立。
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如何证明极限不存在(精选多篇)-证明范本第一篇：证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )证明该极限不存在lim(x -5y )/(x +3y )=lim(x +3y )/(x +3y )-8y /(x +3y )=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数l，使limsin(1/x)=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，使|sin-l| 1/3，和|sin-l| 1/3，同时成立。
即|1-l| 1/2，|-1-l| 1/2，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。
第二篇：如何证明极限不存在如何证明极限不存在反证法若存在实数l，使limsin(1/x)=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，使|sin-l| 1/3，和|sin-l| 1/3，同时成立。
即|1-l| 1/2，|-1-l| 1/2，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。
反证法：一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等1/n)的相应项的次方相约，得1。
余下分母。
于是式一化为：(1+1/n)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。
这一数值定义为e。
第三篇：证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y →y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。
可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-3878(2014)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特殊曲线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。
)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。
)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
3当沿曲线y=-x+x 趋于(00)时，极限为lim(-x +x )/x =-1;当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx /2x=0。
故极限不存在。
4x-y+x +yf(x,y)=————————x+y它的累次极限存在：x-y+x +ylimlim————————=-1y- 0x- 0x+yx-y+x +ylimlim————————=1x- 0y- 0x+y当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)- (0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第四篇：极限不存在的证明不如何证明极限不存在一、归结原则原理:设f在u0(x0;?')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于x?x0u(x0;?)且以x0为极限的数列?xn?极限limf(xn)都存在且相等。
'n??例如：证明极限limsinx?01x不存在12n??证：设xn??1n??,xn??2(n?1,2,?)，则显然有xn?0,xn?0(n??)，si由归结原则即得结论。
???0?0,si?1?1(n??)??xnxn二、左右极限法原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。
例如：证明f(x)?arctan(因为limarctan(x?0?1x)当x?0时的极限不存在。
1x)?1x)???2x=0，limarctan( x?0??2，limarctan(x?0?1x)?lim?arctan(x?01x)，所以当x?0时，arctan(1x)的极限不存在。
三、证明x??时的极限不存在原理：判断当x??时的极限，只要考察x???与x???时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。
例如：证明f(x)?ex 在x?x????时的极限不存在x???x???xxxx因为lime?0，lime???；因此，lime?limex???所以当x?四、柯西准则?时，ex的极限不存在。
0'原理：设f在u(x0;?)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给?x?x0?0，存在正数?(???)，使得对任何x?,x???u0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。
例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何??0，设正数n?x??1n?,x???1n??1?，令?2即证。
五、定义法原理：设函数f(x)在一个形如(a,??)的区间中有定义，对任何a?r，如果存在?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,则f(x)在x???x???时没有极限。
例如：证明limcosx不存在设函数f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何??0，取?0?0 反证法（利用极限定义）数学归纳法第五篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。
an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。
证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。
?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。
证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。