苏科版八年级数学上册知识要点

苏科版八年级数学上册
知识要点
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初二数学（上）期末复习各章知识点
第一章轴对称图形（知识点）
一、轴对称与轴对称图形
1．什么叫轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．什么叫轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别：
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图
形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形
的特性。

联系：
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

4．线段的垂直平分线：
（也称线段的中垂线）
5．轴对称的性质：
⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6．怎样画轴对称图形：
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

二、线段、角的轴对称性
1．线段的轴对称性：
①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，
另一条是这条线段的垂直平分线。

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。

2．角的轴对称性：
①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线上的点到角的两边距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
三、等腰三角形的轴对称性
1．等腰三角形的性质：
①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；
②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

(简称“三线合一”)
2．等腰三角形的判定：
①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

3．等边三角形：
①等边三角形的定义：
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

②等边三角形的性质：
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
等边三角形的每个角都等于600。

③等边三角形的判定：
3个角相等的三角形是等边三角形；
有两个角等于600的三角形是等边三角形；
有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

4．三角形的分类：
斜三角形：三边都不相等的三角形。

三角形 只有两边相等的三角形。

等腰三角形
等边三角形
四、等腰梯形的轴对称性
1．等腰梯形的定义：
①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。

梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。

②等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2．等腰梯形的性质：
①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。

②等腰梯形同一底上两底角相等。

③等腰梯形的对角线相等。

3．等腰梯形的判定：
③ 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。

④ 补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。

A
D
C B
第二章勾股定理与平方根（知识点）
一、勾股定理、勾股定理的应用
1、勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学式子：
∠C=900⇒222
+=
a b c
2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
数学式子：
222
+=⇒∠C=900
a b c
满足a2＋b2＝c2三个数a、b、c叫做勾股数。

二、平方根、立方根
1、什么叫做平方根？
如果一个数的平方等于9，这个数是几？
±3是9的平方根；9的平方根是±3。

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的a平方根,也称为二次方根。

数学语言：如果a
x=
2，那么x就叫做a的平方根。

4的平方根是；1
49
的平方根是。

的平方根是0.81。

如果225
x=，那么x=。

2的平方根是？
2、平方根的表示方法：
一个正数a的正的平方根，记作“a”，正数a的负的平方根记作“a
-”。

这两个平方根合起来记作“a
±”，读作“正，负根号a”.
表示，= 。

2的平方根是；如果22
x=，那么x=。

3、平方根的概念：
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；
0只有1个平方根，它是0本身；
负数没有平方根。

求一个数的平方根的运算叫做开平方。

4、算术平方根：
正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.
例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；
2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。

5、算术平方根的性质：
⑴0≥0a ≥。

⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a
6、什么叫做立方根？
一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根。

即如果a x =3,那么x 就叫做a 的立方根。

记为3a ，读作“三次根号a ”.
7、立方根的概念：
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0本身。

互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。

求一个数的立方根的运算叫做开立方。

三、实数、近似数与有效数字
1、什么是有理数？ 整数和分数统称有理数。

2、2是一个什么数？
问题1：2是有理数吗？ 问题2：2是一个整数吗？
问题3：2是1与2之间的一个分数吗？ 问题4：2有多大？
2是一个无限不循环小数，它的值为1.141 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
3、什么是实数？
无限不循环小数是无理数。

有理数和无理数统称实数。

常见的无理数有：⑴ ……
⑵ 开不尽的根号：如3、5、34、37等
⑶ 圆周率π：如π-3.14、3
π等。

4、近似数的认识：
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。

在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。

取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。

用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

例如，圆周率π=3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）
取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）
取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）
取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）
2、有效数字：
对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；
3.142有4个有效数字3，1，4，2.
第三章中心对称图形（一）（知识点）
一、中心对称与中心对称图形
1、图形的旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

旋转前、后的图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等。

每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

2、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。

也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此，
成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。

②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分。

3、中心对称图形：
把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

4、中心对称与中心对称图形之间的关系：
区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。

（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .
5、对比轴对称图形与中心对称图形：
轴对称图形中心对称图形
有一条对称轴——直线有一个对称中心——点
沿对称轴对折绕对称中心旋转180O 对折后与原图形重合旋转后与原图形重合
二、平行四边形
1、平行四边形的定义：
2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD.
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

2、平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行；
②平行四边形的对边相等；
③平行四边形的对角相等；
④平行四边形的对角线互相平分。

3、平行四边形的判定：
①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③2组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三、矩形、菱形、正方形
1、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。

2、矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直
③矩形的对角线相等；
④矩形的四个角都是直角。

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有3个角是直角的四边形是矩形。

4、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

5、菱形的性质：
①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，
对称中心是对角线的交点。

③菱形的四条边相等；
④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

6、菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

D
A
O
S
菱形=
1
2
AC·BD
8、正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

9、正方形的性质：
①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。

②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。

10、正方形的判定：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等矩形形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形。

11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
四、三角形、梯形的中位线
1、三角形的中位线：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
2、梯形的中位线：
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位
线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

第四章 数量、位置的变化 （知识点）
1、数量的变化：
⑴生活中处处有变化的数量关系，并且这些变化的数量之间往往有一定的联系；感受用变化的观点分析数字信息的重要意义。

⑵实际问题中的数量常常会发生变化，表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式——表格、图形、式子，可根据实际情况灵活选用。

2、位置的变化：
现实生活中，人们既关心事物的数量变
化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车
辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中
的台风等位置的变化。

3、平面直角坐标系：
⑴有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

水平方向的数轴称为x 轴或横轴；竖直方向的数轴称为y 轴或纵轴。

它们统称坐标轴。

公共原点O 称为坐标原点。

⑵确定点的位置（点坐标）
①若平面内有一点P （如图），我们应该如何确定它的位置？
（过点P 分别作x 、y 轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，这样的有序实数对叫做点的坐标，可表示为P （a ，
b ） ②若已知点Q 的坐标为（m ，n ），该如何确定
点Q 的位置？
（分别过x 、y 轴上表示m 、n 的点作x 、y 轴的垂
线，两线的交点即为点Q ）
例：分别在平面直角坐标系内确定点A(3,2)、B(2,3)的位置。

4、点坐标的特征：
⑴四个象限内点坐标的特征：
两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、
二、三、四象限。

⑵数轴上点坐标的特征：
x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a，0）；
y轴上的点的横坐标为0，可表示为（0，b）。

⑶象限角平分线上点坐标的特征：
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)。

⑷对称点坐标的特征：
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a，b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a，-b)。

第五章一次函数（知识点）
一、函数
1、常量和变量：
在数量和位置的变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。

2、函数：
⑴函数的定义：
一般的，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 的每一个
值，变量y 都有唯一．．
的值与它对应，我们称y 是x 的函数。

其中x 是自变量，y 是因变量。

⑵函数的表示方法：
通常,表示2个变量之间的关系可用3种方法：表格、图形、式子。

表示2个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。

（函数解析式）
例如s=100t 就是一个函数解析式。

⑶函数自变量的取值范围：
自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。

例如式子13y x =-中，能使它有意义的值是3x ≠的一切实数，所以函数13y x =-的取值范围是3x ≠的一切实数。

常见的使函数解析式有意义的式子有：
①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；
②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数；
④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

二、一次函数
1、一次函数与正比例函数的定义：
一般地，如果两个变量x与y之间的关系，可以表示为y=kx+b（k，b为常数k ≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时， y叫做x的正比例函数。

2、如何求一次函数与正比例函数的解析式：
①因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函
数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。

②而一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数
的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。

3、一次函数的图象：
一般的，正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度得到的一条直线。

因为一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线。

所以在画一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y-kx+b。

4、一次函数的性质：
在一次函数y=kx+b中，
如果k>0，那么y的值随x的增大而增大；
如果k<0，那么y的值随x的增大而减小。

☆补充性质：
在正比例函数y=kx中，
如果k>0，那么正比例函数的图象经过一、三象限；
如果k<0，那么正比例函数的图象经过二、四象限；
在一次函数y=kx+b中，
如果k>0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、三象限；
如果k>0、b<0，那么一次函数的图象经过一、三、四象限；
如果k<0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、四象限；
如果k<0、b<0，那么一次函数的图象经过二、三、四象限；
三、一次函数的应用
1、一次函数的应用：
用一次函数解决实际问题的步骤：(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；
(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；(3)利用一次函数的有关知识解题。

在一些具体生活问题中，常常数据较多，反映的内容也很复杂，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径。

在实际生活问题中，如何应用一次函数知识解题，关键是建立一次函数关系式，然后再根据一次函数的性质，综合方程知识求解。

在一次函数应用的过程中，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，也要结合实际舍去不符合题意的部分。

2、二元一次方程组的图象解法
⑴一次函数与二元一次方程的关系：
一般地，一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－
y+b=0的解；以二元一次方程kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上。

⑵两个一次函数与二元一次方程组的解的关系：
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。

所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法。

用图象法解二元一次方程组的步骤如下：
①把二元一次方程化成一次函数的形式；
②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点；
③交点坐标就是方程组的解。

第六章数据的集中程度（知识点）
1、平均数：
一般地，对于n个数x
1，x
2
，…，x
n
我们把
n
x
x
x
x n
2
1
+
+
+
=
叫做这 n 个
数的算术平均数，简称平均数，
平均数，它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字，也就是说这组数据都“接近”哪个数。

补充公式：⑴如果在n个数中，x
1出现f
1
次，x
2
出现f
2
次，x
3
出现f
3
次， (x)
n
出现f
n 次，（其中f
1
+f
2
+f
3
+……+f
n
=n），这n个数的平均数可表示
为：
⑵如果一组数据x 1，x 2，x 3，……，x n 的平均数为x '，则一组新数据：
x 1+a ，x 2+ a ，x 3+ a ，……，x n + a 的平均数为：
举例说明：某班第一小组的同学的身高如下：（单位：㎝）：158，160，160，170，158，170，168，158，160，160，168，170。

计算这组同学的平均身高。

（精确到1㎝） 方法⑴ 1633
2433
170216841603158x ≈+++⨯+⨯+⨯+⨯=
方法⑵ 将各个数据同时减去160，得到-2，0，0，10，-2，10，8，-2，0，0，8，8
再计算这组新数据的平均数，得 2、加权平均数：
在实际问题中，一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的，有时有些数据比其它数据更重要。

所以，我们在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权 ”。

加权平均数：如果在n 个数中，x 1出现f 1 次，x 2出现f 2次，x 3出现f 3次， (x)
k
出现f k 次，（其中f 1+f 2+f 3+……+f k =n ），则
n
f x f x f x f x x k
k 332211+++=
其中f 1、f 2、f 3、……f k 叫做权。

（看例1）
3、中位数和众数：
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。

一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。