_第七章_数值积分与数值微分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
证毕
定理7.2：若f(x)在[a,b]上有四阶连续导数，则辛
浦生求积公式的截断误差为：
R[ f ] b f（x）dx （b a）[ f（a） 4 f（a b） f（b）]
a
6
2
b a（b a）4 f（4 ）
180 2
（b a）5 f（4（） ）
k
)!
hdt
(1)nk h n t(t 1)[t (k 1)][t (k 1)](t n)dt
k!(n k)! 0
(1)nk n
(b a)
t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
nk !(n k)! 0
(b a)ck(n)
分近似值 b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
b
n
k 0
I f (x)dx a
Ak f (xk ) R[ f ] In R[ f ]
k 0
其中R[f]称为求积公式的余项。xk (k 0,1,2,n)称为求
积节点 。Ak (k 0,1,2,n)称为求积系数。Ak 仅与求 积节点 xk 的选取有关，而不依赖与被积函数f(x)
事实上，只要令求积公式对于 f (x) 1, x, x2,, xn
都能准确成立即可得到下式：
b
n
dx
a
Ak
k 0
b
n
xdx
a
Ak xk
k 0
b xndx a
n
Ak xkn
k 0
则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1
个未知数、n+1个方程的方程组。
a
6
2
b
ba
ab
f (x)dx a
6
[H3(a) 4H3(
2
) H3(b)]
b
a [ f (x) H3(x)]dx
b f (4) ( )(x a)(x a b)2 (x b)dx
a 4!
2
由于f (4)( )是依赖于x的函数，在[a,b]上连续，
2880
a b
证明：由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造次
数小于等于3的多项式 H3 (x) ，使满足：
H3(a) （f a） , H3(b) （f b）
H（3
a
2
b
）
（f a b） 2
,
H
3
(
a
2
b
)
f (a b) 2
由辛普森公式:
b
ba
ab
a H3(x)dx 6 [H3(a) 4H3( 2 ) H3(b)]
0
2
12
令 f (x) x3 代入已求得的求积公式，显然
h x3dx h [ 0 h3 ] h2 [ 0 3h2 ]
0
2
12
令 f (x) x4
h x4dx h[0 h4 ] h2 [0 4h3]
0
2
12
故 h f (x)dx h [ f (0) f (h)] h2 [ f (0) f (h)]
f
(x0 )
32 90
f
( x1 )
12 90
f (x2 )
32 90
f
(x3 )
7 90
f
(x4 )]
其中，xk a0 kh (k 0,1,,4)
这个公式特别称为柯特斯公式。
类似地我们可以求出n=5,6,…时的柯特斯
系数，从而建立相应的求积公式。
二、求积公式的代数精确度
xk a kh (k 0,1,, n)
令x=a+th即有 dx=hdt ，[a, b] [0, n]
x xk (t k)h
故n1(x) (x x0 )(x xn ) hn1t(t 1)(t n)
n1(xk ) (xk x0)(xk xk1)( xk xk1)(xk xn )
xk a kh(k 0,1,,n)，作n次Lagrange插值多项式
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
n
[ f (xk )
k 0
b a
lk
(
x)dx]
(n
1
1)!
b a
f (n1) ( )n1( x)dx
由Newton－Cotes公式的代数精确度及余项的结果
看，n越大越好。而事实上，n增大时，计算量也变大，
误差积累变得越来越严重。另外，求积公式的稳定性
180
2
1 f (4) ()(b a)5 (a b)
2880
证毕
类似地,若f(x)在[a,b]上有六阶连续导
数，则柯特斯求积公式的截断误差为：
R[ f ] （2 b a）(b Fra Baidu bibliotek )6 f（6（） ）
945 4
a b
四、Newton－Cotes公式的稳定性
c(n) k
(1)nk nk !(n k)!
n
t(t 1)
0
(t k 1)(t k 1)
(t n)dt
故求积公式可写为
b
a
f (x)dx (b a)
n
c(n) k
f
( x0
kh)
k 0
其中:ck(n)
(1)nk nk !(n k)!
hnk( k 1 )1 ( 1 )( 2 )( ( n k ))
hnk!(1)nk (n k)!
Ak
b
a lk (x)dx
b n1(x) a (x x ) (x
dx )
故
Ak
n 0
(t
hn1t(t 1)(t n) k)h hnk!(1)nk (n
Remark4：n为偶数的牛顿－柯特斯公式具有n+1次 代数精度， n为奇数的牛顿－柯特斯公式具有n次代
数精度。
五、待定系数法
利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可 以具有尽可能高的代数精度。 定理：
在区间[a,b]上,对于给定n+1个互异节点，a x0 xn b,
总存在求积系数 A0, A1,An，使求积公式至少有n次 代数精度。
若某个求积公式对尽可能多的被积函数 都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使 用价值。对此，有如下定义：
b
n
定义：如果 f (x)dx a
Ak f (xk )
k 0
对于一切不高于m次的代数多项式准确成立，
而对于某个m+1次多项式并不准确成立，
则称上述求积公式具有m次代数精确度，简
称代数精度。
c1(2)
4 6
c2(2)
1 6
故有：
b
1
4 ab 1
a
f ( x )dx ( b a )[ 6
f (a ) 6
f(
2
) f ( b )] 6
它称为辛浦生（Simpson）公式或抛物线公式。
n=4 Newton—Cotes公式为
b a
f（x）dx
（b a）[ 7 90
0
2
中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明 所构造的求积公式具有的代数精度。
解：求积公式中含有一个待定参数，
当f(x)=1,x 时,有 h dx h [11]
h
xdx
h
[0
0
2
h] h2[11]
0
2
故令求积公式对f(x)=x2成立,即
h x2dx h [ 0 h2 ] h2( 2 0 2h ) 得 1
续，(x a)(x b) 0, 故运用积分 中值定理，在
[a,b]上存在一点 , 使得：
b
b
a f ''( )(x a)(x b)dx f ''()a (x a)(x b)dx
1 f ''()(b a)3(a b)
6
R[ f ] f ''() (b a)3
b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
6
2
f (x) H3(x)
f (4) ( ) (x a)( x a b)2(x b)
4!
2
R[ f ] b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
第七章 数值积分与数值微分
§7.0 §7.1
§7.2 §7.3 §7.4 §7.5
数值积分概述 Newton Cotes 公式
复化求积公式 Romberg求积法 Gauss型求积公式 数值微分
§7.0 数值积分概述
由积分学基本定理知
b
a f (x)dx F(b) F(a)
但应用中常碰到如下情况：
Remark1：求积公式具有m次代数精确度的充要条件是
它对于 f (x) 1, x, x2,, xm 都能准确成立，而对于
f (x) xm1 不准确成立。
Remark2：梯形公式、辛浦生公式、柯特斯公式分别 具有1，3，5次代数精度。
Remark3：牛顿－柯特斯公式是基于n+1个节点的插值 公式导出的，因而其代数精度不低于n次(>=n)。
若求积节点互异，则
1 11
det A x0 x1 xn 0
x0n x1n xnn
从而可得唯一解 Ak (k 0,1,,n),
从而构造出至少具有n次代数精度的求积公式。
例：确定求积公式
h f ( x )dx h[ f ( 0 ) f ( h )] h2 [ f ( 0 ) f ( h )]
的具体形式。
§7.1 Newton Cotes 公式
一、.Newton—Cotes求积公式
常用的构造数值求积公式的一种方法是利用插
值多项式Pn(x)来构造求积公式
b
b
n
a f ( x)dx a Pn ( x)dx Ak f ( xk )
称为插值型求积公式。
k 0
将[a，b]分为n等份，h (b a) n，选取节点
由Lagrange插值公式，可得
Ak
b
a lk (x)dx
b n1(x) dx a (x xk )n1(xk )
Rn [
f
]
(n
1 1)!
b a
f
(n1) ( )n1( x)dx
显然系数 Ak与f(x)无关，只与节点有关。
系数 Ak 还可以进一步表示：
故 (x a)(x c)2 (x b) 0, 可运用积分中值定理，
在[a,b]上存在一点 ，使
b f (4) ( )(x a)(x b)(x c)2 dx a
f (4) () b (x a)(x c)2 (x b)dx a
R[ f ] 1 f (4) ()(b a)(b a )4
0
2
12
具有三次代数精度。
三、求积公式的截断误差
引理（积分第二中值定理）：如果f(x),g(x)在区间 [a,b]连续，且g(x)在区间(a,b)不变号，则存在 (a,b),使得
b
b
a f (x)g(x)dx f ( )a g(x)dx
定理7.1：若f(x)在[a,b]上有二阶连续导数，则梯
(1)10 11!0!
1
(t
1)dt
(1)
(t
1)2
1
1
0
22
0
c1(1)
(1)11 11!0!
1
tdt
1 t2
1
1
0
20 2
b f (x)dx (b a) [ f (a) f (b)]
a
2
该公式称为梯形公式。
n=2可计算得到
c0(2)
1 6
①f(x)的原函数无法用初等函数给出
②f(x)用表格形式给出
③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂。
这时积分与求导都必须使用数值的方法。
在积分区间[a,b]上取一系列点 xk (k 0,1,2,n)，设
a x0 x1 x2 xn b
用被积函数在这些点的函数值的线性组合作为积
形求积公式的截断误差为：
R[ f ] b f（x）dx b a [ f（a） f（b）]
a
2
（b a）3 f （ '' ）a b
12
证：
由R[ f ]
b f ''( )
(x a)(x b)dx,
a 2!
依赖于x。
由于 f ( ) 是依赖于x的函数，且在[a,b]上连
n
t(t 1)
0
(t k 1)(t k 1)
(t n)dt
c(n) k
称为柯特斯系数，上式称Newton----Cotes公式。
Rn [
f
]
(n
1 1)!
b a
f
(n1) ( )n1( x)dx
称为Newton－Cotes公式的截断误差。
当n=1时，
c(1) 0
证毕
定理7.2：若f(x)在[a,b]上有四阶连续导数，则辛
浦生求积公式的截断误差为：
R[ f ] b f（x）dx （b a）[ f（a） 4 f（a b） f（b）]
a
6
2
b a（b a）4 f（4 ）
180 2
（b a）5 f（4（） ）
k
)!
hdt
(1)nk h n t(t 1)[t (k 1)][t (k 1)](t n)dt
k!(n k)! 0
(1)nk n
(b a)
t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
nk !(n k)! 0
(b a)ck(n)
分近似值 b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
b
n
k 0
I f (x)dx a
Ak f (xk ) R[ f ] In R[ f ]
k 0
其中R[f]称为求积公式的余项。xk (k 0,1,2,n)称为求
积节点 。Ak (k 0,1,2,n)称为求积系数。Ak 仅与求 积节点 xk 的选取有关，而不依赖与被积函数f(x)
事实上，只要令求积公式对于 f (x) 1, x, x2,, xn
都能准确成立即可得到下式：
b
n
dx
a
Ak
k 0
b
n
xdx
a
Ak xk
k 0
b xndx a
n
Ak xkn
k 0
则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1
个未知数、n+1个方程的方程组。
a
6
2
b
ba
ab
f (x)dx a
6
[H3(a) 4H3(
2
) H3(b)]
b
a [ f (x) H3(x)]dx
b f (4) ( )(x a)(x a b)2 (x b)dx
a 4!
2
由于f (4)( )是依赖于x的函数，在[a,b]上连续，
2880
a b
证明：由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造次
数小于等于3的多项式 H3 (x) ，使满足：
H3(a) （f a） , H3(b) （f b）
H（3
a
2
b
）
（f a b） 2
,
H
3
(
a
2
b
)
f (a b) 2
由辛普森公式:
b
ba
ab
a H3(x)dx 6 [H3(a) 4H3( 2 ) H3(b)]
0
2
12
令 f (x) x3 代入已求得的求积公式，显然
h x3dx h [ 0 h3 ] h2 [ 0 3h2 ]
0
2
12
令 f (x) x4
h x4dx h[0 h4 ] h2 [0 4h3]
0
2
12
故 h f (x)dx h [ f (0) f (h)] h2 [ f (0) f (h)]
f
(x0 )
32 90
f
( x1 )
12 90
f (x2 )
32 90
f
(x3 )
7 90
f
(x4 )]
其中，xk a0 kh (k 0,1,,4)
这个公式特别称为柯特斯公式。
类似地我们可以求出n=5,6,…时的柯特斯
系数，从而建立相应的求积公式。
二、求积公式的代数精确度
xk a kh (k 0,1,, n)
令x=a+th即有 dx=hdt ，[a, b] [0, n]
x xk (t k)h
故n1(x) (x x0 )(x xn ) hn1t(t 1)(t n)
n1(xk ) (xk x0)(xk xk1)( xk xk1)(xk xn )
xk a kh(k 0,1,,n)，作n次Lagrange插值多项式
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
n
[ f (xk )
k 0
b a
lk
(
x)dx]
(n
1
1)!
b a
f (n1) ( )n1( x)dx
由Newton－Cotes公式的代数精确度及余项的结果
看，n越大越好。而事实上，n增大时，计算量也变大，
误差积累变得越来越严重。另外，求积公式的稳定性
180
2
1 f (4) ()(b a)5 (a b)
2880
证毕
类似地,若f(x)在[a,b]上有六阶连续导
数，则柯特斯求积公式的截断误差为：
R[ f ] （2 b a）(b Fra Baidu bibliotek )6 f（6（） ）
945 4
a b
四、Newton－Cotes公式的稳定性
c(n) k
(1)nk nk !(n k)!
n
t(t 1)
0
(t k 1)(t k 1)
(t n)dt
故求积公式可写为
b
a
f (x)dx (b a)
n
c(n) k
f
( x0
kh)
k 0
其中:ck(n)
(1)nk nk !(n k)!
hnk( k 1 )1 ( 1 )( 2 )( ( n k ))
hnk!(1)nk (n k)!
Ak
b
a lk (x)dx
b n1(x) a (x x ) (x
dx )
故
Ak
n 0
(t
hn1t(t 1)(t n) k)h hnk!(1)nk (n
Remark4：n为偶数的牛顿－柯特斯公式具有n+1次 代数精度， n为奇数的牛顿－柯特斯公式具有n次代
数精度。
五、待定系数法
利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可 以具有尽可能高的代数精度。 定理：
在区间[a,b]上,对于给定n+1个互异节点，a x0 xn b,
总存在求积系数 A0, A1,An，使求积公式至少有n次 代数精度。
若某个求积公式对尽可能多的被积函数 都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使 用价值。对此，有如下定义：
b
n
定义：如果 f (x)dx a
Ak f (xk )
k 0
对于一切不高于m次的代数多项式准确成立，
而对于某个m+1次多项式并不准确成立，
则称上述求积公式具有m次代数精确度，简
称代数精度。
c1(2)
4 6
c2(2)
1 6
故有：
b
1
4 ab 1
a
f ( x )dx ( b a )[ 6
f (a ) 6
f(
2
) f ( b )] 6
它称为辛浦生（Simpson）公式或抛物线公式。
n=4 Newton—Cotes公式为
b a
f（x）dx
（b a）[ 7 90
0
2
中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明 所构造的求积公式具有的代数精度。
解：求积公式中含有一个待定参数，
当f(x)=1,x 时,有 h dx h [11]
h
xdx
h
[0
0
2
h] h2[11]
0
2
故令求积公式对f(x)=x2成立,即
h x2dx h [ 0 h2 ] h2( 2 0 2h ) 得 1
续，(x a)(x b) 0, 故运用积分 中值定理，在
[a,b]上存在一点 , 使得：
b
b
a f ''( )(x a)(x b)dx f ''()a (x a)(x b)dx
1 f ''()(b a)3(a b)
6
R[ f ] f ''() (b a)3
b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
6
2
f (x) H3(x)
f (4) ( ) (x a)( x a b)2(x b)
4!
2
R[ f ] b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
第七章 数值积分与数值微分
§7.0 §7.1
§7.2 §7.3 §7.4 §7.5
数值积分概述 Newton Cotes 公式
复化求积公式 Romberg求积法 Gauss型求积公式 数值微分
§7.0 数值积分概述
由积分学基本定理知
b
a f (x)dx F(b) F(a)
但应用中常碰到如下情况：
Remark1：求积公式具有m次代数精确度的充要条件是
它对于 f (x) 1, x, x2,, xm 都能准确成立，而对于
f (x) xm1 不准确成立。
Remark2：梯形公式、辛浦生公式、柯特斯公式分别 具有1，3，5次代数精度。
Remark3：牛顿－柯特斯公式是基于n+1个节点的插值 公式导出的，因而其代数精度不低于n次(>=n)。
若求积节点互异，则
1 11
det A x0 x1 xn 0
x0n x1n xnn
从而可得唯一解 Ak (k 0,1,,n),
从而构造出至少具有n次代数精度的求积公式。
例：确定求积公式
h f ( x )dx h[ f ( 0 ) f ( h )] h2 [ f ( 0 ) f ( h )]
的具体形式。
§7.1 Newton Cotes 公式
一、.Newton—Cotes求积公式
常用的构造数值求积公式的一种方法是利用插
值多项式Pn(x)来构造求积公式
b
b
n
a f ( x)dx a Pn ( x)dx Ak f ( xk )
称为插值型求积公式。
k 0
将[a，b]分为n等份，h (b a) n，选取节点
由Lagrange插值公式，可得
Ak
b
a lk (x)dx
b n1(x) dx a (x xk )n1(xk )
Rn [
f
]
(n
1 1)!
b a
f
(n1) ( )n1( x)dx
显然系数 Ak与f(x)无关，只与节点有关。
系数 Ak 还可以进一步表示：
故 (x a)(x c)2 (x b) 0, 可运用积分中值定理，
在[a,b]上存在一点 ，使
b f (4) ( )(x a)(x b)(x c)2 dx a
f (4) () b (x a)(x c)2 (x b)dx a
R[ f ] 1 f (4) ()(b a)(b a )4
0
2
12
具有三次代数精度。
三、求积公式的截断误差
引理（积分第二中值定理）：如果f(x),g(x)在区间 [a,b]连续，且g(x)在区间(a,b)不变号，则存在 (a,b),使得
b
b
a f (x)g(x)dx f ( )a g(x)dx
定理7.1：若f(x)在[a,b]上有二阶连续导数，则梯
(1)10 11!0!
1
(t
1)dt
(1)
(t
1)2
1
1
0
22
0
c1(1)
(1)11 11!0!
1
tdt
1 t2
1
1
0
20 2
b f (x)dx (b a) [ f (a) f (b)]
a
2
该公式称为梯形公式。
n=2可计算得到
c0(2)
1 6
①f(x)的原函数无法用初等函数给出
②f(x)用表格形式给出
③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂。
这时积分与求导都必须使用数值的方法。
在积分区间[a,b]上取一系列点 xk (k 0,1,2,n)，设
a x0 x1 x2 xn b
用被积函数在这些点的函数值的线性组合作为积
形求积公式的截断误差为：
R[ f ] b f（x）dx b a [ f（a） f（b）]
a
2
（b a）3 f （ '' ）a b
12
证：
由R[ f ]
b f ''( )
(x a)(x b)dx,
a 2!
依赖于x。
由于 f ( ) 是依赖于x的函数，且在[a,b]上连
n
t(t 1)
0
(t k 1)(t k 1)
(t n)dt
c(n) k
称为柯特斯系数，上式称Newton----Cotes公式。
Rn [
f
]
(n
1 1)!
b a
f
(n1) ( )n1( x)dx
称为Newton－Cotes公式的截断误差。
当n=1时，
c(1) 0