1-优化设计的基本概念

☆ 机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计
的最优方案，所以需要应用机械工程的专业知 识(有限元、可靠性设计、CAD等)确定设计的 限制条件追求的目标
例:直齿圆柱齿轮副的优化设计

已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料， 设计该齿轮副，使其重量最轻。 分析： （1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b）， 齿数（z1）。 （3）设计约束条件： （a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求； （e）最小齿数要求。
例1-1

问题的数学表达
设计变量：
设计目标： 约束条件：
x [m, z1 , b]
min W
T

4
b[(mz1 )2 (miz1 ) 2 ]

g1 ( x ) F 1 [ ]F 1 0 g 2 ( x ) F 2 [ ]F 2 0 g3 ( x ) H [ ]H 1 0 g 4 ( x ) b 1.2mz1 0 g5 ( x ) 17 z 1 0


约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等 式约束两种类型。 (1)等式约束
h( x ) 0
(2)不等式约束
g ( x) 0
可行域 :凡满足所有约束 条件的设计点，它在设计 空间中的活动范围 . 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计 变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形 式 ,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应 力、频率等） 复杂结构的性能约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数（变形、应力、固有频 率等）需要通过有限元等方法计算求得
3、目标函数
使设计得以优化的函数称作目标函数。用它可 以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函 数，记作f(x)。 建立目标函数是整个优化设计过程中比较重 要的问题。 对某一个性能有特定的要求，而这个要求又很 难满足时，则针对这一性能进行优化将会取得满 意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个 或两个以上需要优化的指标，这是多目标函数的 问题。例如，设计一台机 器，期望得到最低的造价和 最少的维修费用
min f ( x ) x12 x22 4 x1 4 s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0 g 2 ( x ) x12 x2 1 0 g 3 ( x ) x1 0
目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同 心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：
1、设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这 些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等 物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。 在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立 的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计 的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题
X ( k 1) X ( k ) ( k ) S ( k )
f ( X ( k 1) ) f ( X * )
X(3) d X(2) d(1) X(1) d(0) X(0) X(k)
(2)
X d(k)
(k+1)
运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都 应满足函数值下降的要求：
f (x ) f (x )
例 机床主轴结构的优化设计
优化设计任务：确定Di、li 和a，保证轴端变 形和固有频率在允许极限内，并使结构的质量最 轻。
求： Di、li 和a 2 2 使 min f ( Di , Li ) [ ( Di d )li ] 满足:轴端变形和固有频率限制条件，尺寸限制条件。
即：
y [ y]
1.4 优化设计问题的基本解法
1. 基本解法
求解优化问题的基本解法有： (a) 解析法； （b）数值解法 工程优化问题的目标函数和约束条件比较复杂， 有时还无法用数学方程描述。数值解法（迭代法） 是优化设计问题的基本解法 ◆数值迭代法的基本思路：进行反复的数值计算， 寻求函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得 足够精度的近似解。
x
k+1
= x + Δx
k
k
x k 1 x k k S k
寻求极值点的搜索过程
沿某个搜索方向Sk以适当的步长α k实现对Xk的修正
X (1) X (0) (0) S (0)
X ( 2) X (1) (1) S (1)
f ( X (1) ) f ( X (0) ) f ( X ( 2) ) f ( X (1) )
min f ( X ) ( x1 2) 2 ( x 2 2) 2 2 2 s.t. g1 ( X ) x1 x 2 4 0 g 2 ( X ) x1 0 g 2 ( X ) x2 0
例1-4 图解法
结论：
☆图解法提示了优化问题的解题思路，说明了优
Di min Di Di max (i 1,2, li min li li max amin a amax N min l1 N max a

2
2 0
, n)
工程结构优化设计
图为由两根钢管组成的对称桁架。点A处垂直载荷 P=300000N，2L=152cm，空心钢管厚度T=0.25cm， 材料弹性模量E=2.16 X 107N/cm2，屈服极限σ s = 70300N/cm2



4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间 由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响
1.2 优化设计问题的数学模型
优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内 容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它 反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的 基础
工程模型物理模型数学模型
可行域与等值线
g1 (x)＝0 x﹡
g2 (x)＝0
g3 (x)＝0
4. 优化设计问题一般数学形式
求设计变量向量 使 满足约束条件 ：

x [ x1 , x2 , , xn ]T f ( x ) min
(k 1,2, , l )
( j 1,2, , m)
hk ( x) 0
x * (2,0)
f ( x* ) 0
约束方程所围成的可行域是D.
，
min f ( x ) x12 x22 4 x1 4 s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0 g 2 ( x ) x12 x2 1 0 g 3 ( x ) x1 0
求：在满足强度条件和
稳定性条伴下，使体 积最小的圆臂直径d 和桁架高度H
解:为保证桁架可靠的工作，就必须要求杆件具有
足够的抗压强度和稳定性
抗压强度 : 杆件截面上产生的压应力不超过 材料的屈服极限
杆内力 杆截面压应力
抗压强度：σ
≤ σs
稳定性:杆件截面上的压应力不超过压杆稳 定的临界应力
问题的最优解为： 最优点： d=47.7cm ; H=51.31cm 最优点的体积为： W=686.73cm3
生产管理优化
建立优化设计问题的数学模型步骤

1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验 等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中 的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技 术进步的成果。 2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、 设计常数和设计变量 3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束 条件，有时要构造多目标函数
第二篇 优化设计方法
第1章 优化设计概述
自古以来的多数工程设计，都经过了某种程度的 “优化”过程 1. 传统的设计过程： 设计（综合） 评价（分析）
选用（决策） 满意方案 2. “评价——再设计”的过程： (a) 经验和知识； (b) 试验； (c) 优胜劣汰
3. 优化设计的教学任务
优化设计是一种现代设计方法
k 1 k
收敛：
lim x x k
k
*
迭代法要解决的问题：
x
k 1
x S
k
k
k
（1）选择搜索方向 （2）确定步长因子 （3）给定收敛准则
1 10
g j ( x) 0
min f ( x ), x R n s.t. g j ( x ) 0 j 1,2, , m hk ( x ) 0 k 1,2, , l
1.3 优化问题的几何描述
x2
g4(x)＝0 x﹡ g1(x)＝0 g3 (x)＝0 g2(x)＝0 O x1 O g2 (x)＝0 x1 g3(x)＝0
2、约束条件

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有 些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提 出的要求，就称为可行设计 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限 制条件称作约束条件，简称约束 根据约束的性质可以把它们区分成性能约束和侧面约 束两大类。针对性能要求而提出的限制条件称作性能约 束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或 稳定性等要求。 只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作侧面 约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长 度的限定范围就属于侧面约束。侧面约束也称作边界约 束
x2
g1 (x)＝0
x﹡
a) 极值点处于多角形的某一顶点上
x2 g1(x)＝0 x2
b) 极值点处于等值线的中心
g1(x)＝0
x﹡ g2(x)＝0 O x1 O
x﹡ g2(x)＝0 x1
c) 极值点处于约束曲线与等值线的切点上
d) 极值点处于两个约束曲线的交点上
优化问题图解法
通过二维优化问题的几何求解来直观地描述 优化设计的基本思想。 例1-3 用图解法求解
5、最优化方法的应用
⑴ 部分或整个系统的设计 ⑵ 生产规划 ⑶ 工程分析和数据拟和 ⑷ 动态系统的最优控制
1.1 优化设计基本概念
◆ 优化设计：借助最优化数值计算方法与计算机 技术，求取工程问题的最优设计方案
☆机械优化设计包括：
(1)、将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2)、选用适当的一种最优化数值方法和计算程序 运算求解
☆基础：（1）最优化数学理论
（2）现代计算技术
☆任务： 运用计算机自动确定设计的最优方案。
内容： (1)将工程实际问题数学化； （优化设计数学模型） (2)用最优化计算方法在计算机上求解 数学模型。
4、最优化方法的发展
⑴ 17世纪在欧洲就有人提出各种求最大、最小 的问题，但发展缓慢。 ⑵ 二战中，军事上的需要产生了运筹学，最优 化理论和方法逐渐得到丰富和发展。 ⑶ 20世纪60年代以来，发展迅速，已成为一门 新兴的学科，应用广泛。 ① 近代科技和生产发展的需要。 ② 计算机技术的飞速发展。
x [ x1 , x2 ,
, xn ]
T
☆设计变量可以是一些结构尺寸参数，也可以
是一些化学成分的含量或电路参数等(设计元素)
☆ 由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设
计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一 点表示
☆设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个
设计变量，则称为n维设计问题
☆设计变量有连续变量和离散变量之分
化设计过程的实质:____从实际设计问题中抽象 出优化数学模型，再对其进行求最优解(点)的 过程，也即求极值点的过程
☆极值点有局部极小(大)与全局极小(大)之分
____优化设计需要求的是全局最优解(点)
☆凸规划
___所求局部最优解(点)就是全局最优解(点)
☆常采用局部分别进行寻优，再比较其结果，来
确定全局最优解(点)的方法

◆目标函数等值面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能 在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中 反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值 面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式为：
f ( x) c
（c为一系列常数），代表一族n维超曲面。如 在二维设计空间中，f(x1,x2)=c 代表x-x设计平 面上的一族曲线 对于具有相等目标函数值 的设计点构成的平面曲线或 曲面称为等值线或等值面,它 越稀疏越说明目标函数值越 缓慢