数学建模--排队论电子教案

N的概率分布， 注意到 n,n0 ,1 ,2 , ,n,n1,2, ,
记
,
并设
1,
n 则：Cn
n1,2,
p nnp 0 n 1 ,2 ,
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其中：
p0
1
1
n
n1
n0
1
n1
因此： p n ( 1 )n
n 0 ,1 ,
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②几个主要数量指标
平均队长：
Ln 0nnp n 0n (1)n1
间隔 X n 为独立，同负指数分布，其密度函数为：
et t0
a(t) 0 t0
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2、排队及排队规则
（1）排队 分为有限和无限排队
①损失制排队系统：排队空间为零的系统
②混合制排队系统： 等待制和损失制的结合，是指允许 排队，但是不允许队列无限长下去，具体的又分三种情况：
（ⅰ）队长有限，即等待空间有限（系统只能容纳K个顾客）
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et t0
b(t) 0 t0
其中 0 为一常数。
③k阶爱尔朗分布 ( E k ) : 密度函数为
k(kt)k1
b(t)
ekt
(k1)!
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三、排队系统的符号表示
为了方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种
目前在排队论中被广泛的使用的“Kendall记号”，一般形式为：
主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）；
顾客是单个还是成批接受服务的；服务时间的分布。
记某服务台的服务时间为V，其分布函数为B(t), 密度函数 为b(t), 则常见的分布有：
① 定长分布（D）：每位顾客接受的服务的时间是常数；
② 负指数分布（M）：每位顾客接受服务时间相互独立， 具有相同的负指数分布：
（ⅱ 等待时间有限，即顾客在系统中等待时间不超过某一
给定）的长度T
（ⅲ 逗留时间（等待时间和服务时间之和）
）
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不难注意到损失制和等待制可以看成是混合制的特殊情况
s 如记 为系统中服务台的个数，当 Ks时，混合制即为损失制
当 K时，即成为等待制。
(2)排队规则：先来先服务（FCFS）
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3、服务机制
n 1 nr1 n r
S0
1
S1
S S S S k n
2
k
k 1
n
n1
n 1 n 2 n r
nr
nr 1
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为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程：
对状态 S 0 对状态 S 1 : 对状态 S n1 :
0P0 1P1
P1
0 1
P0
1P12P2
P2
01 12
P0
n1Pn1 nPn Pn 0112 nn1 P0
X/Y/Z/A/B/C 其中X表示顾客相继到达时间间隔的分布，Y表示服务时间分 布，Z表示服务台的个数；A表示系统的容纳，即可容纳最多顾客数
B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
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M /M /1/ / /FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。
平均排队长：
Lq (n1)pn L(1p0)L n1
2
2
1 ()
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关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
记 Cn 0112 nn1,
则平稳状态分布： Pn CnP0
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则概率分布的要求：
Pn 1
n0
有：
1
n1 Cn P0
1
于是：
P0
1
1 Cn
n0
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六、M/M/S等待制排队模型
1、单服务台模型
①队长的分布 M/M/1/
记 p n P N n (n 1 ,2 , )为系统到达平衡状态后队长
队列
服务机构
服务完离开
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二、排对系统的描述
系统由三个部分组成：
输入过程 排队和排队规则 服务机制
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1、输入过程
（1）顾客总数量： 有限或者无限
（2）到达方式：单个到达或成批到达
（3）到达方式：顾客相继到达时间间隔的分布，这是刻画
输入过程的最主要内容。令 T0 0, T n 表示第n个顾客到达的时刻，
n 当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位
时间内完成的顾客数）
当 n 为常数时，记为 ; 当每个服务台的平均服务率为
常数时，记为, 当 ns 时，有：n s
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1/ 期望到达间隔时间
1/ 期望服务时间
服务强度， 或称使用因子, /(s)
五、排队论原理
0
1 k 1 k n 1 n
N q 系统处于平衡状态时排队长，其均值为 L q , 称为平均
排队长；
T 系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，均值为W , 称为
逗留时间；
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T q 系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值记为 W q ,
称为平均等待时间；
n 当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时
间内来到系统的平均顾客数）
T q (t ) 时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间 上述数量指标与时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布 非常困难。
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讨论系统处于平衡状态下的性质：
记 pn (t ) 为时刻t时系统处于状态n概率，即系统的瞬时分布
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平衡分布，即当系统到
达统计平衡时时所处状态 n 概率，记为 p n , 又记： N 系统处于平衡状态时队长，其均值为L，称为平均队长
排队论（Queueing Theory）
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
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一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离 开系统。
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随机服务系统：
输入 来源
顾客
排队系统
则有：T0T1 Tn , 记 X n T n T n 1 (n 1 ,2 , )
假设：X n 是独立同分布的，并记其分布函数为 A(t), 关于
X n 的分布，排队论中经常用到以下几种：
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① 定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定的常数， 如产品通过传输带进入包装箱
② 最简流（或称poisson分布）（M）：顾客相继到达时间
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14பைடு நூலகம்
四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期
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下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：
N (t) 时刻 t 系统中的顾客数，即队长 N q (t ) 时刻 t 系统中排队的顾客数，即排队长
T (t ) 时刻 t 到达系统的顾客在系统中的逗留时间