研究生数值分析(15)插商与牛顿(Newton)插值多项式 共17页

有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商
来表示牛顿差值多项式中的系数。
N n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) x x 1 ( ) a n ( x x 0 ) ( x x n 1 )
由插值条件 Nn(x0)f(x0) ，可得 a0f(x0)f[x0]
牛顿线性插值多项式为
N 1(x)1 0 0 .04( 7 x 1 16 ) 09 0
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x m ] f[x 1 ,x 2 ,
,x m ] f[x 0 ,x 1 , x m x 0
,x m 1 ]
为 f(x) 在点 x0,x1, ,xm 处的m阶差商。
特别地，规定零阶差商 f[xi] f (xi)
为便于应用，通常采用差商表，例如
由插值条件 Nn(x1)f(x1) ，可得
a1f(xx11) xf0(x0)f[x0,x1]
由插值条件 Nn(x2)f(x2) ，可得
a2f(x2)(fx(2x0)x0)f(x[x20,xx11])(x2x0)f(xx22)xfx0(2x0)x1 f[x0,x1] f[x0,xx22] xf1[x0,x1]f[x1,x0,x2]f[x0,x1,x2]
其形式具有对称性，即便于记忆， 又便于应用与编制程序。 由于公式中的 l k ( x ) (k0,1, ,n) 都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时， 必须全部重新计算。
为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式
a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) x x ( 1 ) a n ( x x 0 ) ( x x n 1 )
性质1 k阶差商 f[x0,x1, ,xk] 是由函数值 f(x0),f(x1), ,f(xk) 线性组合而成的，即
f[x 0 ,x 1 ,
k
,x k] j 0(x j x 0 )
f(x j) (x j x j 1 )(x j x j 1 )
(x j x k)
性质2 差商具有对称性，即在k阶差商
f[x0,x1, ,xk] 中任意调换2个节点 x i 和 x j
的顺序，其值不变。
性质3 k阶差商 f[x0,x1, ,xk]和 k 阶导数
f ( k ) ( x ) 之间有如下重要关系：
f[x0,x1,
,xk]
f(k)()
k!
( m i n { x 0 ,x 1 ,,x k } ,m a x { x 0 ,x 1 ,,x k } )
这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。
记为 N n ( x ) ，即
N n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) x x 1 ( ) a n ( x x 0 ) ( x x n 1 )⑧
其中系数 a i (i0,1, ,n) 可由插值条件
100 10
三阶差商
0.047619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
0.040000
169 13
由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为
f [ x 0 ] 1 0 , f [ x 0 , x 1 ] 0 . 0 4 7 1 6 9 , f [ x 0 , x 1 , x 2 ] 0 . 0 0 0 0 9 4 1 1 ,
f[xi,xj]
f
源自文库(xj)f (xi) xj xi
称一阶差商的差商 f [xj, xk ] f [xi, xj ] （i , j , k 互异）
xk xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , xj , xk ]
即
f[xi,xj,xk]f[xj,xxkk] xfi[xi,xj]
插商与牛顿(Newton)插值多项式 构造拉格朗日插值多项式
L n ( x ) k n 0 y k lk ( x )y k( x ( k x x x 0 0 ) )( ( x x k x x k k 1 1 ) ) ( ( x x k x x k k 1 ) 1 )( ( x x k x n x ) n )
Nn(xi) yi
(i0,1, ,n) 确定。
为此我们引入差商概念：
定义1 设函数f(x)在点 x0,x1,x2, 上的值依次为
f(x0),f(x1),f(x2),
称
f (xj ) f (xi) (i j)为f(x)在点 xj xi
x i , x j 处的一阶差商，记为 f [ xi , x j ] ，即
例3 已知函数表
x
… 100 121 144 169 …
x … 10 11 12 13 …
试用牛顿线性插值与抛物线插值求 1 1 5 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x 0 1 0 0 ,x 1 1 2 1 ,x 2 1 4 4 ,x 3 1 6 9
x
x 一阶差商 二阶差商
一般地，可以证明有 于是，满足插值条件
akf[x0,x1, ,xk]
Nn(xi)f(xi)
的n次牛顿插值多项式为
(i0,1,2, ,n)
N n (x ) f[x 0 ] f[x 0 ,x 1 ] (x x 0 ) f[x 0 ,x 1 ,x 2 ] (x x 0 ) (x x 1 ) f[x 0 ,x 1 , ,x n ] (x x 0 ) (x x 1 )(x x n 1 )
x k f [ x k ] 一阶差商
x 0 f [x0] f [ x0 , x1 ]
二阶差商
三阶差商
x 1 f [ x1]
f [x0, x1, x2]
f [ x1, x2 ]
f[x0,x1,x2,x3]
x 2 f [x2]
f [x1, x2, x3]
f [x2 , x3 ]
x 3 f [x3]
差商有如下性质：