二维扩散反应方程的三次样条高精度加权隐式差分格式及其多重网格方法_马廷福

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摘要：利用二阶微商的三次样条四阶紧致差分逼近公式，推导出两种数值求解二维扩散反应方程的两层９点加权／当 θ＝１该格式在时间和空间方向上分别达到二阶和四阶精度．通过Ｆ隐式紧致差分格式．２时，ｏｕｒｉｅｒ方法讨论／／知，当１格式是无条件稳定的；当０≤ 格式是条件稳定的．为了克服传统迭代法在求解隐格２≤ ２时， θ≤１时， θ＜１式方面的困难，差分方程采用多重网格方法进行求解并将本文格式的结果与Ｐ－Ｒ格式及Ｃ－Ｎ格式下的结果进行比较．数值实验结果验证本文方法的精确性和可靠性及多重网格方法的效率．关键词：扩散反应方程；加权隐式差分格式；高精度；多重网格方法中图分类号：Ｏ２４１．８２文献标识码：Ａ
Ｈｉｈｒｅｃｉｓｉｏｎｗｅｉｈｔｅｄｉｍｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｍａｔｏｆｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｉｆｆｕｓｉｏｎ－ｐ－－ｇｇｐｒｅａｃｔｉｏｎｅｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｃｕｂｉｃｓｌｉｎｅａｎｄｉｔｓｍｕｌｔｉｒｉｄｍｅｔｈｏｄｑｐｇ
ｍｅｔｈｏｄ扩散反应方程是一类描述物理量随时间扩散和自然环境、工程设备衰减规律的抛物型偏微分方程．及生物机体中的许多物理现象．诸如气体的扩散、地下水流、热的传导、充分发展的通道流动等都可归结
１］为扩散反应问题［因此，研究其数值求解方法无疑．
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大学学报 Fra bibliotek 第３９卷
４２４４４））其中Ｏ（是无条件稳定的，而Ｏ（ｈ．ｈ τ＋ τ ＋ｈ）４４格式是无条件不稳定的，所以Ｏ（格式不能 τ ＋ｈ）］用于实际计算．文献［采用待定系数法和与差分逼３
，ｏｉｎｔｓｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｗｅｉｈｔｅｄｉｍｌｉｃｉｔｃｏｍａｃｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｍａｔｓｗｉｔｈｔｗｏｌｅｖｅｌｓａｎｄｎｉｎｅｗｅｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｐｇｐｐｄｅｒｉｖｅｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｉｆｆｕｓｉｏｎｒｅａｃｔｉｏｎｅｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｔｗｏｆｏｒｍａｔｓｃｏｕｌｄａｃｈｉｅｖｅｓｅｃｏｎｄｒ－－－ｏ－ｇｑ／ｄｅｒａｃｃｕｒａｃｉｎｔｉｍｅａｎｄｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒａｃｃｕｒａｃｉｎｓａｃｅｒｅｓｅｃｔｉｖｅｌｗｈｅｎ２．ＢｍｅａｎｓｏｆｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒ－ θ＝１ｙｙｐｐｙｙ，／ｉｔｃｏｕｌｄｂｅｃｏｎｃｌｕｄｅｄｔｈａｔｗｈｅｎ１２≤ ｔｈｅｗｏｕｌｄｂｅｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｓｔａｂｌｅ．Ｗｈｅｎ０≤ ａｎａｌｓｉｓ θ≤１， θ＜ｙｙｙ／，１２ｔｈｅｗｏｕｌｄｂｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｓｔａｂｌｅ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｏｖｅｒｃｏｍｅｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｏｆｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｉｎｓｏｌ－ｙｙ，ｖｉｎｔｈｅｉｍｌｉｃｉｔｆｏｒｍａｔｔｈｅｍｕｌｔｉｒｉｄｍｅｔｈｏｄｗａｓａｄｏｔｅｄｔｏａｃｃｅｌｅｒａｔｅｃｏｎｖｅｒｅｎｃｅｒａｔｅ．ＴｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｇｐｇｐｇｒｅｓｅｎｔｅｄｒｅｓｕｌｔｆｒｏｍｔｗｏｆｏｒｍａｔｓｗｅｒｅｃｏｍａｒｅｄｗｉｔｈｔｈａｔｆｒｏｍＰａｎｄＣ－Ｎｆｏｒｍａｔｓ．Ｔｈｅｃｏｍａｒｉｓｏｎ－Ｒｐｐｐｒｅｓｕｌｔｒｅｓｅｎｔｅｄｖｅｒｉｆｉｅｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｏｆｔｗｏｓｃｈｅｍｅｓａｎｄｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｏｆｍｕｌｔｉｒｉｄｍｅｔｈｏｄ．ｙｙｐｙｇ
２４４格式的截断误差可分别达到Ｏ（和Ｏ（ τ ＋ｈ） τ＋
具有非常重要的理论意义和实际应用价值．
２０１２０４１９收稿日期：－－，霍英东教育基金会１１０６１０２５）基金项目：国家自然科学基金（）高等院校青年教师基金（１２１１０５，男，宁夏同心人，讲师．１９８１作者简介：马廷福（－）
Ｒｔ－ｕ＝ｅ Φ ）），将式（代入式（将其转化为４１Ｒｔ Φ Φ ＋ｅｆｔ＝Ｄ（ｘｘ＋Φ ｙｙ）
（）４
］式差分格式．文献［基于二阶微商的三次样条四阶４提出了数值求解一维含源纯扩散方程的逼近公式，两层３点加权差分格式，该格式在空间方向上达到／了四阶精度，且当１格式是无条件稳定２≤ θ≤１时，／的，而当０≤ 格式是条件稳定的．文献［将２，５］ θ＜１反应项归并入源汇项并通过指数变换消取反应项的将扩散反应方程转换成扩散方程的形式，然后方法，利用二阶微商的三次样条四阶紧致差分公式，提出了数值求解一维含源纯扩散方程的两种具有无条件
１１２，，ＭＡＴｉｎｆｕＪＩＮＴａｏＧＥＹｏｎｂｉｎ－－ｇｇ
（，，；，１．ＹｉｎｃｈｕａｎＣｏｌｌｅｅＣｈｉｎａＭｉｎｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔＹｉｎｃｈｕａｎ５００１１，Ｃｈｉｎａ２．ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＡｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓＮｉｎｘｉａＵｎｉ７－ｇｇｙｐｐｇ，Ｙ）ｖｅｒｓｉｔｉｎｃｈｕａｎ５００２１，Ｃｈｉｎａ７ｙ
第３９卷第３期２０１３年６月
兰州理工大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｙｇｙ
Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．３Ｊｕｎ．２０１３
（）１６７３５１９６２０１３０３０１４１０６文章编号：－－－
二维扩散反应方程的三次样条高精度加权隐式差分格式及其多重网格方法
马廷福１，金涛１，葛永斌２
（）１．中国矿业大学银川学院，宁夏银川７５００１１；２．宁夏大学应用数学与力学研究所，宁夏银川７５００２１
：ｄ；ｗ；ｈ；ｍＫｅｗｏｒｄｓｉｆｆｕｓｉｏｎｒｅａｃｔｉｏｎｅｕａｔｉｏｎｅｉｈｔｅｄｉｍｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｍａｔｉｈａｃｃｕｒａｃｕｌｔｉｒｉｄ－ｑｇｐｇｙｇｙ
近方程的最高阶相容性条件满足相结合的方法，提出了求解一维含源纯扩散方程的两种截断误差分别
３２２３２４））为Ｏ（和Ｏ（的两层３点隐ｈ＋ｈｈ＋ｈ τ＋ τ τ＋ τ
（）５），，（由于式（在整个求解区域内成立，故在（５ｉｉ＋ｊ），（，（，），（，）点上也成立，即１，ｉ－１，ｉｉｊ）ｊ）ｊ＋１ｊ－１Ｒｔ（（（），，，，６＋ｅｆ Φ Φ Φ ｔ）ｉｘｘ）ｉｉｉｊ＝Ｄ［ｊ＋（ｙｙ）ｊ］ｊ
：ＡＡｂｓｔｒａｃｔｌｉｎｓｅｃｏｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅａｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａｗｉｔｈｃｕｂｉｃｓｌｉｎｅａｎｄｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒｃｏｍａｃｔ－ｐｐｙｇｐｐｐｐ
Ｒｔ（（＋ｅｆ Φ Φ Φ ｔ）ｉ１，ｘｘ）ｉ１，ｉ１，ｉ１，＋＋＋＋ｊ＝Ｄ［ｊ＋（ｙｙ）ｊ］ｊ（）７Ｒｔ（（，，，，＋ｅｆ Φ Φ Φ ｔ）ｉ１＝Ｄ［ｘｘ）ｉ１＋（ｉ１］ｉ１＋＋＋＋ｊｊｙｙ）ｊｊ（）８Ｒｔ（（ Φ Φ Φ ＋ｅｆｔ）ｉ１，ｘｘ）ｉ１，ｉ１，ｉ１，－－－－ｊ＝Ｄ［ｊ＋（ｙｙ）ｊ］ｊ（）９Ｒｔ（（，，，， Φ Φ Φ ＋ｅｆｔ）ｉ１＝Ｄ［ｘｘ）ｉ１＋（ｉ１］ｉ１＋＋＋＋ｊｊｙｙ）ｊｊ（）１０
最常用的方法是有限数值求解扩散反应方程，差分法．其中Ｃ平均隐式差分ｒａｎｋｉｃｏｌｓｏｎ（Ｃ－Ｎ）－Ｎ该格式在时间和空间上都为格式是最具代表性的，二阶精度且具有无条件稳定的优点，但不足之处是近年来，为了克服传在空间上的精度只能达到二阶．统差分格式在时间和空间上精度都较低的缺陷，许］多研究者致力于高精度差分格式的研究．文献［采２构造一维无源纯扩用含参数差分方程逼近的方法，散方程的高精度隐式差分格式，随选取的参数不同，