七年级初一数学 数学第八章 二元一次方程组的专项培优易错试卷练习题附解析

七年级初一数学 数学第八章 二元一次方程组的专项培优易错试卷练习题附解
析
一、选择题
1．已知方程组2
x y x y a
-=⎧⎨+=⎩，且5x y =，则a 等于（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．已知关于x 、y 的二元一次方程组356
310x y x ky +=⎧⎨
+=⎩
给出下列结论：①当5k =时，此方程
组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( ) A ．①②③
B ．①③
C ．②③
D ．①②
3．若关于x y ，的二元一次方程组232320x y k
x y k
+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的
解，则k 的值为（ ） A ．34
-
B ．
34
C ．
43
D ．43
-
4．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A ．12
xy x y =⎧⎨+=⎩
B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩
C ．20
135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
D ．5
723
z z y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩
5．已知∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（ ）
A ．180
30x y x y +=⎧⎨=-⎩
B ．180
+30x y x y +=⎧⎨=⎩
C ．90
30x y x y +=⎧⎨=-⎩
D ．90
+30x y x y +=⎧⎨=⎩
6．在平面直角坐标系中有三个点()1,1A -()1,1B --()0,1C ，点()0,2P 关于A 的对称
点为1P ，1P 关于B 的对称点2P ，2P 关于C 的对称点为3P ，按此规律继续以A ，B ，C
为对称中心重复前面操作，依次得到4P ，5P ，6P ……则点2022P 的坐标为（ ） A ．（0，0）
B ．（0，2）
C ．（2，－4）
D ．（－4，2）
7．某单位采购小李去商店买笔记本和笔，他先选定了笔记本和笔的种类，若买25本笔记本和30支笔，则他身上的钱缺30元；若买15本笔记本和40支笔，则他身上的钱多出30元．（ ）
A ．若他买55本笔记本，则会缺少120元
B ．若他买55支笔，则会缺少120元
C ．若他买55本笔记本，则会多出120元
D ．若他买55支笔，则会多出120元
8．购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（ ） A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
9．已知方程组
5
12
x y
ax by
+=
⎧
⎨
+=
⎩
和
5216
13
x y
bx ay
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解相同，则a、b的值分别是（）
A．2，3 B．3，2 C．2，4 D．3，4
10．若二元一次方程3x﹣y=﹣7，x+3y=1，y=kx+9有公共解，则k的取值为（）
A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4
二、填空题
11．“八月十五月儿圆，中秋月饼香又甜”，每中秋，皓月当空，阖家团聚，品饼赏月，谈天说地，尽享天伦之乐．今年中秋节前夕某商场结合当地情况，决定启动一笔专项资金用于月饼进货，经过一段时间，该商场已购进的京式、广式、苏式月饼总价之比为2:3:4，
根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种月饼，经测算需将余下资金的1
3
购买京式
月饼，则京式月饼的总价将达到这三种月饼总价的
4
15
．为了使广式月饼总价与苏式月饼的
总价达到9:13，则该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是_____．12．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
13．某餐厅以A、B两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克A、200克B；乙产品每份含200克A、100克B．甲、乙两种产品每份的成本价分别为A、B两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元．店家在核算成本的时候把A、B两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为______元．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
15．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
16．在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未解出的普通题要扣去1分．某人解出了10道题，共得了14分，则该次数学竞赛中一共有____道普通题.
17．一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过吗”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船”．快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船．已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的____倍．
18．王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包. 19．若
是满足二元一次方程
的非负整数，则
的值为___________．
20．已知方程组1122
a x y c a x y c +=⎧⎨
+=⎩解为5
10x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组1112223232a x y a c a x y a c +=+⎧⎨
+=+⎩的解是_______．
三、解答题
21．平面直角坐标系中，点A 坐标为（a ，0），点B 坐标为（b ，2），点C 坐标为（c ，m ），其中a 、b 、c 满足方程组211
322a b c a b c +-=⎧⎨
--=-⎩
．
（1）若a ＝2，则三角形AOB 的面积为 ；
（2）若点B 到y 轴的距离是点C 到y 轴距离的2倍，求a 的值；
（3）连接AB 、AC 、BC ，若三角形ABC 的面积小于等于9，求m 的取值范围． 22．某商贸公司有A 、B 两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
体积（立方米/件） 质量（吨/件） A 型商品
0．8 0．5 B 型商品
2
1
（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求
A 、
B 两种型号商品各有几件？
（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？
23．如图，已知∠a 和β∠的度数满足方程组223080αββα︒
︒
⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩
，且CD //EF,AC AE ⊥.
(1)分别求∠a 和β∠的度数；
(2)请判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由； (3)求C ∠的度数。

24．在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD ．
（1）已知A （﹣3，0）、B （﹣2，﹣2），点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且三角形ACO 的面积是6，求点C 、D 的坐标；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M （1，0），两个动点E （a ，2a +1）、F （b ，﹣2b +3）．
①请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求出点E 、F 两点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点E 、F 重合时，将该重合点记为点P ，另当过点E 、F 的直线平行于x 轴时，是否存在△PEF 的面积为2？若存在，求出点E 、F 两点的坐标；若不存在，请说明理由． 25． 学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，购进A 种魔方多少个时，两种活动费用相同？
26．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩
①
②时,采用了一种“整体代换”的解法:
将方程②变形:4105x y y ++=，即()2255x y y ③++=
把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-，
把1y =-代入①,得4x =，∴原方程组的解为4
1x y =⎧⎨=-⎩
请你解决以下问题:
模仿小军的“整体代换法”解方程组325
9419
x y x y ；-=⎧⎨
-=⎩
(2)已知x y 、满足方程组2222
3212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①，②求22
4x y +与xy 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
把x=5y 代入到方程组中，得到关于y 、a 的二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】
将5x y =代入方程组2x y x y a -=⎧⎨
+=⎩，得52
5y y y y a -=⎧⎨+=⎩
，
解得123
y a ⎧
=⎪⎨⎪=⎩．
故选C ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组，掌握加减消元法是解答此题的关键.
2．A
解析：A 【分析】
根据二元一次方程组的解法逐个判断即可． 【详解】
当5k =时，方程组为356
3510x y x y +=⎧⎨+=⎩
，此时方程组无解
∴结论①正确
由题意，解方程组35661516x y x y +=⎧⎨+=⎩得：23
45x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
把23
x =
，45y =代入310x ky +=得24
31035k ⨯+=
解得10k =，则结论②正确
解方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩得：202315
45x k y k ⎧
=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
又
k 为整数
x 、y 不能均为整数
∴结论③正确
综上，正确的结论是①②③ 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
3．B
解析：B 【分析】
首先解关于x 的方程组，求得x ，y 的值，然后代入方程2x ＋3y ＝6，即可得到一个关于k 的方程，从而求解． 【详解】
解232320x y k x y k +=⎧⎨-=⎩得72x k y k =⎧⎨=-⎩
，
由题意知2×7k ＋3×（−2k ）＝6，
解得k ＝34
． 故选：B
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
4．D
解析：D 【分析】
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义解答. 【详解】
A 、
B 、
C 都不是二元一次方程组，
D 符合二元一次方程组的定义， 故选：D . 【点睛】
此题考查二元一次方程组的定义，正确理解定义并运用解题是关键.
5．D
解析：D 【解析】
试题解析：∠A 比∠B 大30°， 则有x=y+30， ∠A ，∠B 互余， 则有x+y=90． 故选D ．
6．B
解析：B 【分析】
设1(,)P x y ，再根据中点的坐标特点求出
x 、y 的值，找出循环的规律即可得出点2022P 的坐标． 【详解】 解：设1(,)P x y ，
点(1,1)A -、(1,1)B --、(0,1)C ，点(0,2)P 关于A 的对称点为1P ，1P 关于B 的对称点2P ，
∴
12
x =，2
12y +=-， 解得2x =，4y =-，
1(2,4)P ．
同理可得，2(4,2)P ，3(4,0)P ，4(2,2)P ，5(0,0)P ，6(0,2)P ，7(2,4)P ，⋯，
∴每6个操作循环一次．
2022
6337，
∴点2022P 的坐标与6P 相同，即：(0,2)．
故选：B ． 【点睛】
题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
7．D
解析：D 【分析】
设笔记本的单价为x 元，笔的单价为y 元，根据小李身上的总额列出方程，然后变形即可求解． 【详解】
设笔记本的单价为x 元，笔的单价为y 元，根据题意得： 25x+30y-30=15x+40y+30 整理得：10x-10y=60，即x-y=6
∴()253063055210x x x +--=-，即买55个笔记本缺少210元
()256303055120y y y ++-=+，即买55支笔多出120元
故选D ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组，根据题意列出等量关系然后进行推导是本题的关键．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
设购买甲种笔记本x 个，则乙种笔记本y 个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x=14-3y ，利用
143y y
-=14
y –3为整数可判断y=1，2，7，14，然后求出对应x 的值从而得到购笔记本的方案． 【详解】
设购买甲种笔记本x 个，购买乙种笔记本y 个， 根据题意得5x +15y =70，则x =14–3y ，
因为143y y -为整数，而
143y y
-=14
y –3， 所以y =1，2，7，14，
当y =1时，x =11；当y =2时，x =4；y =7和y =14舍去， 所以购笔记本的方案有2种．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系，特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系，然后利用整除性确定方案．
9．B
解析：B 【分析】
由于这两个方程组的解相同，所以可以把这两个方程组中的第一个方程联立再组成一个新的方程组，然后求出x 、y 的解，把求出的解代入另外两个方程，得到关于a ，b 的方程组，即可求出a 、b 的值． 【详解】
根据题意，得：5
5216x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：2
3x y =⎧⎨=⎩
，
将2x =、3y =代入1213ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩，
得：2312
2313a b b a +=⎧⎨+=⎩，
解得：32a b =⎧⎨=⎩
，
∴a 、b 的值分别是3、2． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值是解题的关键．
10．D
解析：D 【分析】
由题意建立关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值，再代入y =kx+9中，即可求得k 的值． 【详解】 解：解方程组37
31
x y x y -=-⎧⎨
+=⎩得：
2
1
x y =-⎧⎨
=⎩， 代入9y kx =+得：129k =-+，
解得：4k =．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，解决本题的关键是掌握解二元一次方程组的解法．
二、填空题
11．【分析】
由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】
解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：
可得：①，解得：n=6m ， ②，可得： 解析：3:5
【分析】
由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】
解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：
可得：①()14
29315
m n m n +=+，解得：n=6m ， ②2
3
a b n +=
，可得：a+b=4m ， ③1
349(2)113
m a m b m n m n m +++=+-+=， ④（3m+a ）：（4m+b ）=9：13，
93135
342222
m a m a m m b m b m +==+==，，，，
∴a ：b=3：5，
答：该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是3：5． 故答案为：3：5．
【点睛】
本题考查多次方程问题，解题的关键是根据题意列出多个方程得出其关系式解答．
12．【分析】
设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c ．根据题意得到关于
解析：【分析】
设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c ．根据题意得到关于a ，b ，c 方程组，根据a ，b ，c 均为正整数，求解即可．
【详解】
设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，
2c ．由题意得()()2502107025105012020503010420a b c a b c a b c ++=⎧⎪⎨++-++=⎪⎩
， 即25217251942a b c b c ++=⎧⎨+=⎩
， 其整数解为42372521231225a n b n c n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
（其中n 为整数），
又∵a ，b ，c 均是正整数，易得n =1.
所以546a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
. ∴150a +60b +40c =150×5+60×4+40×6=1230．
故答案为：1230．
另解：由上9b +c =42，得知b =1，2，3，4.列举符合题意的解即可．
【点睛】
本题考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题时注意题目中隐含条件a ，b ，c ，均为正整数．
13．824
【分析】
先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出
【详解】
解：∵甲产品每
解析：824
【分析】
先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出
【详解】
解：∵甲产品每份含200克A 、200克B ，甲产品每份成本价为16元
∴100克A 原料和100克B 原料的成本为8元
设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意可得出：
[]4312016(28)162(8)688x y x m m y x m m y +≤⎧⎨++-=+-++⎩
整理得出：4344my y =+
∴餐厅每天实际成本16(8)1612344W x m y x y =++=++
∵43120x y +≤
∴1612480x y +≤
∴餐厅每天实际成本的最大值为：480344824+=（元）．
故答案为：824．
【点睛】
本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，读懂题意，理清题目中的各关系量是解此题的关键．
14．【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x ＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x ，y ，z 都是整数，
则10x+9y+6z ＝108，
∴x ＝1089610--y z ＝3(3632)10
--y z ， ∵0＜x ＜10，且为整数，
∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝262
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝23
2
（舍）或z＝10或z＝
17
2
（舍）或z＝7或z＝
11
2
（舍）或z＝4或z＝
5
2
（舍）
或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝162
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
15．30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框
解析：30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得：
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)
∴9a+7=5c+2，
∴9a=5(c-1)，
∴a是5的倍数．
不妨设a=5m(m为正整数)，
∴k=45m+7=7b+4，
∴b=4533(1)
6
77
m m
m
++
=+，
∵b和m都是正整数，
∴m的最小值为6．
∴a=5m=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
16．16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：
3b+2a-(x-a)=1
解析：16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：
（2）×3-（1）得x=16,
∴该次数学竞赛中一共有16道普通题.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 17．5
【解析】
设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，
则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），
解得：y=5x
即快艇静水速度是快船的
解析：5
【解析】
设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，
则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），
解得：y=5x
即快艇静水速度是快船的静水速度的5倍，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了一次方程组的应用，找准等量关系是做本题的关键，借助图例可以帮助我们理解题意．题中虽然有三个未知数，但在计算过程中可以抵消一个．
18．3,20,77.
【解析】
先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包
根据题
解析：3,20,77.
【解析】
先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包
根据题意可列方程组，
100341007x y x z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩
①② ②－3×①，得
77020
z y =+ 要使x 、y 、z 均为正整数，
则3,20,77x y z ===
故答案为3、20、77
点睛：本题主要考查学生利用方程思想建模解决实际问题的能力.解题的技巧在于要利用题中的相等关系建立方程组，并用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据实际情况得出满足题意的解.
19．0或6
【解析】
由2x+3y=12得y=12-
2x3，因为x 、y 都是非负整数，所以x=0，y=4或x=3，y=2或x=6，y=0，所以xy 为0或6.
解析：0或6
【解析】
由2x+3y=12得y=
，因为x 、y 都是非负整数，所以x=0，y=4或x=3，y=2或x=6，y=0，
所以xy 为0或6. 20．【分析】
根据方程组解的定义，把x ＝5，y ＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．
【详解】
解：∵方程组
∵解为：x ＝5，y ＝10，
∴，
∴
∵，
∴，
①−②，得3a
解析：25x y ⎧⎨⎩
＝＝ 【分析】
根据方程组解的定义，把x ＝5，y ＝10代入即可得出a 1，a 2，c 1，c 2的关系，再代入计算即可．
【详解】
解：∵方程组112
2==a x y c a x y c +⎧⎨+⎩ ∵解为：x ＝5，y ＝10，
∴112
2510=510=a c a c +⎧⎨+⎩，
∴()12125a a c c -=-
∵1112
2232=32=a x y a c a x y a c ++⎧⎨++⎩， ∴112232=61032=610a x y a a x y a ++⎧⎨
++⎩①②， ①−②，得3a 1x−3a 2x ＝6a 1−6a 2，
∴x ＝2，
把x ＝2代入①得，y ＝5，
∴方程组1112
2232=32a x y a c a x y a c ++⎧⎨+=+⎩的解是=2=5x y ⎧⎨⎩， 故答案为：=2=5
x y ⎧⎨
⎩． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键． 三、解答题
21．（1）2；（2）a ＝11或a ＝
53；（3）﹣281033m ≤≤且m ≠﹣83． 【分析】
（1）求出A 点坐标，可求出答案；
（2）由题意得出b=a+3，c=a-4，则B （a+3，2），C （a-4，m ），则|a+3|=2|a-4|，解方程即可得出答案；
（3）过点C 作y 轴的平行线l ，延长BA 交l 于M ，过点B 作x 轴的平行线交直线l 于点D ，直线l 交x 轴于点E ，由面积法得M （a ﹣4，﹣83），根据S △BCM -S △ACM ≤9，可得出关于a 的不等式组，则可得出答案．
【详解】
（1）∵点A 坐标为（a ，0），点B 坐标为（b ，2），a ＝2，
∴A （2，0），
∴三角形AOB 的面积为
12
×2×2＝2； 故答案为：2； （2）∵a 、b 、c 满足方程组211322a b c a b c +-=⎧⎨--=-⎩
． ∴b ＝a +3，c ＝a ﹣4，
∴B （a +3，2），C （a ﹣4，m ），
∵点B 到y 轴的距离是点C 到y 轴距离的2倍，
∴|a+3|＝2|a﹣4|，
∴a＝11或a＝5
3
；
（2）过点C作y轴的平行线l，延长BA交l于M，过点B作x轴的平行线交直线l于点D，直线l交x轴于点E，
设EM＝n，则BD＝7，DE＝2，AE＝4，
∵S△BDM＝S△AEM+S梯形BDEA，
∴1
2
×7×（2+n）＝
1
2
×4×n+
1
2
×2×（4+7），
解得：n＝8
3
，
∴M（a﹣4，﹣8
3
），
∵S△ABC≤9，
∴S△BCM﹣S△ACM≤9，
∴1818
749
2323
m m
⨯⨯+-⨯⨯+≤|，
8
3
m+|≤6，
∴
2810 33
m
-≤≤，
∵m≠﹣8
3
，
∴
2810
33
m
-≤≤且m≠﹣8
3
．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了解三元一次方程组，坐标与图形的性质，几何图形面积的计算方法，解本题的关键是得出b=a+3，c=a-4．
22．（1）A种型号商品有5件，B种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m3，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元
【分析】
（1）设A、B两种型号商品各x件、y件，根据体积与质量列方程组求解即可；
（2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.
【详解】
（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，
0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得58x y =⎧⎨=⎩
， 答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；
（2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），
但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）； ②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；
③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元）， ∵2400>2100>2000，
∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.
23．（1）50130
αβ︒
︒⎧∠=⎨∠=⎩；（2）//AB CD ，理由详见解析；（3）40° 【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出∠a 和β∠的度数；
（2）利用求得的∠a 和β∠的度数可得到180αβ∠+∠=︒，于是根据平行线的判定可判断AB ∥EF ，然后利用平行的传递性可得到AB ∥CD ；
（3）先根据垂直的定义得到90CAE ∠=︒，再根据平行线的性质计算C ∠的度数.
【详解】
解（1）解方程组223080αββα︒︒⎧+=⎨∠-∠=⎩①②
， ①-②得：3150α∠=︒ ，解得：50α∠=︒
把50α∠=︒代入②得：5080β∠-︒=︒
解得：130β∠=︒；
（2）//AB CD ，
理由：∵50α∠=︒，130β∠=︒，
180αβ︒∴∠+∠=，
//AB EF ∴(同旁内角互补，两直线平行)，
又 CD//EF ，
//AB CD ∴；
（3）AC AE ⊥，
∴∠=
CAE︒
90
AB CD
//
∴∠+∠=
C CAB︒
180
∴∠=︒-︒-︒=.
180905040
C︒
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.
24．（1）C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，2）；（2）①点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；②存在△PEF 的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．
【解析】
【分析】
（1）由点A和点C在y轴上确定出向右平移3个单位，再根据△ACD的面积求出向上平移的单位，然后写出点C、D的坐标即可．
（2）①根据线段EF平行于线段OM且等于线段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；
②首先根据题意求出点P的坐标为（，2），设点E在F的左边，由EF∥x轴得出a+b＝1，求出△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，当EF在点P 的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+b＝1联立得：
，解得：，或；分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣
2b+3）即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，
∴向右平移3个单位，
设向上平移x个单位，
∵S△ACO＝OA×OC＝6，
∴×3x＝6，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，
故点D的坐标为（1，2）．
（2）①存在；理由如下：
∵线段EF平行于线段OM且等于线段OM，
∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，
解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，
即点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；
②存在，理由如下：如图2所示：
当点E、F重合时，，
解得：，
∴2a+1＝2，
∴点P的坐标为（，2），
设点E在F的左边，
∵EF∥x轴，
∴2a+1＝﹣2b+3，
∴a+b＝1，
∵△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，
即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，
当EF在点P的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：
，此方程组无解；
当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+＝1联立得：
，
解得：，或；
分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；
综上所述，存在△PEF的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E
（，4）、F （﹣，4）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、三角形面积公式、坐标与图形性质、方程组的解法、平行线的性质等知识；本题综合性强，根据题意得出方程组是解题的关键．
25．（1）A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个；（2）购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【解析】
【分析】
（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据“购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 种魔方m 个（0＜m ≤50），则购进B 种魔方（100-m ）个，根据图片描述列出两种活动方案需花费的总价格，使得两种价格相等求得m ．
【详解】
解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，
根据题意，得
2613034x y x y +=⎧⎨=⎩
解此方程组，得
2015x y =⎧⎨=⎩
答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个，则购进B 种魔方(100－m)个，
根据题意，得
0.8×20m ＋0.4×15(100－m)＝20m ＋15(100－m －m)，
解此方程，得m ＝45.
答：购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、解题的关键是找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组.
26．（1）方程组的解为
3
2
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
；（2）19.
【解析】
【分析】
（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值；（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．
【详解】
解：（1）由②得：3（3x-2y）+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，
解得：y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为
3
2 x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
；
（2）由①得：3（x2+4y2）-2xy=47③，
由②得：2（x2+4y2）+xy=36④，
③+④×2得：7（x2+4y2）=119，
解得：x2+4y2=17．
③×2得：6（x2+4y2）-4xy=94⑤，
④×3得：6（x2+4y2）+3xy=108⑥，
⑥-⑤得：7 xy=14
xy=2.
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．。