计量经济学 詹姆斯斯托克 第九章：工具变量回归与联立方程

2 2 1 ˆ22 = , 1 1 1
1 ˆ23 = 1 1 1
0 10 0 1 21 2 1 1 ˆ31 2 ˆ32 = ˆ33 ， ， ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

上图表明若某个变量使供给曲线移动而使需求保待不 变时会发生什么样的情况。现在所有的均衡价格和均 衡量对都落在这条稳定的需求曲线
最初的工具变量回归



Wright考虑了几个可能的工具变量；其中 一个是天气。 例如，某牧场的降雨量会影响牧草的供给变 化，从而影响黄油的的供给曲线的位臵，因 此牧场地区降雨量满足工具变量相关性的条 件。 但牧场地区降雨量对黄油的需求没有直接影 响，因此牧场地区降雨量与需求曲线的ui的 相关系数为零；也就是牧场地区降雨量满足 工具变量外生性条件。
ˆ10
0 +0 , (1-1 -1 )
ˆ11
2 , (1-1 -1 )
ˆ12
2 , (1-1 -1 )
ˆ13
1 (1-1 -1 )
0 11 10 ˆ20 = , 1 1 1
ˆ30 =
12 ˆ21 , 1 1 1
Yt
0 +0 2 2 1 1 1 Yt-1 Ct-1 Gt u1t u 2t (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 )

对比简化式模型的一般形式：
(7) (8) (9)
结构方程的特征是：将一个内生变量表示为其他内生变量、 先决变量和随机误差项的函数形式。 结构式模型中的每一个方程都称为结构方程； 各个结构方程的参数被称为结构式参数。
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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

所谓“简化式模型”，就是用系统中所有的“外生（先决） 变量”表示出所有“内生变量”的函数表达形式。
0 10 0 1 2 21 2 1 1 1 1 1 Yt-1 + Ct-1 + Gt + u1t u 2t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ˆ 的概率极限： 但可以计算 p lim( X iui / n ) ˆ p lim( ) 2 p lim( X i / n )
运算可以！！！

分子部分以100%的概率收敛到E(Xi u i) 所以，此时OLS估计量虽然不是无偏的，但却是一 致的！
结论

如果解释变量Xi是随机的，但与随机误差项 ui彼此之间不相关，则OLS估计量是有偏的， 但仍然是一致的；
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Ct =10 +11Yt-1 +12 Ct-1 +13 Gt +1t It 20 + 21Yt-1 + 22 Ct-1 + 23 Gt +2t Yt 30 + 31Yt-1 + 32 Ct-1 +33 Gt +3t
1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)
X iui Xi
2

如果解释变量是非随机的，那么就有：
ˆ) E( ) E(
X i E(ui ) Xi
2

证明

如果解释变量是随机的，且与随机项不相关，即 E(Xi ui)=0，则有： X i ui ˆ E( ) E( ) 期望运算不能将分子 2 Xi 分母分开计算，但极限
Ct =10 +11Yt-1 +12 Ct-1 +13 Gt +1t It 20 + 21Yt-1 + 22 Ct-1 + 23 Gt +2t Yt 30 + 31Yt-1 + 32 Ct-1 +33 Gt +3t
(7) (8) (9)
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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

由于“简化式模型”中，所有方程中的解释变量都是 外生变量，因此这些解释变量与随机项之间就不再相 关了， 因此我们可以用OLS得到对全部“简化式参数”的最 佳线性无偏估计量。

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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

如何将“结构式模型”转变为“简化式模型”？
1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)；
基本步骤：

把“结构式模型”转变为“简化式模型”；
对“简化式模型”的参数进行OLS估计； 最后， 根据“结构式模型”参数与“简化式模型”参 数之间的关系，计算出“结构式模型”的参数；


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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)；

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如果将 (4)式、 (5)式代入 (6)式，则有：
0 +0 2 2 1 1 1 Yt Yt-1 Ct-1 Gt u1t u 2t (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1 -1 ) (1-1-1)

再将此式代入(4)式和(5)式，可分别得到C和I的简化式。
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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

总之可以得到：
Ct =
It =
0 11 10 12 2 1 1 1 1 1 Yt-1 + 2 Ct-1 + Gt + u1t u 2t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

根据11个均衡样本点估计的方程究竟是需求函数还是 供给函数？ 两者都不是！由于这些点是由需求和供给两者的变化 确定的，因此用OLS拟合这些点的直线既不是需求曲 线也不是供给曲线的估计。
该例直观显示了随机解释变量与随机项彼此相 关时，对参数估计带来的障碍。
最初的工具变量回归
Wright的解决办法： 找到第三个变量，这个变量影响供给但不影 响需求。 这样，所有的“均衡价格和均衡数量对”都 落在这条稳定的需求曲线上，此时很容易估计出 需求曲线的斜率。
最初的工具变量回归


谁开创了工具变量回归？ 1928年的著作的“The Tariff on Animal and Vegetable Oils”的附录B。 作者是谁？ Philip Wright 或者是他的儿子Sewall Wright 文体计量学的分析
最初的工具变量回归
Philip Wright的问题 Philip Wright关心的是那个时期的一个重 要经济问题：即如何对诸如黄油，大豆油这样的 动植物油和食用动物设臵进口关税。 而理解关税的经济效应的关键在于要有商品 需求和供给曲线的定量估计。
结构式模型： 一般的，根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之 间直接关系结构的计量经济学方程系统称为“结构式模型”。

Ct = 0 +1Yt + 2Ct-1 +u1t It 0 1Yt +2 Yt-1 u 2t Yt Ct I t Gt
(11 4) (11 5) (11 6)

由其实质就是：根据原始的“结构式方程组”求 解未知数（内生变量）。
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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

对于原结构式方程组：
Ct = 0 +1Yt + 2Ct-1 +u1t It 0 1Yt +2 Yt-1 u 2t Yt Ct I t Gt (4) (5) (6)
如果解释变量Xi是随机的，且与随机误差项 ui彼此之间相关，则OLS估计量既是有偏的， 也不是一致的；

如何应对？

工具变量回归 工具变量(instrumental variable, IV)： 与模型中的随机解释变量Xi高度相关， 但却与随机误差项ui不相关的变量。如果用 Z表示，即 Cov( Z , X ) ≠ 0 （相关性） Cov( Z , u ) = 0 （外生性）
最初的工具变量回归
Wright的解决办法： 可见，这第三个变量，也就是工具变量，它 与价格相关(它使供给曲线移动，于是导致价格 发生变化)，但与u无关(需求曲线保持不变)。

联立方程的回归

在面临联立方程的参数估计问题时，我们 可以采取的估计方法： 1、间接最小二乘法(ILS: Indirect Least Square)（略）； 2、两阶段最小二乘法(TSLS: Two Stage Least Square) 3、三阶段最小二乘法* （略） 4、其他的全信息估计方法（略）
第九章：工具变量回归与联立 方程回归
杨 旭
引言

经典回归的重要假设： Yi X i ui 要求解释变量Xi是非随机的 如果解释变量Xi是随机的，则要求Xi与 随机误差项ui彼此之间不相关。 或者：

Cov (ui, Xi ) 0
E (uiXi ) 0
引言

如果解释变量Xi是非随机的，则β 的OLS估 计量是无偏的、一致的；
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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

表面上看，方程数量多于未知数的数量。 但仔细观察这12个方程会发现，实际上只有6个方程是独 立的！ 因为，
ZY Z X
i
i i i
随机项与解释变量何时相关？

遗漏变量变量（略）
变量有测量误差（略） 双向因果关系（联立方程详细）


双向因果关系

例如：供求函数模型
qtd 0 1 pt ut qts 0 1 pt vt qtd qts


其中的需求函数，解释变量Pt与随机变量ut 相关 s s d p 与 q 相关，而 q q ut 原因： t t t t ，而后者又包含着
ˆ) 无偏即意味着： E(

证明


线性回归模型： Yi = βXi + ui , 且有E(ui) = 0、Var( ui ) = σ2 ; 使用普通最小二乘法，可得回归系数β的估 计量为：
ˆ＝
X iY X i( X i ui ) ＝ 2 2 Xi Xi

我们可以用OLS得到对全部“简化式参数”的最佳线性无 ˆij , i 1,2,3; j 0,1,2,3; 偏估计量。即式(7)~(9)中的 根据“简化式参数”与“结构式参数”之间的关系，可以 解出相应的“结构式参数”。

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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)
E ( XX )
X X
i
矩估计
i
工具变量回归



类似得，我们可以得到如下等式： E (ZY ) E (ZX ) E (Zu) 利用工具变量的性质E(Zu)=0 可得
E ( ZY ) E ( ZX )
ˆ
ILS

称为：工具变量回归。 可以证明：此时的估计量是一个“一致估 计量”
如何应对？

工具变量回归的实质： 用工具变量(Z) 与原有变量共同构造 一个估计量。
工具变量回归

例如，过原点的回归方程：
Yi X i ui


利用“矩条件”有： E ( XY ) E ( XX ) E( Xu) 按照经典假设：E(XU)=0 有： X Y E ( XY ) i i ˆ
0 ,1 ,2 , 0 , 1, 2 在本例中，“结构式参数”有6个，分别是：


ˆij ，即， 而根据式(7)~(9)，有12个 ˆij , i 1,2,3; j 0,1,2,3;
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1、间接最小二乘法 (ILS: Indirect Least Square)

这意味着，我们可得12个关系方程：