(完整版)曲边梯形的面积
1.5.1曲边梯形的面积
y y x2
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
Δx很小时,
在区间i 1, nFra biblioteki n
o
i1 i
nn
1x
上,可以认为函数f x x2
图1.5 3
y
的值变化很小,近似等于一
个常数,不妨认为它近似地
y x2
等于左端点i 1处的函数
2. 有 理 由 相 信 ， 分 点 越 来 越密时，即分割越来越细 时，矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。
o
x
B.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )(i xi , xi1)
C.只能是右端点的函数值 f (xi1)
D.以上答案均不正确
小结:
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割 (2)求面积的和 (3)取极限 n
y
1.把这些矩形面积相加作为
整个曲边形面积S的近似值。
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
趋向于S,
从而有S
lim Sn
n
lim
n
n i1
1 f i n
1 n
lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
探 究 在 "近 似 代 替" 中,如 果 认 为 函 数fx x2 在
区
间i
1, n
i n
i
1,2,
,n上
的
曲边梯形的面积完整版
a,b叫做积分区间,函数f x叫做被积函数, x叫
做积分变量, f x dx叫做被积式.
知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f ( x)dx
b
n1
f (x)dx
a
f (i )
i0
xi
n
lim n i1
(b a) n
f (i )
2.定积分的几何意义:
• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
• 区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y
f(2) f(1)
• 把曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形．
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
(2) 以直代曲
Si
f(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
• 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功 为：
• [点拨] 按用定义求定积分的步骤即分割、 近似代替、求和、取极限求解．
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f (x)
b
曲边梯形面积及汽车行驶的路程
曲边梯形面积与汽车行驶路程的未来发展
随着科技的不断进步和人们对环保的日益重视，未来汽车行业将更加注重节能减排和可持续发展。曲 边梯形面积的计算可以帮助设计师更好地理解汽车的能耗和排放情况，从而优化设计，降低对环境的 影响。
的长度和方向。
在某些情况下，曲边梯形面积 的大小可能会影响汽车行驶的 路程长度，例如在弯曲的道路
或坡道行驶时。
曲边梯形面积对汽车行驶路程的影响
在弯曲的道路中，曲边梯形面积的大小会影响汽车行驶的路程长度。
当道路弯曲时，汽车需要沿着曲线路径行驶，曲边梯形面积的大小决定了曲线的长 度，进而影响汽车行驶的路程长度。
感谢您的观看
曲边梯形面积还可以用于评估汽车内部空间布局的合理性。通过计算曲边梯形面 积，可以确定车内座椅、方向盘等部件的合理位置，以提高乘客的舒适度和驾驶 安全性。
曲边梯形面积在汽车行驶路程规划中的应用
在汽车行驶路程规划中，曲边梯形面积可以帮助驾驶员更好 地理解行驶路线的复杂性和行驶难度。例如，在山区行驶时 ，曲边梯形面积可以用于评估道路的陡峭程度和弯道数量， 从而帮助驾驶员选择合适的行驶路线和驾驶方式。
实际应用
在日常生活中，可以根据给定的速度 和时间，计算汽车行驶的路程；或者 根据已知的路程和时间，计算汽车的 速度。
不同行驶状态下的路程计算
变速行驶
变速行驶时，汽车的速度会发生变化，因此需要分段计算路程， 然后累加得到总路程。
曲线行驶
曲线行驶时，需要将曲线分成若干段直线，然后分别计算每段直线 的路程，最后将各段路程相加得到总路程。
1.4.1曲边梯形的面积与定积分(上课用)
2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
1.7定积分的简单应用
2．由曲线 y＝ x和 y＝x 所围成图形的面积可用定积分 表示为( ) 1 1 3 1 3 1 A. x d x ＋ B . xdx x dx x dx－
3
C. xdx＋ x dx
0 0
0 1
0 1 3
1 D. xdx－ x dx
2
4
( 4)
2
1
4 5 ( x 1)dx 2 3 3
二、热身练习
2
计算:
2
2
2
4 x 2 dx
解:如图由几何意义
3
2
1 4 x dx 2 2 2 2
2
xdx 计算： sin
y
y sin x
解：如图由几何意义
sin xdx 0
0
x
解:作出y=x-4, y 2x 的图象 如图所示: y 2x x=8 解方程组 得 :{y=4 , y x 4
y 2x
S2
S1
直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
y x4
8
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
(
4
0
2 xdx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
解法二
数学选修2-2人教新课标A版1-5-1曲边梯形的面积课件(27张)
n i1
Si'
n i1
f
(i 1)x n
n (i 1)2 i1 n
1 n
0
1 n
1 2 n
1 n
2 2 n
1 n
n
n
1
2
1 n
1 (12 22 (n 1)2) n3
1 (n 1)n(2n 1)
n3
6
1 6
1
1 n
2
1 n
.
nx
n
y
y
O 12 nn
O 12 nn
y x2
n
n
方案3
第i个 y 小曲边 梯形
方案3 y f (x) x2
y=x2
i-1 i x O nn
i 1 i nn
1x
△Si
S
'i
1[ 2
f
(i
1) n
f
( i )]x n
1 [(i 2
1)2 n
( i )2] n
1 n
,i
1, 2,
,n
案例探究
3、求和
S
'i
1 [(i 2
1)2 n
( i )2] n
1 x n1
n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
f ( i ) ( i )2
nn
ff((nii)1(ni))2 (i 1)2
n
n
O
y=x2
i 1 i nn
1x
方案. 方案.. 方案… 方案….
案例探究 方案1
2、近似代替(以直代曲）
y y
1.5.1、2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件人教新课标
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．曲边梯形面积的求解步骤 (1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的 长度为 Δx＝b－n a； (2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一 点 ξi∈[xi－1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方 便，可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时－
16n12－1趋向于
S.从而有
S＝lim n→∞
－16n12－1＝16.
所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图
形面积为16.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
C．当 v＝at＋b(a≠0，a，b 为常数)时，汽车做匀变速直 线运动，这时路程 s＝bt1＋12at21
D．当 v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c 为常数)时，汽车做变
n
速直线运动，这时路程 s＝nli→m∞sn＝nli→m∞i＝1v(ξi)Δt
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似 值__求__和______；
(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边 梯形的面积之和趋向一个__定__值___，即为曲边梯形的面积．
880第3章曲边梯形
880第3章曲边梯形（原创版）目录1.曲边梯形的定义和性质2.曲边梯形的计算方法3.曲边梯形的应用案例正文3.1 曲边梯形的定义和性质曲边梯形是指一个四边形，其中两边是平行的，被称为上底和下底，另外两边不平行，被称为腰。
与直角梯形不同，曲边梯形的两腰可以有不同的长度和倾斜度。
曲边梯形的一些基本性质包括：- 对角线相等：曲边梯形的对角线相等，即上底的两个端点到下底的两个端点的距离相等。
- 面积计算：曲边梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为：面积 = (上底 + 下底) ×高÷ 2。
3.2 曲边梯形的计算方法计算曲边梯形的面积和高的方法有多种，其中较为常见的是使用平行四边形的性质和海伦公式。
- 平行四边形性质：将曲边梯形切割成两个直角三角形和一个平行四边形，可以发现平行四边形的高和直角三角形的高相等。
因此，可以通过计算平行四边形的面积和直角三角形的面积来计算曲边梯形的面积。
- 海伦公式：海伦公式是一种计算三角形面积的公式，可以推广应用于计算曲边梯形的面积。
通过将曲边梯形分割成多个小三角形，可以计算出每个小三角形的面积，然后将它们相加得到曲边梯形的面积。
3.3 曲边梯形的应用案例曲边梯形在实际生活中的应用非常广泛，例如：- 计算不规则物体的表面积：当物体的表面呈曲边梯形时，可以使用曲边梯形的面积公式来计算表面积。
- 设计建筑物：在建筑物的设计过程中，可能会遇到曲边梯形的结构，如楼梯、屋顶等。
了解曲边梯形的性质和计算方法有助于优化建筑物的结构和美观度。
- 解决实际问题：在解决一些实际问题时，如计算梯田的种植面积、计算不规则水池的容积等，曲边梯形的知识可以发挥重要作用。
《曲边梯形的面积》优秀课件
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
(完整版)高等数学(上)第五章定积分总结
第五章 定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。
要求：理解定积分的概念和性质。
掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。
重点:定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。
难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。
§1。
定积分的概念一、实例分析1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ］, 且)(x f y =〉0。
由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高。
（2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高。
(3） 预备一张呈曲边梯形状的纸， 将其撕成许多细长条. （4） 启示:将曲边梯形分割为许多细长条， 分割得越细， 误差越小。
第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ曲边梯形面积： ∑=∆≈ni i i x f S 1)(ξ定积分概念示意图.ppt定义： ),,2,1,max {()(lim 10n i x x f S i ni ii =∆=∆=∑=→λξλy =f (x )x =a x =by =f (x )a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在［a ， b ］有定义， 且有界。
(1) 分割： 用分点b x x x a n =<<<= 10把［a ， b ]分割成n 个小区间：},,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x ni x x i i i i i i =∆=-=∆=--λ记(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i, 做乘积: i i x f ∆)(ξ。
1.5.1曲边梯形的面积
活动三：动态演示，加深理解
y y x2
y y x2
y y x2
y y x2
o
1x o
y
1x o
1x
o
1x
S Sn
o
n越来越大，分割越来越细
x
活动四：理性归纳 整合知识
y y x2
y y x2
y y x2
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
S Sn
作业： 1.阅读并思考课本P48页 《曲边梯形的面积》 2.书面作业：P50页B.1
再见
——刘徽
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
靠近仔细看圆周的地砖是弧形的还是方形的？
活动二：提出问题，自主探究
1.下面我们先研究一个特殊情形：
由抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
方案2 方案4
方案4
如何使每种方案中得到的小曲边梯形的近似值差别很小？
我们还可以从数值上可以看 出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
1.5.1曲边梯形的面积
第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似 代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的 近似值．
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第三步：求和．
第四步：取极限。 说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割→近似代替→求和→取极限 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是 真实值
在区间
i
n
1
,
i n
上，可以认为函数
f
x
x2 的值
变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似
的等于左端点
i
1 n
处的函数值
f
i
1 n
，从图形上
看，就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边
梯形的曲边（如图）．
这样，在区间
i
1 n
,
i n
问题转化为求“直边图形”面积的问题？。
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有
一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直
代曲”的思想的应用．
y
y
y
y
y x2
x
x
x
1x
1x
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
把区间 0 ,1 分成许多个1 小x 区间，进而把区边梯形拆为一些
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
f
(i
1) n
1 n
lim 1 (1 n 3
1 )(1 n
1) 2n
1.5 .1曲边梯形的面积
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积
方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分
割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
求曲边梯形面积的“四步曲”： 1°分割 2°近似代替 化整为零 以直代曲
3°求和 4°取极限
积零为整 刨光磨平
探究点二 问题
求变速运动的路程
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关
系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速 度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
答 物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的 路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面 积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直 线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问 题．
i＝1 n
小区间，
(2)近似代替
2i 取ξi＝ n (i＝1,2，„，n)．于是 2i 2i 2 2 ΔSi≈ΔS′i＝v( n )·Δt＝[3( n ) ＋2]· n 24i2 4 ＝ n3 ＋n(i＝1,2，„，n)． (3)求和 Sn＝ ΔS′i＝
i＝1 n n i＝1
本 课 时 栏 目 开 关
i－1 1 1 n i－1 2 Sn＝ f(1＋ n )· ＝n [(1＋ n ) ＋2] n i＝1 i＝1
n 2 1 n i－1 2i－1 ＝n [ n2 ＋ n ＋3] i＝1
1 1 2 2 2 1 2 ＝n{3n＋ 2[0 ＋1 ＋2 ＋…＋(n－1) ]＋n[0＋2＋4＋6＋…＋ n n－12n－1 n－1 2(n－1)]}＝3＋ ＋ n . 6n 2
于是所求平面图形的面积近似等于
本 课 时 栏 目 开 关
1 36 49 64 81 1 255 (1＋ ＋ ＋ ＋ )＝ × ＝1.02. 10 25 25 25 25 10 25
高中数学选修2-2讲义：第一章 4 1 曲边梯形面积与定积分 含答案
1.4定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分如图，阴影部分是由直线x＝1，x ＝2，y ＝0和曲线f (x )＝x 2所围成的曲边梯形，问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．曲边梯形曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，称为曲边梯形． 2．求曲边梯形面积的方法求由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形如图①的面积的步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．[对应学生用书P25]问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？ 提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 提示：可以．定积分的概念设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .把区间[a ，b ]分成n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i =0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m λ→0 ∑i =0n －1f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”．例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分数越多，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a bx 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26][例1] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行． [精解详析] 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i =1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝i =1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i =1n i 2＋2. ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143. [一点通] 求曲边梯形面积的过程：1．下列关于函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 内各点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 内的值相差很小，所以函数值相差很小，故选D.2．用以直代曲的思想，求由y ＝3x ，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替：用小矩形面积ΔS i (i ＝1,2，…，n )近似代替小曲边梯形面积，ΔS i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2()i －1，(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i =1nΔS i ＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i =1nΔS i ＝li m n →∞32·n －1n ＝32.[例2] 利用定积分表示由曲线y ＝x －2，x ＝y 2围成的平面区域的面积S .[思路点拨] 用定积分表示平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当公式S ＝⎠⎛a b|f (x )－g (x )|d x 中的f (x )或g (x )是分段函数时，面积要分块表示．[精解详析] 曲线所围成的平面区域如图所示， S ＝A1＋A 2，其中，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成， A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ＝⎠⎛012x d x .A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝⎠⎛012 x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .(1)定积分的几何意义：当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．3．利用定积分表示下图中阴影部分的面积，答案：(1)⎠⎛121⎠⎛2121xd x (2)⎠⎛-11(－x 2＋1)d x 4．利用定积分表示由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：由题意，作图形，并解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，得x ＝2，y ＝4.所以y 2＝8x 与直线x ＋y －6＝0的交点为(2,4)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x .[例3] (12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分．(1)⎠⎛023d x ； (2)⎠⎛232x d x ；(3)⎠⎛-a a a 2－x 2d x .[精解详析] (1)⎠⎛023d x 表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，所以⎠⎛023d x ＝6.(4分)(2)⎠⎛232x d x 表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5. ∴⎠⎛232x d x ＝5.(8分)(3)⎠⎛-a aa 2－x 2d x 表示的是图(3)中阴影部分的面积，该图形是一个以原点为圆心，半径为a 的上半圆的面积，其面积为π2a 2.∴⎠⎛-a aa 2－x 2d x ＝π2a 2.(12分)[一点通] 利用定积分的几何意义求定积分⎠⎛a bf (x )d x ，关键是确定由曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算．5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式．(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案：(1)＞ (2)< (3)＜6．利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1)⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，而S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛-111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方部分的面积．由S 半圆＝π2，得⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.几类曲边梯形的面积与定积分的关系1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1n B.2n C.2n －1D.2n ＋1解析：每个小区间长度为：1－(－1)n ＝2n .答案：B2．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤t (i －1)n ，ti nD.⎣⎡⎦⎤t (i －2)n ，t (i －1)n 解析：每个小区间长度为t n ，故第i －1个区间的左端点为：0＋(i －2)×t n ＝t (i －2)n ，右端点为t (i －2)n ＋t n ＝t (i －1)n.答案：D3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C4．如图，阴影部分的面积为( )[对应课时跟踪训练(十)]A.⎠⎛a bf (x )d x B.⎠⎛a bg (x )d x C.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析：由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )， ∴阴影部分的面积为⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x . 答案：C5．把y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵当0<x <π2时，sin x >0，∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎛02πsin x d x .答案：⎠⎛2πsin x d x .6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)； (2)S 2＝________(如图2)； (3)S 3＝________(如图3)．答案：(1)⎠⎛3π0⎠⎛ππ3sin x d x (2)⎠⎛-42x 22d x (3)⎠⎛49x 12d x 7．利用定积分表示曲线y ＝x 2与x ＋y ＝2所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2得交点的横坐标为x ＝1及x ＝－2，如图，∴S ＝⎠⎛-21[(2－x )－x 2]d x ＝⎠⎛-21(2－x －x 2)d x .8．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可化为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛-114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB ·BC ＝2 3.∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
曲边梯形zst1
y
0
x
0
x
o
x
直线 几条线段连成的折线
曲线？ 曲线？
1.5.1曲边梯形的面积 曲边梯形的面积
直线x= 、 = 、 = 及曲线 及曲线y= 所围成的图形（ 直线 =0、x=1、y=0及曲线 =x2所围成的图形（曲边三 角形）面积 是多少 是多少？ 角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S， 为了计算曲边三角形的面积 ，将它分割成许多小曲边梯形
当无限细分时的极限. 当无限细分时的极限. 变力F(x)将物体其沿直线从 所作的功W 变力F(x)将物体其沿直线从 a 移到 b 所作的功W为和式 F(x)
∑ F (ξ )∆x
i =1 i
n
i
(其中 ∆xi = xi − xi −1 ( i = 1, 2,L n ))
当无限细分时的极限. 当无限细分时An b x
个小曲边梯形， 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 个小曲边梯形 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积 近似为 A ≈ A1+ A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + An
分割越细，面积的近似值就越精确。 分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时， 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。 求曲边梯形的面积 。
i =1
当无限细分时,上述和式的极限就是所求的功. 当无限细分时,上述和式的极限就是所求的功.
由曲线 y = f ( x) 直线 x = a, x = b 及X轴围成的面积S为和式 轴围成的面积S
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
(其中 ∆xi = xi − xi −1 ( i = 1, 2,L n ))
(完整版)§5-1定积分的概念和性质
第五章 定积分§5－－1 定积分的概念和性质一、两个实例1 曲边梯形的面积单曲边梯形由其他曲线围成的图形，可以用两组互相垂直的平行线分割成若干个矩形与单曲边梯形之和．适当选择直角坐标系，将单曲边梯形的一直腰放在x 轴上，两底边为x =a ，x =b ，设曲边的方程设为y =f (x )．先设f (x )在[a ，b ]上连续，且f (x )≥ 0，如图所示．以A 记图示曲边 梯形的面积．用区间[a ，b ]为宽，高为f (ξ)(a <ξ<b )的矩形面积来作为A 的近似值．(1)分割 任取一组分点a=x 0<x 1<x 2<...<x i －1<x i <...<x n －1<x n =b 将区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=[x 0，x 1]⋃[x 1，x 2]⋃...⋃[x i －1，x i ]⋃...⋃[x n －1，x n ]，第i 个小区间的长度为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．过各分点作x 轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n 个小曲边梯形(图5－2(2))，第i 个小曲边梯形的面积为∆A i ．(2)小范围内以不变代变取近似 在每一个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，认为f (x )≈f (ξi )， (x i －1≤ξi ≤x i )，以这些小区间为底、f (ξi )为高的小矩形面积作为第i 个小曲边梯形面积的近似值∆A i ≈f (ξi )⋅∆x i ，(i =1，2，...，n )．(3)求和得近似 将n 个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值 A =i ni i ni i x f A ∆ξ∆∑∑==≈11)(． (1)(4)取极限达到精确 以||∆x ||表示所有小区间长度的最大者， ||∆x ||=max{∆x 1，∆x 2，...，∆x n }，当||∆x ||→0时，和式(1)的极限就是原曲边梯形的面积A ，即A =∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．曲边梯形中的曲线方程y =f (x )与面积的关系：以S (x )表示以[a ，x ]为底边的曲边梯形的面积，(a ≤x ≤b )，则所求面积A =S (b )=S (b )－S (a ) ．∆S =S (x+∆x )－S (x )表示以[x ，x +∆x ]积，不妨设f (x )<f (x +∆x )，∆x >0，则 f (x )⋅∆x <∆S <f (x +∆x )⋅∆x ，f (x )<xs ∆∆< f (x +∆x )； 因为f (x )在[x ，x+∆x ]连续，由介值定理，存在ξ∈[x ，x+∆x ]xs ∆∆= f (ξ)，∆S =f (ξ)⋅∆x ． 当∆x →0，ξ→x ，因为f (x )连续，f (ξ)→f (x )，所以 xsx ∆∆∆0lim→=S '(x )=f (x )．即f (x )恰好是面积函数S (x )关于x 的变化率．因此可见，已知曲边y =f (x )，求图5－2(1)那样的曲边梯形的面积A ，从分析角度讲，实际上给出了面积函数S (x )的变化率f (x )，求S (x )在[a ，b ]段的累积量S (b )－S (a )． 2 变速直线运动的路程设一物体沿一直线运动，已知速度v =v (t )是时间区间[t 0，T ]上t 的连续函数，且v (t )≥0，求这物体在这段时间内所经过的路程s ．(1)分割 任取分点t 0<t 1<t 2<...<t n －1<t n =T ，把时间区间[t 0，T ]分成n 个小区间 [t 0，T ]=[t 0，t 1]⋃[t 1，t 2]⋃...⋃[t i －1，t i ]⋃...⋃[t n －1，t n ]，记第i 个小区间[t i －1，t i ]的长度为∆t i =t i －t i －1，物体在第i 时间段内所过走的路程为∆S i ，(i =1，2，...，n )．(2)在小范围内以不变代变取近似 在小区间[t i －1，t i ]上认为运动是匀速的，用其中任一时刻τi 的速度v (τi )来近似代替变化的速度v (t )，即v (t )≈v (τi )，t ∈[t i －1，t i ]，得到∆S i 的近似值∆S i ≈v (τi )⋅∆t i ．(3)求和得近似 把n 段时间上的路程近似值相加，得到总路程的近似值s ≈∑=ni i i t v 1)(∆τ． (2)(4)取极限达到精确 当最大的小区间长度||∆t ||=max{∆t 1， ∆t 2，...， ∆t n }趋近于零时，和式(2)的极限就是路程s 的精确值，即 s =∑=→ni i i t t v 1||||)(lim∆τ∆．若s =s (t )，t 0≤t ≤T 表示路程函数，则v (t )=s '(t )，可见问题实质也是已知路程函数的变化率，求s (t )在时间段[t 0，T ]内的累积量s (T )－s (t 0)．二、定积分的定义定义 设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义且有界，任取一组分点a =x 0<x 1<x 2<...<x n =b ，把区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=Y ni i i x x 11],[=-，第i 个小区间长度记为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，作和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(，称此和式为f (x )在[a ，b ]上的积分和．记||∆x ||=ni ≤≤1max ∆x i ．如果当||∆x ||→0时，积分和的极限存在且相同，则称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积，并称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(=∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．其中“ ⎰ ”称为积分号，[a ，b ]称为积分区间，积分号下方的a 称为积分下限，上方的b 称为积分上限，x 称为积分变量，f (x )称为被积函数，f (x )dx 称为被积表达式．实例１ 由曲线y =f (x )、直线x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形面积为A =⎰ba dx x f )(；实例２ 以速度v (t )作变速直线运动的物体，从时刻t 0到T 通过的路程为s =⎰Ttdt t v 0)(．关于定积分的定义，作以下三点说明：(1)f (x )在[a ，b ]上可积，只是要求f(x)在[a ，b]上有界、当||∆x ||→0时和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(存在极限，并未要求f (x )在[a ，b ]上连续．可以证明，若f (x )在积分区间上连续或仅有有限个第一类间断点，则f (x )在[a ，b ]上必定是可积的．(2)如果已知f (x )在[a ，b ]上可积，那么对[a ，b ]的任意分法及在ξi 在[x i －1，x i ]中任意取法，极限∑=→ni i i x x f 10||||)(lim∆ξ∆总存在且相同，因此若用定积分的定义求⎰ba dx x f )(时，为了简化计算，对[a ，b ]可采用特殊的分法以及ξi 的特殊取法．(3)定积分⎰ba dx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数f (x )、积分区间[a ，b ]有关，而与积分变量的选择无关，因此⎰ba dx x f )(=⎰ba dt t f )(=⎰ba du u f )(．三、定积分的几何意义在实例1中已经知道，当[a ，b ]上的连续函数f (x )≥0时， 定积分⎰ba dx x f )(表示由y =f (x )为曲边、x =a ，x =b 和x 轴界定的单曲边梯形的面积．现若改f (x )≥0为f (x )≤0，则－f (x )≥0，此时界定的单曲 边梯形的面积是 A =∑∑=→=→-=-ni i i x ni ii x x f x f 1||||1||||)(lim)]([lim∆ξ∆ξ∆∆ =－⎰ba dx x f )(．。
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曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越
细,近似程度就会越来越好. 也即: 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我
们通过下面步骤来具体实施这种方法.
思考2：设想把该曲边梯形分作若干个小
梯形，具体如何操作？
1、分割 y
在区间0,1上间隔地插入n 1 y x2
个点, 将它等分成n个小区间:
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
4、取极
图1.5 5
限 可以看到, n ,即x 0,
Sn
S,即S
lim
n
Sn
S
lim
n
Sn
lim 1 (1 1)(2 1 )
n6
n
n
1 3
思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形 面积的过程有哪几个基本步骤?
分割→近似代替→求和→取极限.
思考7：若按如图所示作小矩形，那么这
能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法,求图
1.5 2 中阴影部分面积呢?
y
如图1.5 3,把区间0,1分成
y x2
许多小区间,进而把曲边梯形
拆分为一些小曲边梯形.对每
一个小曲边梯形" 以直代曲" 即用矩形的面积近似 代 替 小 曲边梯形的面积,得到每个小
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
梯形，他们的面积分别记作：ΔS1,ΔS2,…，ΔSn
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.
(2)近似代替
当n很大，即Δx很小时，在区间［2i 1，2i］
nn
上，
用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部范围
内“以直代取”，则有ΔSi≈ΔS
n
1
)
(
2
在区间［0，2］上等间隔地插入n-1个
点，将区间［0，2］等分成n个小区间：
［0, 2］，［2 , 4］,［, 2n 1 ,2］
n
nn
n
n
则S＝ Si i1
记第i个区间为 ［2i 1，2i］(i 1,2,n)，
nn
其长度为 x 2i 2i 1 2
nnn
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边
y＝x2 1x
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯 形 与" 直 边 图 形" 的 主 要 区
y y x2
别是,前者有一边是曲线段,
而" 直 边 图 形" 的 所 有 边 都 是
S
直线段. 在过去的学习中,我们曾经
o
1x
图1.5 2
用多边形逼近圆的方法,利用多边形面积求出圆
的面积.这种" 以直代曲"的思想启发我们,是否也
地代替小曲边梯形的曲
边图1.5 4.这样,在区
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
y
y x2
间
i
1, n
i n
上,用小矩形
的面积 ΔSi' 近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内 "以直代曲",则有ΔSi
ΔSi'
f
i
1Δx n
o
i1 i nn
1x
图1.5 4
i
12
1
i
1,2,
,n.
n n
些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯
形的面积吗？
y
y＝x2
S
lim
n
Sn
1 3
O
1x
思考8：若分别以区间
0,
1 n
],[n1
,
2 n
],[n2
,
3 n
],
[n n 1,1]
内任意一点对应的函数值为高作矩形，
那么这些小矩形的面积之和的极限等于
曲边梯形的面积吗？
相等
y y＝x2
p42练习
O
1x
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积. 解：(1)分割
i n
1
)2］
2 n
8 n
[i
1 n
(i
1)2 n2
)]
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.
(3)求和
Sn
n i1
n
Si ＝
i1
8 n
[i 1 n
(i
n
1)
2
2
所围成的，称之为曲边梯形，如何计算
这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的
课题.
y y＝f(x)
Oa
bx
探究：曲边梯形面积的算法
思考1：由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形是什么？它与我 们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？
y
直线x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝x2所围成的是 曲边梯形.平面多边形的 每条边都是直线段，上 O 图中有一边是曲线段.
n2 n(n 1)(2n 1)
y y＝x2
Sn
(n 1)n(2n 61) 6n 3
O
1x
(n 1)(2n 1) 1（1- 1 ）(2- 1 )
6n 2
6n
n
S
Sn
1 6
1
1 n
2
1 n
.
思考5：如何利用各小矩形的面积之和求 曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？
y y x2
y y x2
y y x2
Δx很小时,在区间i
1, n
i n
o
i1 i
nn
1x
上,可以认为函数f x x2
图1.5 3
y
的值变化很小,近似等于一
个常数,不妨认为它近似地
y x2
等于左端点i 1处的函数
n
值f i 1.从图形上看,就是
o
i1 i nn
1x
n
图1.5 4
用平行于x轴的直线段近似
y y x2
曲边梯形的面积
问题提出
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积，可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线
x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)
思考3：上述n个矩形，从左到右各矩形 的高分别为多少？宽为多少？
第i个区间为
i
1, n
i n
i
1, 2,, n,
y
y＝x2
区间长度为 x i i 1 1 .
nn n
第i个矩形高为 h i
(i
1)2 n
O
1x
即第i个矩形的高为 hi (i n 1)2 ，
每个矩形的宽为
1 n
.
思考4：计算，这n个小矩形的面积之和
0,
1 n
,
1 n
,
2 n
,
,
n
1 n
,1
,
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
分别过上述n 1个点作x轴的垂线，把曲边梯形分成
n个小曲边梯形
它们的面积分别为 n S1, S2 , S3, Sn
则所求面积为 S= Si i 1
y y x2
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
Sn等于多少？
3、求和
Sn
n
Si'
i 1
n i 1
f
i
1 n
x
y y＝x2
n i 1
i 12 n
1 n
O
1x
0
1 n
1 n
2
1 n
n 12 n
1 n
1 n3
12
22
n
12
思考4：计算，这n个小矩形的面积之和
Sn等于多少？
Sn
1 n3
(02
12
22
32
42
n2)
又12 22