泰勒公式及其应用资料讲解

泰勒公式及其应用
电气工程及其自动化 1304班 王杰
摘要
微分学理论的最一般情形是泰 勒公式，它建立了函数增量、自变 量增量与与一阶及高阶导数的关系， 因而可以用导数及高阶导数来研究 函数。本文论述了泰勒公式的基本 内容，并从几个方面介绍了它在数 学中的一些应用使我们更加清楚地 认识泰勒公式的重要性。
１.泰勒(Taylor)中值定理
如果函数f(x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直 到(n 1)阶的导数, 则当 x在(a,b)内时, f ( x)可以
表示为( x x0 )的一个n次多项式与一个余项 Rn( x)
之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o( x5 ) 2! 4!
e x2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o( x4 ) 2! 4!
原式
7 lim 12
x0
x4
o( x4 ) x4
7. 12
3. 利用泰勒公式证明不等式
关键词
泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用
• 1.带有皮亚诺余项的泰勒公式 • 定理1 若函数f在点 存在直至n阶导数,则 有 , f (x) Tn (x) 0((x x0 )n ) , 即
f
(x)
f
(x0)
f
(x0 1!
)
(
x
x0
)
Байду номын сангаас
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
0((x x0)n)
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式
2. 利用泰勒公式求极限
例2
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn( x)
f (n1)( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1(
在 x0与
x之间).
f
( x)
n
k0
f
(k)( x0 ) ( x k!
x0 )k
Rn ( x)
称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
( 11)x (1nx) (1x2 x)(xn10x)n1 (0 1)
(n 1) ! 2 8
例3. 证明 1 x 1 x x2 (x 0).
28
证:
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
1
1 (1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
(1
x)
1
1x2x(x282!1)116x
3! 2 2
2(1 x)
52(x3
2
1)(0(n11))
n!
xn
Pn ( x)
n
k0
f
(k) ( x0 k!
)
(x
x0
)k
称为 f ( x)在 x=x0 处的 n 次泰勒多项式
Rn(x )
f (n 1)( )(x n 1!
x 0 )n 1
拉格朗日形式的余项
(在x 0与x之间)
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1