数学建模解多元线性回归问题

公司年销售额的分析

摘 要

公司年销售额通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。本文用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对公司年销售额的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。还通过F 检验和T 检验分别验证了回归方程的显著性和方程系数的显著性。最后我们采用了逐个剔除的方法找出了影响年销售额的主要因素，并且建立了新的回归方程，再次进行检验，新回归方程高度显著，最后得到了个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。

第一问：我们首先对附表1的数据进行处理，利用MATLAB 对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。然后建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数i 。我们引入偏回归平方和i Q 的概念来判定各因素对年销售额的影响程度，并对各因素的影响程度由深到浅进行了排序。

第二问：通过对回归平方和回S 和剩余平方和剩S 的分析，并且运用F 检验法

来判定线性回归方程的显著性。由于回归方程显著并不意味着每个自变量1x ，2x ，3x ,…8x 对因变量y 的影响都是重要的。所以我们对方程系数的显著性用T 检验

法进行了检验。最后通过逐个剔除的方法找出了其中的主要因素,主要因素为：

个人可支配的收入、价格、投资、广告费这四个方面。

第三问：通过逐个剔除的方法建立了新的回归方程，并对新的回归方程进行显著性检验，对方程系数进行显著性检验。得到了公司的年销售额与个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。

关键词：多元线性回归 最小二乘法 F 检验 T 检验 偏回归平方和

1 问题重述

在经济流通领域中，某公司的年销售额（y ）与个人可支配的收入（1x ）；商人的回扣（2x ）；价格（3x ）；研究与发展费（4x ）；投资（5x ）；广告费（6x ）；销售费用（7x ）；总的工业广告预算（8x ）等有关。附表1中是某公司的原始数据。建立模型，分析各因素对年销售额的影响程度。并对所做模型进行检验，找出影响销售额的主要因素。最后分析主要因素与销售额的关系，并给出结论。

2 问题分析

对于公司年销售额的分析，我们知道，和y 有关的变量有8个，研究y 与变量1x ，2x ，3x ,…8x 之间的定量关系的问题为多元回归问题。又因为许多多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题，所以对于本问题我们建立了多元线性回归的数学模型。

第一问：

首先对附表1的数据进行处理，对残差向量进行，剔除其中的异常点。然后我们建立了多元线性回归的数学模型，并采用了最小二乘法来估计参数。把模型写成矩阵的形式，化简整理得其正规方程组，通过对正规方程组的求解，最后得到回归方程。

对于各因素对年销售额的影响程度，由于利用偏回归平方和i Q 可以衡量每个变量在回归中所起的作用大小（即影响程度），我们对每个变量i x 的偏回归平方和i Q 进行了计算，最后把影响程度由深到浅的各因素进行了排序。

第二问：

回归方程的显著性检验：事先我们并不能断定随机变量y 与一般变量1x ，2x ，3x ,…8x 之间是否确有线性关系。在求线性回归方程前线性回归模型只是一种假

设，所以在求出线性回归方程之后，我们需要对其进行统计检验。将总的平方和

总S 分解为回归平方和回S 和剩余平方和剩S ，运用F 检验法来判定线性回归方程

的显著性。

回归系数的显著性检验：由于回归方程显著并不意味着每个自变量1x ，2x ，

3x ,…8x 对因变量y 的影响都是重要的。而我们要找出响销售额的主要因素，即

从回归方程中剔除那些次要的、可有可无的变量，这就需要我们对每个变量进行

考察。显然，如果某个变量对y 的作用不显著，那么在多元线性回归模型中，它前面的系数j β就可以取值为零。因此，检验因子i x 是否显著等价于检验假设

00=i H β： 。最后再运用T 检验法来辨别模型中哪些因子是显著的。

第三问：

由于回归系数之间存在相关性，当从原回归方程中剔除一个变量时，其他变量，特别是与它密切相关的一些变量的回归系数就会受到影响，剔除一个变量后，这个变量对y 的影响很大部分转加到另一个变量对y 的影响上。所以，我们对回归系数进行一次检验后，只能剔除所有不显著因子中t 值最小的，然后重新建立新的回归方程，再对新的回归系数逐个进行检验，直到余下的回归系数都显著为止。

3 符号说明

4 模型假设

1.影响销售额的各个因素相互之间关联性不大，即相互独立。

2.异常值认为是人为因素引起的，可将其剔除。

5 模型的建立与求解

第一问：

5.1模型Ⅰ “多元线性回归的数学模型” 5.1.1 模型的建立

1、处理数据

我们先通过MATLAB （程序见附录1）对原始数据进行检验，对残差向量进行分析，得到了残差向量分析图，剔除其中的异常点。 2、设随机变量

假如变量y 与另外8个变量1x ，2x ，3x ,…8x 的在联系是线性的，它的第α次试验数据是

),,...,;(821ααααx x x y α=1,2，…,8 （1）

那么这一组数据可以假设有如下的结构式：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++++=+++++=+++++=,

....................................................................,..., (383888382238110382)

238822221102118812211101εββββεββββεββββx x x y x x x y x x x y （2） 其中0β，1β，…，8β是9个待估计参数，1x ，2x ，3x ,…8x 是8个可以精确测

量的一般变量，

,1ε,2ε…38ε是38个相互独立且服从同一正态分布),0(σN 的随机变量，这就是多元线性回归的数学模型。

令

⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=821y y y Y

， ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=388382

3812822

21

181211111x x x x x x x x x X

， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=810ββββ ， ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=3821εεεε ，

那么多元线性回归的数学模型（2）可以写成矩阵形式

.εβ+=X Y （3）