利用定积分定义求极限(by汤)

1
Ã
ln x dx =
1
n!1 n
n!1 n
n
i =1
0
e
lim pn n n! = lim pn n
lim
pn n! 1 =
n!1 n
n!1
n!1 n
e
所以由夹逼准则知所求极限为 1
e
Example 7: 求极限: lim n n!1
sin n
+
sin
2 n
+
n2 + 1 n2 + 2
! sin + n2 + n
=
maxf∆xi g
=
, n
lim 1 Xn sin i
!
1 2
= 1 lim
Xn
i
sin
!
1 2
n!1 n i =1
n
n!1 n
n
i =1
=
1
Xn lim sin(
i )∆xi
=
1
Z
sin x dx = 2
!0 i =1
0
Example 5:
求极限: lim n!1
1˛ + 3˛ + 2ˇ + 4ˇ +
by 汤
第 5 页, 共 9 页
利用定积分定义求极限
3 高级题
Xn Example 6: 求极限: I = lim
k
n!1 (n + k)(n + k + 1)
k=1
Solution
Xn  I = lim
k
à k
n!1
n+k n+k+1
Âk=1
= lim 1
1
2
+
2
n!1 n + 1 n +!2 n + 2 !n + 3
k k + 1 (k + 1)2 12
i =0
其中:
Â
lim
11 1+ + +
n!1
22 32
à 1
2
+=
n2
6
Example 2:
设
an
=
cos
 npn
cos
2Â npn
Proof: 取对数, 我们有
cos
n npn
,
求
lim
n!1
an
ln an = ln
cos
 npn
cos
2Â npn
故
1 I=
lim
2
Xn
 2k
2 n!1 n
n
k=1
1 Ãp
=
1
lim
Xn (
2 !0 i=1
i )p∆xi
=
1 2
Z2
0
xp
dx
=
2p p+
1
!
Example 4: 求极限: lim 1 Xn sin i
1 2
n!1 n
n
i =1

Solution 法 1. 考虑 f (x) = sin(
x) (x
f
(x)
=
xp
(x
2
[0; 2]).
将
[0; 2]
n
等分,
分点为
2i n
,
(i
=
1; 2;
小区间长度为 ∆xi
=
2 (i
n
=
1; 2;
; n), 取
2i i= n
1 (i = 1; 2;
; n),
; n),
=
maxf∆xi g
=
2 ,
n
by 汤
第 4 页, 共 9 页
利用定积分定义求极限
2 进阶题
利用定积分定义求极限
3 高级题
Solution 当 n
6 x 6 (n + 1) 时
Z +1 x
X 1 Z (i+1)
dx =
x
X 1 Z (i+1)
dx =
i dx
0
x3
i =0
X 1
i
Ä
i
x3 Â
1
i=0Ã i 1
x3
=
2 2 i 2 (i + 1)2
i =0
1
X 1 Ä 1
1
1
1
=
+
=
22
;
= 2˛ ˇ lim n!1
8 <
2"Â
2Ãˇ
 4Ãˇ
 2nÃˇ #9=˛+1
:n
+
n
n
+
+ n
;
= 2˛ ˇ
Z2 x˛ dx
Z0 2 xˇ dx
0
ˇ +1
˛+1 = 2˛
ˇ
( (
˛ ˇ
1 +
1 +
1 1
x ˛+1 ˇˇˇˇ2 )ˇ +1 0
x ˇ +1 ˇˇˇˇ2 )˛+1 0
= 2˛ ˇ (ˇ + 1)˛+1 (˛ + 1)ˇ+1
lim 1 Xn i = 1 n!1 n n
i =1
Z
1
x dx
=
1
0
2
故由夹逼准则知
p
p
lim
12 23
+
+
n!1 n2 + 1 n2 + 2
p
!
n (n + 1) 1
+
=
n2 + n
2
Example 3:
求极限:
I
= lim 1p + 3p + + (2n
n!1
np+1
1)p

Solution
考虑
2 进阶题
X 100
Example 1: 求
n
1 2
的整数部分
n=1
by 汤
第 3 页, 共 9 页
利用定积分定义求极限
2 进阶题
Solution 一方面
X 100 n
1
X 100
2 =1+ n
1
X 100 Z n
2 =1+
n
1 2
dx
n=1
n=2
n=2 n 1
X 100 Z n
Z 100
<1+
1
=
k=1 1 +
k n
2
1 n
因
Z k+1
Zk
n dx
1
1
n dx
k n
< 1 + x2 1 +
k n
2
< n
k 1 1 + x2 n
则
Z1 n
n2 +1 n
dx 1 + x2
<
Sn
<
Zn
0
dx 1 + x2
当
n
!
1
时，该不等式左右两端的极限都趋于
Z +1
0
1
dx + x2
=
2
由夹逼准则可知原极限为 2
+ (2n + 1)˛ ˇ+1 + (2n)ˇ ˛+1
(˛; ˇ ¤
1)
Solution
I = lim n!1
1˛ + 3˛ + 2ˇ + 4ˇ +
+ (2n + 1)˛ ˇ+1 + (2n)ˇ ˛+1
(˛; ˇ ¤
1)
8 <
2"Â
1Ã˛
 3Ã˛
:n
++
n
n
 2n + 1Ã˛#9=ˇ+1
+ n
而
Xn lim
i
= lim n2
lim 1 Xn i = 1
Z
1
x dx
=
1
n!1 n2 + n n!1 n2 + n n!1 n n
i =1
i =1
0
2
lim
Xn
i +1
=
Xn lim
i
+ lim
1
n!1 n2 + 1 n!1 n2 + 1 n!1 n2 + 1
i =1
i =1
= lim n2 n!1 n2 + 1
n dx
n!1 n2 + k2 k=1
n!1 k=1
k
n2 + k2
>
lim
n!1
X n2
k=1
Z k+1
k
n2
n +
dx x2
=
Z n2+1
1
n2
n +
dx x2
=
2
故由夹逼准则知
X n2 lim
n
=
n!1 n2 + k2 2
k=1
法 2. 设
Sn
=
lim
n!1
X n2
n2
n +
k2
k=1
X n2
(b
a))
∆x
1 入门题
Â
Example 1: 求极限 I = lim
1
1
+
+
n!1 n + 1 n + 2
à 1 + 2n
Solution
!
I = lim 1 n!1 n
1
1
1+
1 n
+
1+
2 n
+
1
+
1
+
n n
=
lim 1 Xn 1 n!1 n i=1 1 +
i n
Z1 =
0
1 1+x
dx
= ln 2
+
Ã!
ÂZ
i = exp
1
ln(1
+
à x) dx
=
4
n!1 n
n
i =1
0
e
Â
Example 4: 求极限: I = lim n!1
1
1
1
p12 + n2 + p22 + n2 + p32 + n2 +
à 1 + pn2 + n2
by 汤
第 1 页, 共 9 页
利用定积分定义求极限
1 入门题
Solution
Á 1
n=1 n
1
18:1
X 100 因此 n
1 2
的整数部分为
18.
n=1
p
ห้องสมุดไป่ตู้
p
Example 2: 求极限: lim n!1
12 23
+
+
n2 + 1 n2 + 2
p
!
n (n + 1)
+ n2 + n
Solution 由于
p
i
i (i + 1) i + 1
n2 + n 6 n2 + i 6 n2 + 1
I
Xn = lim
n!1 i =1
1
p i
2
+
n2
=
lim
n!1
1 n
Xn
i =1
1 q
(
i n
)2
+1
=
Z1
0
1 px2 +
dx 1
=
h
ln(x
+
p x2
+
i1
1)
0
=
ln(1
+
p 2)
Â
Example 5: 求极限: lim n!1
1
2
+
+
12 + n2 22 + n2
à n + n2 + n2
= lim Xn k
n
n!1
n+k n+n+1
k=1
= lim 1 Xn 1
n!1
n
k=1
1
+
k n
1 Z1 =
1
dx
2 0 1+x
1 2
= ln 2 1 2
n +
n+n
à n n+n+1
Example 7: 求极限:
lim
1
bn
1
X n 1 i bn
sin
b
2i +1 2n
(b > 1):
n!1
i =0
cos
n npn
Á
Xn = ln
cos
k Á npn
=
Xn
ln
 1
+
cos
k npn
ÁÃ 1
k=1
k=1
从而可得
Xn Â
lim ln
n!1
利用定积分定义求极限
1 入门题
同济 7 的 p226
Zb
Xn
f (x) dx = I = lim f ( i )∆xi ; xi 1 6
a
!0 i=1
6 xi
做题时的公式
Z1
0
f
(x)
=
lim
n!1
1 n
Xn
i =1
f
(
i n
)
Zb
a
f
(x)
dx
=
lim
n!1
ba „ƒn‚…
Xn
i =1
f
(a
+
i n
Solution 法 1. 一方面
X n2 lim
n
X n2 Z k = lim
n dx
n!1 n2 + k2 k=1
n!1 k=1
k 1 n2 + k2
6
X n2 lim
n!1 k=1
Zk
k1
n2
n +
dx x2
=
Z n2
0
n dx = n2 + x2
2
另一方面
X n2 lim
n
X n2 Z k+1 = lim
2 0 1 + x2 1 = 1 ln 2
2
02
Example 6: 求极限: lim pn 1 + 2! + 3! + + n!
n!1
n
Solution 由于
pn n! pn 1 + 2! + 3! +
n6
n
+ n! pn n n! 6n
而
lim
pn n!
=
( exp
lim
1
Xn ln
)
ÂZ
i = exp
 Ã1
Example 2: 求极限: lim n!1
n! nn
n
Solution
 Ã1
ÂÃ
ÂÃ
lim n! n = lim exp 1 ln n! = exp lim 1 ln n!
n!1 nn
n!1
n  nn
n!1 n à nn
=exp lim 1 ln 1 + ln 2 + + ln n
0
by 汤
第 2 页, 共 9 页
利用定积分定义求极限
2 进阶题
lim 1 Xn sin i
1 =
lim
Xn sin i
n!1 n
n
n!1 n
n
i =1
i =1
所以由夹逼准则知所求极限为 2
1Z =
0
sin x dx = 2
Example 8:
求极限:
X n2 lim
n
n!1 n2 + k2
k=1
Solution 由于
1 Xn sin i
n+1
n
i =1
6
Xn
i =1
sin
i n
n
+
i n
6
1 n
Xn sin
i n
i =1
而
lim 1 Xn sin i = lim
n
n!1 n + 1
n n!1 (n + 1)
i =1
lim
Xn sin i
Z 1 =
sin x dx = 2
n!1 n
n
i =1
x
1 2
dx
=
1
+
x
1 2
dx
=
19
n=2 n 1
1
或者 另一方面
X 100 n
1 2
Z <
101
q
1
dx
=
p 2 100:5
p 2
n=1
1
x
1 2
18:636
X 100 n
1
X 100 Z n+1
2=
n
1 2
dx
n=1
n=1 n
X 100 Z n+1
>
x
Z 101
1 2
dx
=
x
1 2
dx
=
2
p 101
Solution
Â
I = lim
1
2
+
+
n!1 12 + n2 22 + n2
à n + n2 + n2
= =
lim
n!1
Z1
Xn
i =1
x
i i 2 + n2
dx =
= lim n!1
Z 1
1
1 Xn
n
i
i =1 n
1 d(1
i n
2+1
+ x2)
Ä0 1 + x2 = 1 ln(1 + x2)
n!1 n
n
n
n
=exp
lim
1 Xn ln i
Z = exp
1
ln x dx
n!1 n
i =1
h
i1
=exp x ln x
n
0
Z1 dx
1 =
0
0
e
Example 3:
求极限:
I
=
lim
1
q n n(n
+
1)(n
+
2)
(2n 1)
n!1 n
Solution
I = exp
lim
1
X n 1
ln
 1
2
[0; 1]).
将 [0; 1]
n
等分,
分点为
i ,
n
(i
=
1; 2;
; n), 小区
间长度为
∆xi
=
1 n
(i
=
1; 2;
; n), 取
i i=
1
2 (i = 1; 2; n
; n),
=
maxf∆xi g
=
1 ,
n
故
lim 1 Xn sin n!1 n
i =1
i
1 2
n
! Xn
= lim sin( i !0 i =1
Z1 )∆xi = sin(
x) dx = 2
0
法 2. 考虑 f (x) = sin x (x 2 [0;
]). 将 [0;
] n 等分, 分点为 i , (i = 1; 2; n
小区间长度为 ∆xi = n (i = 1; 2;
; n), 取
i i=
1 2
n
(i = 1; 2;
; n),
故
; n),
Solution 考虑 sin x 在 [1; b] 上按以下划分
0
1
2
n
1 = bn < bn < bn < < bn = b
所做的积分和, 其中 ∆i
=
i +1
bn
i
bn
为小区间
i
bn
i +1
;b n
的长度, 最大区间长度
=
max
1
f∆i g 6 b(b n
1) ! 0;
06i 6n 1
又
i
=
2i +1
b 2n
为小区间两端点的比例中项, 因此
原式 =
lim
X n 1
sin
‚…„i ƒ
2i +1
b 2n
‚ ∆…x„i
i +1
bn
ƒ
i
bn
n!1
Z b i=0
= sin x dx = cos 1 cos b
1
3 高级题
Z +1 x
Example 1: 求积分:
0
x3 dx
by 汤
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