离散数学 第15章 欧拉图与哈密顿图

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（5） （6） 图2 易知，图 2 中， 、 （1）（4）为欧拉图， ， （2）（5）为半欧拉图， ， （3）（6） 既不是欧拉图，也不是半欧拉图. 在（3）（6）中各至少加几条边才能 ， 成为欧拉图？ N 为何值时，无向完全图是欧拉图？为何值时，为半欧拉 图？什么样的完全二部图是欧拉图？
4．Fleury 算法 Fleury 算法： (1) 任取 v0V(G)，令 P0=v0. (2) 设 Pi = v0e1v1e2…eivi 已经行遍，按下面方法来从 E(G){e1,e2,…,ei}中选取 ei+1： (a) ei+1 与 vi 相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则 ei+1 不应该为 Gi = G{e1,e2,…,ei}中的桥. (3) 当 (2)不能再进行时，算法停止. 可以证明，当算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm（vm=v0）为 G 中一条欧拉回路. 用 Fleury 算法走出图 4 中(1)，(2)从 A 出发（其实从任何一点 出发都可以）的欧拉回路各一条.
G 是非平凡的欧拉图当且仅当 G 是连通的且为若干个边不
重的圈之并. 可用归纳法证定理 15.5.
例 设 G 是欧拉图，但 G 不是平凡图，也不是一个环，则(G)2. 证 只需证明 G 中不可能有桥（如何证明？）
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图4 图 4 中， （1）（2）两图都是欧拉图，均从 A 点出发，如何一次 ， 成功地走出一条欧拉回路来？
几点说明： 定理 15.7 是半哈密顿图的充分条件，但不是必要条件. 长度为 n1（n4）的路径构成的图不满足（）条件， 但它显然是半哈密顿图. 定理 15.7 的推论同样不是哈密顿图的必要条件，G 为 长为 n 的圈，不满足（）条件，但它当然是哈密顿 图. 由定理 15.7 的推论可知，Kn（n3）均为哈密顿图.
图9 注意，此图不满足定理 15.7 推论的条件.
2．满足定理 15.7 推论的条件（）. 完全图 Kn（n3）中任何两个顶点 u,v，均有 d(u)+d(v) = 2(n1) n（n3） ， 所以 Kn 为哈密顿图. 3．破坏定理 15.6 的条件的图不是哈密顿图. 例 在四分之一国际象棋盘（44 方格组成）上跳马无解. 在国际象棋盘上跳马有解.
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2. 无向欧拉图的判别法 定理 15.1 无向图 G 是欧拉图当且仅当 G 连通且无奇度数顶点. 证 若 G 为平凡图无问题. 下设 G 为 n 阶 m 条边的无向图. 必要性 设 C 为 G 中一条欧拉回路. （1）G 连通显然. （2）viV(G)，vi 在 C 上每出现一次获 2 度，所以 vi 为偶 度顶点. 由 vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数 m 做归纳法（第二数学归纳法）. （1）m=1 时，G 为一个环，则 G 为欧拉图. （2）设 mk（k1）时结论为真，m=k+1 时如下证明：
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之并，见示意图 3.
图3
PLAY
3．有向欧拉图的判别法 定理 15.3 有向图 D 是欧拉图当且仅当 D 是强连通的且每个顶点的 入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理 15.1. 定理 15.4 有向图 D 是半欧拉图当且仅当 D 是单向连通的，且 D 中 恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大 1，另一个的出度 比入度大 1，而其余顶点的入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理 15.1. 定理 15.5
eE ( G ')
W (e) 为 G的权，并记作 W(G)，即
W (G ' )
eE ( G ')
w(e)
二、货郎担问题 1． 货郎担问题的数学描述 设 G=<V,E,W>为一个 n 阶完全带权图 Kn，各边的权非负，且 有的边的权可能为. 求 G 中的一条最短的哈密顿回路，这就 是货郎担问题的数学模型. 2． 完全带权图 Kn（n3）中不同的哈密顿回路数 （1）Kn 中有(n1)! 条不同的哈密顿回路（定义意义下） 1 （2）完全带权图中有 (n1)! 条不同的哈密顿回路 2 （3）用穷举法解货郎担问题算法的复杂度为(n1)！ ，当 n 较大 时，计算量惊人地大
几点说明 定理 15.6 中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是 充分条件（彼得松图） 由定理 15.6 立刻可知， r,s 当 sr+1 时不是哈密顿图. K 易知 Kr,r（r2）时都是哈密顿图，Kr,r+1 都是半哈密 顿图. 常利用定理 15.6 判断某些图不是哈密顿图. 例 设 G 为 n 阶无向连通简单图，若 G 中有割点或桥， 则 G 不是哈密顿图. 证 设 v 为割点，则 p(Gv) 2>|{v}|=1. K2 有桥，它显然不是哈密顿图. 除 K2 外，其他有桥 的图（连通的）均有割点. 其实，本例对非简单连通图也对.
3．无向哈密顿图的一个充分条件 定理 15.7 设 G 是 n 阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点 vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n1 () 则 G 中存在哈密顿通路. 证明线索： （1）由()证 G 连通 （2） = v1v2…vl 为 G 中极大路径. 若 l = n, 证毕. （3）否则，证 G 中存在过上所有顶点的圈 C，由（1）知 C 外顶点存在与 C 上某顶点相邻顶点，从而得比更长的路径， 重复（2）--（3） ，最后得 G 中哈密顿通路.
第二节 哈密顿图
历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图.
（1） 图5
（2）
一、哈密顿图与半哈密顿图 1. 定义 定义 15.2 （1）哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路. （2）哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路. （3）哈密顿图——具有哈密顿回路的图. （4）半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 几点说明： 平凡图是哈密顿图. 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 环与平行边不影响哈密顿性. 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上
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（2） 图6
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在图 6 中， （1）（2）是哈密顿图， ， （3）是半哈密顿图， （4）既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
2．无向哈密顿图的一个必要条件 定理 15.6 设无向图 G=<V,E>是哈密顿图，对于任意 V1V 且 V1，均有 p(GV1) |V1| 证 设 C 为 G 中任意一条哈密顿回路， 易知， V1 中顶点在 C 上均不 当 相邻时，p(C-V1)达到最大值|V1|，而当 V1 中顶点在 C 上有彼此相邻的情况时， 均有 p(C-V1)<|V1|，所以有 p(C-V1)≤|V1|.而 C 是 G 的生成子图，所以，有 p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|。
4．n（n2）阶竞赛图中存在哈密顿通路 定理 15.9 若 D 为 n（n2）阶竞赛图，则 D 中具有哈密顿通路 证明思路：注意，竞赛图的基图是无向完全图. 对 n（n2）做 归纳. 只需观察图 8 中两个图.
（1） 图8
（2）
二、判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题. 下面总结判断某图是哈密顿图或不是哈密顿图的一些可行的方法. 1． 观察出哈密顿回路. 例 图 9 中（周游世界问题）是哈密顿图，易知 a b c d e f g h i j k l m n p q r s t a 为图中的一条哈密顿回路.
本定理的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。可以验证 彼得松图（图 14.3 中（1）所示）满足定理中的条件，但它不是哈密顿图。 当然，若一个图不满足定理中的条件，它一定不是哈密顿图。
推论 证 设无向图 G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的 V1V 且 V1均有 p(GV1) |V1|+1 令uv 为 G 中哈密顿通路，令 G = G(u,v)，则 G为哈密顿图. 于是 p(GV1) = p(GV1(u,v)) |V1|+1
• 建立无向图模型:结点为客人;会共同语 言的2结点相邻接.则问题归结为求此图 的一条Hamilton回路.不难验证,此图有 一条Hamilton回路是: (A,B,D,F,G,E,C,A).
A
按此回路安排席位 可满足要求. 思考问题:此图有Euler 回路或路径吗?若有,能 否用来解决此问题?
B
（1） 图 10
（2）
令 V 1 ={a, b, c, d}, 则 p(GV 1 ) = 6 >4，由定理 15.6 可知图中无哈密顿回路. 在国际象棋盘上跳马有解，试试看.
Hamilton图的一个应用(习题8.2#6)
• 7位客人入席,A 只会讲英语,B 会讲英, 汉语,C 会讲英,意大利,俄语,D 会讲日, 汉语,E 会讲德,意大利语,F 会讲法,日, 俄语,G 会讲法,德语.能否安排圆桌席 位使每位客人与其左右邻不用翻译便 可交谈?
英 英
G 法 德
俄 意 D
F
汉
C
日百度文库
E
第三节 最短路问题与货郎担问题
一、带权图 定义 15.3 给定图 G = <V,E>， 为无向图或有向图） （G ， 设 W：ER（R 为实数集） ，对 G 中任意边 e = (vi,vj) （G 为有向图时，e = <vi,vj>） ，设 W(e) = wij，称实数 wij 为边 e 上的权，并将 wij 标注在边 e 上，称 G 为带权图， 此时常将带权图 G 记作 <V,E,W>. 设 GG，称
（a）制造满足归纳假设的若干个小欧拉图. 由连通及无 奇度数顶点可知，(G)2，用扩大路径法可得 G 中 长度3 的圈 C1. 删除 C1 上所有的边（不破坏 G 中 顶点度数的奇偶性）得 G，则 G无奇度顶点，设它 有 s（s1）个连通分支 G1, G2, …, Gs, 它们的边数 均k，因而它们都是小欧拉图. 设 C1, C2, …, Cs是 G1, G2, …, Gs的欧拉回路. （b）将 C1 上被删除的边还原，从 C1 上某一顶点出发走 出 G 的一条欧拉回路 C.
第十五章 欧拉图与哈密顿图
本章的内容 欧拉图 哈密顿图 带权图与货郎担问题 本章的先行知识是第十四章
第一节 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
（1） 图1
（2）
其实，欧拉图是一笔画出的边不重复的回路.
一、 欧拉图的定义与判别法 1. 欧拉图的定义 定义 15.1 （1）欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的 通路. （2）欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的 回路. （3）欧拉图——具有欧拉回路的图. （4）半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路. 环不影响图的欧拉性.
（1）
（2）
图7
（3）由连通性，可得比更长的路径（见图 7 中（2）所示） ，对它 再扩大路径，重复（2） ，最后得哈密顿通路. 推论 设 G 为 n（n3）阶无向简单图，若对于 G 中任意两个不相 邻的顶点 vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n （） 则 G 中存在哈密顿回路，从而 G 为哈密顿图. 证明线索：由定理 15.7 得 = v1v2…vn 为 G 中哈密顿通路. 若 (v1,vn)E(G)，得证. 否则利用（）证明存在过 v1, v2, …, vn 的圈（哈密顿回路）. 定理 15.8 设 u,v 为 n 阶无向简单图 G 中两个不相邻的顶点，且 d(u)+d(v)n，则 G 为哈密顿图当且仅当 G(u,v)为哈密顿图.
证（着重关键步骤） （1）由()及简单图的性质，用反证法证明 G 连通. （2） = v1v2…vl 为极大路径，l n, 若 l = n（结束）. 下面讨论 l<n 的情况，即要证 G 中存在过 上 所有顶点的圈. ① 若(v1,vl)在 G 中，则 (u,v)为 G 中圈
② 否则，设 v1 与上 vi1 v 2 , vi2 ,..., vik 相邻，则 k2（否则由极大路径端 点的性质及()， 会得到 d(v1)+d(vl)1+l2<n1）又 vl 至少与 v i2 , v i3 ,...vik ， 左边相邻顶点之一相邻 （写出理由） 设 vir 1 与 vl 相邻， ， 见图 7 中 （1） ， 于是得 G 中回路 C（ （1）中图去掉边( vir 1 , vir )）