极化恒等式在向量问题中的应用

结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得到什么结论呢？

〜 1 — - 2

- - 2

b = a b

a b

4

目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值

【小结】运用极化恒等式的三角形模式， 关键在于取第三边的中点， 找到三角形的中线， 再写出极化恒等式。

目标检测

（2012北京文13改编）已知正方形ABCD 的边长为1,

点E 是AB 边上的动点，则 DE DA 的值为 ________.

目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

例2.（自编）已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点， 则PA PB 的取值范围是 _________ .

解：取AB 的中点D ，连结CD,因为三角形ABC 为正三角形，所以 O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC 2OD 2，所以CD 3, AB 2.. 3 又由极化恒等式得：

PA PB PD 2丄|AB |2 |PD 2

3

4

因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD|max 3 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，I PD |min 1

极化恒等式在向量问题中的应用

目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义

阅读以下材料： 引例：平行四边形是表 你能用向量方法证明： 等于两条邻边平方和的 证明：不妨设 示向量加法和减法的几 何模型。 平行四边形的对角线的平方和 两倍• AB a,AD b,则 AC 2 1-—* 2 -.2 -J,

-2 |

AC AC a b

| a

DB 2 2 DB a .2 b H

2 2a 2a J

2 .2 —»

AC DB

2 a

（1） （2）两式相加

得:

2 b,DB lb 2 lb b 2

a b , (1) (2) 2 AB

AD

D

图1

极化恒等式

几何意义: 向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的

“和对角线” 1 与“差对角线”平方差的1

•

4

即：a b

汹2

冋|

2

（平行四边形模

思考：在图 1的三角形ABD 中 （M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢?

因为AC

2AM ，所以a b

AM

丄DB （三角形模式）

4

例1. （2012年浙江文15）在 ABC 中，M 是BC 的中点，AM 3, BC 1|| 4

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：

AB AC

AM

10， ujur umr

则 AB AC

BC 2

=9-丄 100 = -16

所以PA PB [ 2,6]

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

目标检测 1、矩形ABCD 中，AB 3,BC 4,点M,N 分别为边 BC,CD

A . 13

B . 15

C . 17

2 2

2、 已知 代B,C 是圆x y 1上互不相同的三个点，且 上的动点，且 uuu uur AB

AC

则 uur

u

uuu uur

MN 2，则AM AN 的最小值是（）

19

uuu uuu AB AC 的最小值是 uuu

3、已知 ABC ,AB 7,AC 8,BC 9, P 为平面ABC 内一点，满足 PA PC 7,则| PB |的取值范围是 ______ .

目标2-3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题 例3. （ 2013浙江理7）在 且对于边AB 上任一点P , A. ABC 90° B. 目标检测 （2008浙江理 '1、

（a c ） （b

ABC 中，F 0是边AB 上一定点，满足 uuu uuu

uur uuur 恒有 PB PC RB PC 。则() BAC 90° C. AB AC D. P °B 1 AB ,

4

AC BC

9）已知a,b 是平面内2个互相垂直的单位向量 c ） 0,则|c 的勺最大值是 （） C. 2 D.—2

2

年江苏］如图，在△ABC 中， iuu nu iun 1，则 BE A.1 B.2 2、［2016 uiu uuu BA CA 4 , BF CF 出是 B C

的中点，E ,F 是AD 上的两个三等分点, CE 的值是 3、［2014年江苏 uuv uuiv uuv CP 3PD,AP ］如图在平行四边形 uuiv uuv uuuv BP 2，贝y AB AD 的值是 ABCD 中，已知 AB 8, AD 5， 课后检测 1.在ABC 中, BAC 60° 若 AB ,则

，若向量c 满足

2, BC . 3 , D 在线段AC 上运动，DB DA 的最小值为 uuu PA uuu uur PB PC 的最小值为（ ) A. 3.在 ABC 中，AB 3, AC 4 , BAC 2.已知AB 是圆 O 的直径，AB 长为

的最大值为 60o

,若 2, C 是圆O 上异于 A, B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点

1 -B. 4

C. 1 -

D. 2 uuu ABC 所在平面内一点，且AP 2，则PB UJ U

PC 4.在 Rt ABC , AC BC 2，已知点P 是 ABC 内一点，贝U PC （PA PB ）的最小值是 5.已知A 、 B 是单位圆上的两点, O 为圆心，且 AOB 120o

,MN 是圆0的一条直径，点C 在圆内，且 满足OC OA (1 )OB(0 1)，贝y CM

CN 的取值范围是（ ） A. 1,1 1,0

6. 正 A. ABC 边长等于 3 2 B .

7.在锐角 3，点 P 在其外接圆上运动,

3丄 2'2 AP PB 的取值范围是 ABC 中，已知B 3 8、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 uuu uuu AB AC C. 1 3 2'2 uur 2，贝U AB D. ujur AC 的取值范围是 2 , MN 是它内切球的一条弦 （把球面上任意2个点之间的线段成为球

uuu unr

的弦）,P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 最长时，PM PN 的最大值为 _______________