水平井产能影响因素分析

2. 水平井产能分析理论基础
2.1 水平井稳定产能分析原理
稳定态分析解是水平井解的最简单的形式。这些方程假定了稳定态，即在油藏中的任 何一点的压力都不随时间变化。事实上，几乎没有油藏是在稳定状态下生产的，大多数油藏 都是随时间推移而发生压力变化的。 尽管如此， 由于稳定态分析解易于分析获得并且通过分 别采用泄油边界随时间增加而扩大以及井眼有效半径和流形系数理论， 可以把稳定态结果转 换为过渡状态和拟稳态，稳定态解还是获得广泛应用。[2]
ΔP =
μ q1 h log K 2π 2πrw
(2-1)
⑵ 油层厚度相当于水平井直径时垂直于水平井轴的平面流动产生的压力损失。此时因 水平段 L≥h，水平井就好像整个油层厚度出油的垂直裂缝。其流线主要部分呈水平，非常类 似于长度和水平段相等的垂直裂缝周围产生的流线，只是在井筒附近流线有些弯曲。据此， 水平井采油指数与泄油半径的关系可表示为：
⎡ 1 1 ⎤ ΔP Qh + Qv = ΔP ⎢ ∗ + ∗ ⎥ = ⎣ Q1 Q2 ⎦ Qh
当L>h,(L/2)<0.9re时，
（2-12）
-3-
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Qh =
2πk o hΔP μBo ⎡ L 2⎤ 2 ⎢a + a − ( ) ⎥ h 2 ⎥ + ln h ln ⎢ L2 ⎢ ⎥ L 2rw ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
2 D n D 1 n 1 n n n
2 D n D 1 n 1 n
， xD ≤ 1
(2-18)
，
D
2-19
(2-19)
n
Ki1 ( z ) = ∫ K 0 (t )dt ， Ii1 ( z) = ∫ I 0 (t )dt ， Ki1 (0) =
z 0
∞
z
π
2
做近一步整理， 并且用积分平均法处理测压点选取问题。 在渐近分析中所涉及的特殊函数表 现为 当 v → 0 时有
1 1 1 K0 2 ∫−1 ∫−1
1 1 1 2 ∫−1 ∫−1
式中
0
1 ⎫ π ⎬ ⎨ − Ki (2ε ) + K (2ε ) − [ ( x − α ) ε ]dαdx == ε1 ⎧ 2ε ⎭ ⎩2 1 I [ ( x − α ) ε ]dαdx = [ Ii (2ε ) − I (2ε )] x ≤ 1 ε
Q2 = 0.5428 K h h × ΔP /( Bo μ o ) ⎡ a + a 2 − (L / 2 )2 ⎤ ⎥ + ( β h / L ) ln[ β h /( 2πrw )] ln ⎢ L/2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
考虑垂向渗透率的影响，S. D. Joshi 公式的修正公式为：
（2-15）
4 0.5 β = K h K v ， a = ( L / 2)[0.25 + 0.25 + (2re / L) ]
Q1 =
2πk o ΔP μBo ⎛ a + a 2 − ( L 2 )2 ln⎜ ⎜ L2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
（2-7）
式（2-7）乘以油层厚度 h，得油层底部到顶部相互叠加的水平井流量， 即： Q1 = Q1 h 按照电模拟概念，水平方向流阻可写成：
∗
(2-8)
⎛ a + a 2 − ( L 2 )2 ⎞ μBo ⎟ Ω h = (ΔP Q ) = ⋅ ln⎜ ⎜ ⎟ L2 2πk o h
-1-
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2.1.1Giger 公式 Giger 公式主要基于 Mepkyлoв 和 Вopисов 水平井稳态流产能公式推导的。假设油层均 质各向同性，液体呈二维流动，此时朝水平井方向流动的压力损失由两部分组成。 ⑴ 垂直于水平井轴上圆形径向流汇聚成形成的压力损失。由此可得出单位长度产能q1 关系式：
设
B = ln
则
a + a2 − L L2
( 2)
2
+
βh ⎡
βh ⎤ ⎢ln ⎥ L ⎣ 2πRw ⎦
Q2 =
542.87 K h hΔp (μ 0 B0 ) B
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[4]
2.2 水平井拟稳态产能分析原理
拟稳态流开始于在泄油区边界处产生因生产井造成的压力干扰时， 简言之， 就是处于泄 油边界的流体开始向生产井移动， 即开始形成拟稳态的时候。 这种拟稳态也称为半稳态或递 减稳态，称为递减状态可能最合理。因为它告诉我们该油藏达到某一压力时，即在这一点， 在油藏各边界的压力和油藏平均压力将随时间递减从油藏采出的液体越来越多。 对于完全封闭油藏，井底压力最后表现为拟稳态。在拟稳态阶段有下式成立：
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水平井产能影响因素分析
董洪奎1，李庚2
1 中国地质大学地球科学与资源学院，北京（100083） 2 中国地质大学能源学院，北京（100083）
E-mail：dhk8588860@126.com
摘要： 本文对水平井的产能公式进行了细致的研究， 尤其对 Giger 公式和 Joshi 公式进行了 重点分析， 并且以 Joshi 公式为例分析了各种因素对水平井产能公式的影响， 归纳总结了水 平井产能与各种影响因素的关系，并进一步对比二维与三维产能公式。结果表明，二维公式 与三维公式存在很大差别， 在较为复杂的油藏条件下， 三维水平井产能公式更能接近油田生 产实际。 关键词：水平井 产能 影响因素 产能对比
(2-17) 其中，无量纲式定义为
PwD = reD =
L k h h( Pi − Pw ) 3.6k h ⋅ t ， tD = ， LD = −3 2 h 1842 . × 10 qμB φμCt ⋅ rw
kv h ， hD = kh rw
kh kv
re r z z ， rwD = w ， z D = ， z w = w ， z rD = z wD + rwD L D ， ε n = s + n 2 π 2 L2 D h L L h 而 K 0 (⋅) 、 K1 (⋅) 、 I 0 (⋅) 、 I 1 (⋅) 为变形Bessel函数。对于式（2-19）注意利用下列关系式
PI H =
2πk
μ
⋅
2 ⎡1 1 + 1 + (L 2re ) ⎛ h ⎞⎤ 1 ⎢ log ⎥ ⎟ + log⎜ ⎟⎥ L 2re L ⎜ 2 π r ⎢h w ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
（2-4）
或：
PI H =
2πkL
μ
⋅
1
2 ⎡L 1 + 1 + (L 2re ) ⎛ h ⎞⎤ ⎢ log ⎥ + log⎜ ⎜ 2πr ⎟ ⎟⎥ L 2re ⎢h w ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
⎛ ΔP ⎞ ⎛ μBo ⎞ ⎛ h ⎞ Ωv = ⎜ ⎜ 2πk L ⎟ ⎟ ln⎜ ⎜ 2r ⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ Q∗ ⎟ o ⎠ ⎝ w⎠ ⎝ 2⎠ ⎝
水平流阻项以予以考虑，但对解的精度影响不大。 将水平流阻和垂向流阻相加，即可计算水平井产能：
(2-11)
这一垂向流阻项表示井筒周围以 h/2 为半径圆形区中垂直面的流阻。实际上这一流阻在
I 1 (v ) =
K1 (v ) =
v v3 v3 + + O(v 5 ) ， Ii1 (v ) = v + + O( v 5 ) 2 16 12
1 v⎛ v 1⎞ + ⎜ Ln + γ − ⎟ + O(v 3 Ln v ) ， γ = 0.57722 v 2⎝ 2 2⎠
(2-20)
⎛ v2 ⎞⎛ v⎞ v2 1 v K0 (u)du = ⎜1 + ⎟ ⎜ 1 − γ − Ln ⎟ + + O( v 4 ) ∫ 0 v 8 ⎠⎝ 2 ⎠ 16 ⎝
∂P dP = = Const . ∂t dt
(2-16)
此时通过地层平均压力可将不定常渗流问题转化为定常渗流问题。 通过求解及分析亦可得到 本问题的解。本文则由不定常渗流解式再经过渐近分析给出如下拟稳态产能分析公式。 控制方程
-4-
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∂P ∂ 2P ∂ 2P ∂ 2P k x 2 + k y 2 + k z 2 =φ μ ct ∂t ∂z ∂y ∂x
-2-
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2.1.2Joshi 公式 Joshi 运用势能理论推导水平井产能公式。 在油层厚度相同情况下，因井的几何形态不同，泄油体积明显不同。从数学上计算这样 一口水平井产能，必须用三维拉普拉斯方程（∆P=0）求解。为了简化，Joshi 将三维流动变 成两个相互联系的二维流动求解。 (1)平面流向水平井的流量为：
（2-5）
或：
Q=
0.5428K h L × ΔP /( Bo μ o ) ⎡1 + 1 − (L / 2r )2 e ( L / h) ln ⎢ L / 2re ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ + ln[h /(2πrw )] ⎥ ⎦
（2-6）
式中： re表示水平井供给半径ft ； rw 为水平井半径，ft ；L为水平井长度，ft ；h为油层厚度， ft ；K为渗透率md；μ是原油粘度，cp。[3]
1. 前言
水平井的显著增产效果以及可以大幅度的提高采收率， 已引起石油界极大关注。 与此同 时， 许多学者运用物理模型和数学模型研究和分析了水平井的生产动态和油藏工程原理， 并 在此基础上提出计算了水平井产量的解析式。 50 年代开始在实验室应用电模型研究水平井生产动态。前苏联学者 B. Л. Mepkyлoв （1958）首次报道了计算水平井产量的解析式。接着，Ю. Π. Бopисов（1964）年发表了“用 水平井和斜井开发油田”的理论专著，比较系统地总结了水平井和斜井发展历程及其生产原 理， 并提出了计算水平井稳态流产量公式， 这些成果为以后进行水平井油藏工程研究奠定了 良好的基础。 进入 80 年代，法国F. M. Giger（1984），L. H. Reiss，A. P. Jourdan等率先运用电模拟 研究了水平井油藏工程原理， 他们在前人研究成果的基础上推导出水平井产量计算公式， 特 别是F. M. Giger首次提出面积采油指数和取代比等新概念，这些概念对于评价现有油田利用 水平井生产效果起到了积极的作用。美国S. D. Joshi（1987）通过电模拟进一步阐明了水平 井生产原理，并对水平井产量计算作了较为详细的推导。但上述这些公式都基于稳态流。 D. K. Babu（1989）等通过物理模型分析，首次提出了在有限油藏中计算拟稳态流的水平井 产量公式，尽管该公式还不是十分完善，但对于工程计算已经非常适用。[1]
∗ 1
(2-9)
⎝
⎠
⑵ 直径 2rw水平井在垂向上有一流阻。据此可得出位于油层中央水平井单位长度流量， 即正交垂直面中井筒径向流量：
ΔP μBo Q2 = ⎛ h ⎞ ln⎜ ⎟ ⎜ 2r ⎟ ⎝ w⎠ 2πk o
水平井长度L流量Q*2=Q2L。于是垂向流阻为：
(2-10)
重力作用忽略不计。注意式（2-10）分母项中没有出现 Giger 式中分母项中的系数 π。
圆形封闭油藏水平井的三维不定常渗流问题有如下Laplace空间解：
⎤ K (r ε ) 1 1⎡ ~ sPwD ( x D , s) = ∫ ⎢ K 0 ( ( x D − α ) 2 ε 0 ) + 1 eD 0 I 0 ( ( x D − α ) 2 ε 0 ) ⎥dα 1 − 2 ⎣ I 1 (reD ε 0 ) ⎦ ∞ ⎡ 1 ⎤ ( ) K r ε + ∑ ⎢∫ K 0 ( ( x D − α ) 2 ε n ) + 1 eD n I 0 ( ( x D − α ) 2 ε n ) ⎥dα cos( β n zrD ) cos( β n z wD ) −1 I 1 (reD ε n ) n =1 ⎣ ⎦
PI H =
2πk
μ
⋅
h 1 + 1 + (L 2re ) log L 2re
2
（2-2）
式（2-2）在L<re时适用。当式（2-2）中L/2re值很小， 1 + (L 2re ) 中 (L 2re ) 项可以忽略
2
不计时，
PI H =
2πk
μ
⋅
h 4r log e L
1
（2-3）
式（2-3）即是经典的压裂直井采油指数方程。综合这两部分压力损失，水平井采油指数为：
（2-13）
或
Q=
0.5428 K h h × ΔP /( Bo μ o ) ⎡ a + a 2 − (L / 2 )2 ⎤ ⎥ + ( h / L ) ln[ h /( 2πrw )] ln ⎢ L/2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
（2-14）
其中
a = ( L / 2)[0.25 + 0.25 + (2re / L) 4 ]0.5