中心极限定理的应用

毕业论文

题目中心极限定理的应用

学生姓名张世军学号**********

所在院(系) 数学与计算机科学学院

专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静

2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用

张世军

（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000）

指导教师：程小静

[摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。

[关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算

Central Limit Theorem of Application

Zhang Shijun

(Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi)

Tutor: Cheng Xiaojing

Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application.

Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation

1引言

概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n 重伯努利试验中，事件A 出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后，棣莫弗对n 重伯努利试验中每次试验事件A 出现的概率为12

的

情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。

2 常见的中心极限定理

2.1 中心极限定理的提法

凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布服从正态分布，在概率论中都称之为中心极限定理，具体一点，中心极限定理回答的是随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布。

直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至多个）随机因素的总和，其中，每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从正态分布，如：在许多情况下，一随机变量X 可以表示为大量独立随机变量之和，

12n X ξξξ=++,

这里，每个i ξ上表示一种随机因素的效应，假如上式包含了决定X 充分多的随机因素的效应（即n 充分大），则

1

n

i

i =ξ

∑的分布就近似X 的分布，中心极限定理就要说明，在什么条件下大量独立随机变

量之和近似地服从正态分布，即在什么条件下，当n →+∞时，独立随机变量的和是服从正态分布的。

2.2常见的中心极限定理

中心极限定理自产生其内容已经非常丰富了，但其中最常见的定理如下 2.2．1棣莫弗-拉普拉斯定理

设n μ是n 重伯努利试验中的事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为()01p p ≤≤,则对任意的0ε>，有 lim 1n n P p n μ→+∞

⎛⎫

-<ε=

⎪⎝⎭

证明 令

1,

i ξ={

则12,,,n ξξξ是n 个相互独立的随机变量，且

(),1i i E p D p p pq ξ=ξ=-= ()1,,i n =

1

n

n i i μ==ξ∑， 于是11n

n i i i i n n

E np p n n n μμ==⎛⎫ξ-ξ ⎪-⎝⎭-==∑∑

由切比雪夫不等式有

12211n i n n i n i i i i D P p P E n n n μ===⎛⎫

ξ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-≥ε=ξ-ξ≥ε≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑∑

又由独立性知道有 11

n n

i i i i D D npq ==⎛⎫ξ=ξ= ⎪⎝⎭∑∑

从而有 ()22210n npq pq

P p n n n n μ⎛⎫-≥ε≤=→→+∞ ⎪εε⎝⎭

这也就证明了该定理.

该定理是最早的中心极限定理大约在1733年，棣莫弗对1

2

p =

证明了上述定理，后来拉普拉斯把它推广到p 是任意一个小于1的正数上去。该定理表明:正态分布是二项分布的极限分布，当n 充

分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。

该定理主要适用二个方面

1近似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率

2已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围(或该范围的最大值). 2.2.2李雅普诺夫中心极限定理

设12,,

ξξ是独立随机变量序列，()2

,1,2,

,k k k k E a D k σξ=ξ==记

221

,n

n

k k B σ==∑

若存在0δ>，使有

221

0,k k n

E a n B +δ

+δξ-→→+∞，

则对任意的x 有

(

)2

2

11lim x

n

k k t k

n n P a X e

dt B -

→+∞

=⎛⎫ξ-≤= ⎪⎝⎭

∑⎰

证明 设k ξ是连续型随机变量，密度函数为()()1,2,,k p x k =则有