论文：容斥原理的应用 (1)

由《集合中元素的个数》到“莎士比亚巧合”
-------容斥原理的应用举例
莎士比亚是英国著名戏剧家，其不仅才华横溢，更有一个有趣的巧合流传甚广。

他生于1564年4月23日，卒于1616年4月23日，生卒日期相同．下面，我们就从这个巧合说起，谈谈组合数学中最重要原理之一的容斥原理．
例1 若按每年365天计算，且一个人生卒日期均是随机的，则他生卒日期相同的概率是多少？显然是
365
1
.试问，两个人都生卒日期相同呢？两个人中至少一个人生卒日期相同的概率呢？如果是N 个人呢？
为解决这个问题，可参考普通高中数学课程标准(实验)中，必修课程(数学1)13页阅读与思考《集合中元素的个数》一节的内容。

对求多个集合的元素总个数，这样解释：
).
()()()(,,B A card B card A card B A card B A -+=有有限集合一般地，对于任意两个(card （A ）表示有限集合A 中元素的个数），这实质就是两个集合的容斥关系的体现.
如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类B 类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数.
).
()()()(B A card B card A card B A card -+=作：
两个集合的容斥关系记
如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么，A 类和B 类和C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数 .
三个集合的容斥关系公式记作：
).
()()
()()()()()(C B A card A C card C B card B A card C card B card A card C B A card +---++=
现详细推理如下 ：
Venn 图分块标记如右图：1245构成A ，2356构成B ，4567构成C 上式简记为： A ∪B ∪C = {[（A+B - A∩B ）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C
（1） 等式左边指的是 右图中的1+2+3+4+5+6+7七部分；
（2）等式右边（ ）指的是右图中的1+2+3+4+5+6六部分； （3）等式右边 [ ] 相当于A ∪B ∪C 多加了4 ； （4）等式右边 { } 相当于A ∪B ∪C 多减了5；
（5）而 A∩B∩C 就是5.则加上A∩B∩C ，刚好是 A ∪B ∪C .
对于n 个集合不难推理类似定理，即19世纪英国数学家西尔维斯特（J.J.Sylverster)首先创立的组合计数的一个重要工具.——容斥原理：
.
A A (.
)
1(---),2,1(1
1
-111
1
表示）元素的个数用集合都是有限集合，则有
容斥原理：设i n
i n n
j i k j
i
n
j i j
i
n
i i i n
i i A A A
A A
A A A n i A =≤<≤≤<≤==++
==∑∑∑
下我们思考例1所提问题，每一个人生卒日期相同的情况都可以看作一个集合，每两个人生卒日期都分别相同的情况可以看作两个集合的交集，其中对于每个集合对应的元素数，在这里就成了概率，那么这N 个集合的概率和就是1
365
1n C ，这N 个集合中每两个集合交集的概率和则为
2
2
365
1n C ，依次类推，在n 个人中，至少一人生卒日期相同的概率公式为：
有了容斥原理，我们还可解决很多类似求集合元素数的问题，不妨看下题：
例2 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人？
解：设参加游泳比赛的学生的人数为集合A ，参加田径比赛的学生的人数为集合B ，参加球类比赛的学生的人数为集合C 根据题意，需求.
-,
A C
B A A
C B -
根据容斥原理C B A A C C B B A C B A +++-++=)()(C B A ）-
C B A =28（参加比赛的人数）
C B A ++=15+8+14=37（参加游泳比赛的人数+参加田径比赛的人数+参加球类比赛的人
数）
B A =3（既参加游泳又参加田径的人数）
C A =9（既参加又参游泳加球类的人数） C B A =0（同时参加三项比赛的人数）
故28=37 - (3 - 9 - C B ) C B =3.
.
93315-=--=-A C B A A
有些题目看似与集合无关，其实也可用容斥原理解答，如下题： 例3 在1—120的整数中，合数与质数各有多少个？
解：，，，，设的倍数的合数必定是，故不超过而一定有一个质因数是一个合数，那么解：如果177120245120403120602120.
7,5,3,212011121120,4321=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==<≤S S S S a p a a
，，，，，3751205731208,5312087212012521202032120434232413121=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯==⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=S S S S S S S S S S S S
.0753212017531201752120273212045321204321432431421321=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯⨯⨯==⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯⨯==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯⨯==⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡⨯⨯==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯⨯=S S S S S S S S S S S S S S S S ，，，， 93.
0-112435881220-172440604321=++++++++++++=）（）（）（有容斥原理得，
S S S S
即在不超过120的正整数中或是2的倍数，或是3的倍数，或是5的倍数，或是7的倍数共有93个，其中含有2,3,5,7本身，故合数的个数为93-4=89个，而质数的个数等于120个数中除去合数与1的个数，即120-（89+1）=30个.
在自主招生考试中，用到容斥原理的问题也屡见不鲜，如2008年复旦大学的自招题： 例4 四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。

他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题。

具体情况如下表所述： 问题
代数学 问题
几何学 问题
三角学 问题
代数学问题
和几何学问题 代数学问题
和三角学问
题
几何学问题和三角学问
题
解决问题的学生数
20
18
18
7
8
9 其中有三位学生一个问题都没有解决。

问三个问题都解决的学生数是___________。

分析：设解决代数学问题人数为集合A 解决几何学问题人数为集合B 解决三角学问题人数为集合C
根据题意，即，要求A ∩B ∩C 根据容斥原理
)
()()()()()()()(C B A Card C B Card C A Card B A Card C Card B Card A Card C B A Card ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃即
）
（）（）（）（）（）（）（）（C Card B Card A Card C B Card C A Card B A Card C B A Card C B A Card ---⋂+⋂+⋂+⋃⋃=⋂⋂A ∪B ∪C 即40-3=37（解决问题的人数）
A+B+C 即20+18+18=56（解决代数学问题人数+解决几何学问题人数+解决三角学问题人数）
A ∩B=7（即解决代数学问题有解决几何学问题）
B ∩
C =8（即解决几何学问题又解决三角学问题） C ∩A=9（即解决三角学问题又解决代数学问题） 所以三个问题都解决的学生人数
）
（）（）（）（）（）（）（）（C Card B Card A Card C B Card C A Card B A Card C B A Card C B A Card ---⋂+⋂+⋂+⋃⋃=⋂⋂=5（人）
综上，我们不难看出，容斥原理在解决集合问题等数学问题中的重要地位，其更加深入的应用还希望同学们在以后的学习中进一步探讨。