第1讲：一元二次方程重难点题型

初三数学1v1讲义
一元二次方程重难点题型
本章进步目标
★★★★★
Level 5
题型一：判别式与韦达定理
【例1】已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2m 2＝0．
（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x ＝1是该方程的根，求代数式4m 2+2m +5的值．
练习：1．关于x 的一元二次方程()2
3220x k x k -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．
2．已知关于x 的一元二次方程()2
4240x m x m +++=-， （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m 的取值范围；
（3）若x 1，x 2为方程的两个根，且n ＝x 12+x 22﹣4，判断动点()P m n ，所形成的数图象是否经过点()5,9A -，并说明理由．
3．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
4．关于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1=0有两个不相等的根a，b，
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出m的值，如果不存在，请说明理由．
题型二：面积问题
【例2】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料．
（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值．
练习：1．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
2．如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，
200cm
可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为2
3．如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？
4．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条
所占面积是图案面积的2
5
，求横、竖彩条的宽度．
5．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个底面为正方形的长方体盒子(即折叠成长方体盒子后,,,
A B C D正好重合于上底面一点，且
AE BF
)，若所得到的长方体盒子的表面积为2
11cm．求线段AE的长．
6．学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为xm的小道（图中阴影部分）.
（1）如图1，在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道，则剩余部分面积为 m2（用含x的代数式表示）；
（2）如图2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行. 若使剩余部分面积为570m2，试求小道的水平宽度x.
题型三：动点问题
【例3】．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s 的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
练习1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?
(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．
(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？
(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？
(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？
3．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm 若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
4．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2
5．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm. 两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中
点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动.
（1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米2？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？（2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2？试说明理由.
参考答案
1．解：（1）b 2﹣4ac ＝（m ）2﹣4×1×（2m 2）＝9m 2≥0，
∴b 2﹣4ac ≥0；
∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根
（2）因为x ＝1是x 2﹣mx ﹣2m 2＝0的根
所以1﹣m ﹣2m 2＝0，
即2m 2+m ＝1，
所以4m 2+2m +5＝2（2m 2+m ）+5＝2×
1+5＝7；
2．解：（1）证明：∵在方程()2
3220x k x k -+++=中， ()()()2
22-k+341222110k k k k ⎡⎤∆=-⨯⨯+=-+=-≥⎣⎦， ∴方程总有两个实数根；
（2）∵()2
322(2)(1)0-+++=---=x k x k x x k ， 122,1x x k ∴==+，
∵方程有一根小于1，
∴1＜1k +，
解得：k 0＜；
∴k 的取值范围为k 0＜．
3．（1）证明：∵b 2﹣4ac ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m 2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a ＝1，b ＝﹣（m+4），c ＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x ＝(4)2
m +±＝42m m +± ∴x 1＝m+2，x 2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）∵x 1+x 2＝m+4，x 1x 2＝2m+4
∴n ＝x 12+x 22﹣4
＝()212x x +﹣2x 1x 2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m 2+4m+4
∴动点P （m ，n ）可表示为（m ，m 2+4m+4）
∴当m ＝﹣5时，m 2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P （m ，n ）所形成的数图象经过点A （﹣5，9）．
4．（1）证明：∵m≠0，
△=（m+2）2﹣4m×2
=m 2﹣4m+4
=（m ﹣2）2，
而（m ﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x ﹣1）（mx ﹣2）=0，
x ﹣1=0或mx ﹣2=0，
∴x 1=1，x 2=，
当m 为正整数1或2时，x 2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m 的值为1或2．
5．解：（1）因为方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴m 2≠0且满足△=（2m ﹣1）2﹣4m 2＞0，
∴m ＜14
且m ≠0； （2）不存在这样的m ．
∵方程的两个实数根x 1，x 2互为相反数，
则x 1+x 2=﹣
221m m =0， 解得m=12
， 经检验m=12
是方程的根． ∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，
m 的取值范围是m ＜
14且m ≠0， 而m=12＞14
（不符合题意）． 所以不存在这样的m 值，使方程的两个实数根互为相反数
6．（1）设AB 为xm ，则BC 为（50-2x ）m ，
x （50-2x ）=300，
解得，x 1=10，x 2=15，
当x 1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去），
当x 2=15时50-2x=20＜25（符合题意），
答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米；
（2）设AB 为xm ，矩形花园的面积为ym 2，
则y=x （50-2x ）=-2（x-
252）2+6252， ∴x=252
时，此时y 取得最大值，50-2x=25符合题意，此时y=6252， 即当砌墙BC 长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为6252
．
7．解法一：设矩形温室的宽为xm ，则长为2xm ．根据题意，得
（x ﹣2）•（2x ﹣4）=288．
解这个方程，得x 1=﹣10（不合题意，舍去），x 2=14．
所以x=14，2x=2×
14=28． 答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2．
解法二：设矩形温室的长为xm ，则宽为12
xm ．根据题意，得
（12
x ﹣2）•（x ﹣4）=288． 解这个方程，得x 1=﹣20（不合题意，舍去），x 2=28． 所以x=28，
12x=12×28=14． 答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2．
8．设剪去正方形的边长为xcm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)x cm -，宽为(202)x cm -，高为xcm ， 依题意，得： 2[(302)(202)]200x x x ⨯-+-=，
整理，得： 2225500x x -+=，
解得： 152
x =，210x =， 当10x =时，2020x -=，不合题意，舍去， ∴52
x =， 答：当剪去正方形的边长为52
cm 时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ． 9．解：设道路的宽应为x m ，则(64－2x)(40－x)＝2418，
整理，得x 2－72x ＋71＝0，
解得x 1＝1，x 2＝71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为1 m.
10．设竖彩条的宽度为xcm ，则横彩条的宽度为
3cm 2x , 根据题意，得：23322021223542012225
x x x x x x ⨯+⨯⋅-⨯⋅=-+=⨯⨯， 整理，得：218320x x -+=，
解得：12216x x ==，（舍去）， ∴332
x =， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．
11．解：设AE 的长为xcm ，根据题意，得
()262166241122
x x ---⨯⨯⨯= 解得12111,22
x x ==（不合题意，舍去） 答：线段AE 的长为
12cm ．
12．（1）由题意可得，剩余部分面积为：20（32-x ）m 2；
（2）依题意，得640-40x -32x +2x 2=570
解得x 1=1，x 2=35（不合舍去）
答：小道宽为1米．
13．（1）设P 、Q 两点从出发开始到x 秒时四边形PBCQ 的面积为33cm 2，
则PB=（16﹣3x ）cm ，QC=2xcm ， 根据梯形的面积公式得
12
（16﹣3x +2x ）×6=33， 解之得x=5，
（2）设P ，Q 两点从出发经过t 秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ，
作QE ⊥AB ，垂足为E ，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t ，CQ=BE=2t ，
∴PE=AB ﹣AP ﹣BE=|16﹣5t |，
由勾股定理，得（16﹣5t ）2+62=102，
解得t 1=4.8，t 2=1.6．
答：（1）P 、Q 两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ 的面积为33cm 2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ．
14．
(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴1
2
(6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝42cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝2
5
，x2＝2，
故经过2
5
秒或2秒后，线段PQ的长为42cm；
(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，
S△PBQ＝1
2
×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ的面积不会等于10 cm2. 15．（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt △PEQ 中，根据勾股定理，得
PE 2+EQ 2=PQ 2，即36+36=PQ 2，
∴cm ；
∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是cm ；
（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．
（16-2x-3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x 1=85，x 2=245；
∴经过8
5s 或24
5sP 、Q 两点之间的距离是10cm ；
（3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．
①当0≤y≤16
3时，则PB=16-3y ， ∴1
2PB•BC=12，即1
2×（16-3y ）×6=12，
解得y=4；
②当16
3＜x≤22
3时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则
1
2BP•CQ=1
2（3y-16）×2y=12，
解得y 1=6，y 2=-23（舍去）； ③22
3＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y ，则
1
2QP•CB=1
2（22-y ）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．
16．解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，
∴8AB =．
∴BQ x =，82PB x =-；
假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622
x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，
∵1632160=-=-<，
∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．
17．解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x ，BQ=2x ，则BP=6﹣x ，
∴ 12(6﹣x)•2x=12×12
×6×8， ∴x 2﹣6x+12=0．
∵b 2﹣4ac ＜0，
此方程无解，
∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；
（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1．分三种情况讨论：
①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时，此时0＜t≤4．
由题意知：
12
(6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t 2﹣10t+23=0，解得：t 1t 2=5； ②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知：12(6﹣t)(2t ﹣8)=1，整理得：t 2﹣10t+25=0，解得：t 1=t 2=5．
③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时，此时t ＞6，由题意知： 12
(t ﹣6)(2t ﹣8)=1，整理得：
t 2﹣10t+25=0，解得：t 1t 2（不合题意，应舍去）．
综上所述：经过5秒或PBQ 的面积为1cm 2.
故答案为：（1）不能；（2）5秒、5秒或.
18．（1）（i ）设经过x 秒后，△PCQ 的面积等于4厘米2，此时，PC=5-x ，CQ=2x. 由题意，得 ()15242
x x -⋅=，整理，得x 2-5x+4=0. 解得x 1=1，x 2=4. 当x=4时，2x=8＞7，此时点Q 越过A 点，不合题意，舍去. 即经过1秒后，△PCQ 的面积等于4厘米2.
（ii ）设经过t 秒后PQ 的长度等于5厘米. 由勾股定理，得(5-t)2+(2t)2=52 . 整理，得t 2-2t=0. 解得t 1=2，t 2=0(不合题意，舍去).
答：经过2秒后PQ 的长度等于5厘米.
（2）设经过m 秒后，四边形ABPQ 的面积等于11厘米2.由题意，得
()1152571122
m m -⋅=⨯⨯-.整理，得m 2-5m+6.5=0. ∵△=(-5)2-4×
6.5=-1＜0， ∴方程没有实数根. 即四边形ABPQ 的面积不可能等于11厘米2.。