统计基础课件——抽样误差
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体N 个单位中抽取一个容量为n 的样本，每次抽取一个
单位记录后被抽中的单位不再放回总体中，而是从余下 的总体单位中进行抽取。因此，每次抽取后总体单位数 就会减少一个。
1.抽样平均误差
不重复抽样误差计算公式为：
X 2 N n
n N 1
当总体单位数N 很大时，N-1接近于N ，可用N 代
表4-3 成数抽样误差计算表
使用寿命 元件质量 抽检数 比重（成数）
（小时）
（个） （ % ）
900以下 不合格 1
900～950 不合格 2
950～1000 不合格 6
1000～1050 合格
35
1050～1100 合格
1. 抽样平均误差
（1）样本平均数的抽样平均误差
统计学将样本均值与总体均值之间的平均离差的
1/n称为抽样平均误差，简称抽样误差，以μ表示。换
言之，抽样误差等于总体方差除以样本单位数之商的平 方根，即：
X 2
X
n
n
上式中σ是未知的，可用样本标准差S 代替，即：
S Sx2 x nn
例1，某地区种植20000平方米小麦，随机抽取1000平方米进
2.样本成数抽样误差的计算
上述样本平均数的抽样误差原理也适用于成数抽样误差计算。 因此， p。其P计算公式为：
p
P1 P N n
n N 1
P1 P 1 n
n N
例4，仍以例2资料，按不重复抽样方法计算成数抽样误差：
p
p1 p 1 n
n N
0.1 1 0.1 1 100 0.028
900以下
1
875
900～950
2
925
950～1000
6
975
1000～1050
35
1025
1050～1100
43
1075
1100～1150
9
1125
1150～1200
3
1175
1200以上
1
1225
合计
100
—
1.样本平均数 x = 105550/100 = 1055.5(小时)
x·f 875 1850 5850 35875 46225 10125 3525 1225 105550
替。则上列公式可简化为：
x
X 2 N n
n N 1
Sx2 1 n n N
例3，现仍以例1资料为例按不重复抽样方法计算抽样误差。
已知： N = 20000 , n = 1000 , Sx = 0.1千克
求：μx = ?
解：
x
0.12 1 1000 0.00308千克
1000 20000
行实割实测，计算结果： x = 6千克，Sx = 0.1千克，试计算重复
抽样误差。
已知：n = 1000 ，Sx = 0.1；求：μx =?
解：μx =
= S 2 x n
= x2 0.12 = 0.01 =0.00316（千克）
n
1000 1000
（2）样本成数的抽样误差
样本成数抽样误差μp等于总体成数除以样本单位数的平方根。 即：
第二节 抽样误差
一、随机事件与概率 （一）随机事件 在相同条件下，每次试验可能出现也可能不出现的状态称为
随机事件。 例如，掷一对骰子，两颗骰子落下时总共有多少种状态呢？ 白色骰子能够以6种状态中任何一种状态落下：
譬如当白色骰子显示 时，黑色骰子仍有6种状态落下：
这里，骰子落下所呈现的每种状态称为随机事件。
100
重复抽样： x
Sx n
51.91 5.191(小时) 100
不重复抽样：x
Sx 1 n n N
51.912 1 100 5.165(小时) 100 10000
2.质量标准规定使用寿命不足1000小时为不合格品，试分别 计算不同抽样方法条件下该厂元件成数（合格率）与抽样误差。 如表4-3所示。
二、抽取样本单位的方法和抽样误差
根据每次从总体中抽取一个样本单位进行 调查登记后，是否再把这个样本单位放回原总体 中去，抽取样本单位方式有重复抽样和不重复抽 样两种方法。
（一）重复抽样
重复抽样也称回置抽样，它是从总体N 个 单位中随机抽取一个容量为n 的样本，每次抽取
并记录事件后把被抽中的单位放回总体中重新参 加下次抽取。这样，总体单位数不变，已经被抽 中的样本单位仍然有同等机会再被抽中。
100
1000
wk.baidu.com
计算表明，不重复抽样比重复抽样误差小，因为n/N 是个小 正数，1-n/N 的值小于1。
由于总体方差σ2未知，实际操作时可用样本方差S2代替。
（三）综合练习
例如，某电子元件厂对10000个元件使用寿命抽取1%进行检 验，结果如表4-1所示。
表4-1 1%样品测试数据
使用寿命（小时） 抽检数f 组中值x
（二）概率
一个随机试验有许多可能的事件，我们不 仅想知道它们有哪些可能的事件，而且还想知道 某些事件出现的可能性的大小，并希望将这一可 能性用数值描述出来。为了定量地描述随机事件， 人们引入了一个描述随机事件发生可能性大小的 统计数据——随机事件的概率。某一随机事件发 生的次数占所有随机事件发生次数的比率就是该 事件的概率。许多数学家、统计学家对概率及其 计算作出了巨大的贡献，提出了概率论的公理化 体系。概率论，就是研究随机事件规律性的科学。
将表4-1整理为表4-2。
表4-2 1% 样品标准差计算表
x
x- x (x- x )2 f
(x- x )2f
875 -180.5 32580.25 1 32580.25
925 -130.5 17030.25 2 34060.5
975 -80.5 6480.25 6 38881.5
1025 -30.5 930.25 35 32558.75
1075 19.5 380.25 43 16350.75
1125 69.5 4820.25 9 43472.25
1175 199.5 14280.25 3 42840.75
1225 169.5 28730.25 1 28730.25
合计 —
—
100 269475
Sx
xx 2 f f
269475 51.91小时
μp=
= p2 n
P 1 P =
n
SP2 n
例2，从1000件产品中随机抽取100件进行质量检验，发现10
件废品，求1000件中的废品率。
p = n1/n = 10/100 = 0.1（即10%）
μp=
0.11 0.1 =0.03,（即3%）
100
（二）不重复抽样
不重复抽样也称不回置抽样，它是按随机原则从总
单位记录后被抽中的单位不再放回总体中，而是从余下 的总体单位中进行抽取。因此，每次抽取后总体单位数 就会减少一个。
1.抽样平均误差
不重复抽样误差计算公式为：
X 2 N n
n N 1
当总体单位数N 很大时，N-1接近于N ，可用N 代
表4-3 成数抽样误差计算表
使用寿命 元件质量 抽检数 比重（成数）
（小时）
（个） （ % ）
900以下 不合格 1
900～950 不合格 2
950～1000 不合格 6
1000～1050 合格
35
1050～1100 合格
1. 抽样平均误差
（1）样本平均数的抽样平均误差
统计学将样本均值与总体均值之间的平均离差的
1/n称为抽样平均误差，简称抽样误差，以μ表示。换
言之，抽样误差等于总体方差除以样本单位数之商的平 方根，即：
X 2
X
n
n
上式中σ是未知的，可用样本标准差S 代替，即：
S Sx2 x nn
例1，某地区种植20000平方米小麦，随机抽取1000平方米进
2.样本成数抽样误差的计算
上述样本平均数的抽样误差原理也适用于成数抽样误差计算。 因此， p。其P计算公式为：
p
P1 P N n
n N 1
P1 P 1 n
n N
例4，仍以例2资料，按不重复抽样方法计算成数抽样误差：
p
p1 p 1 n
n N
0.1 1 0.1 1 100 0.028
900以下
1
875
900～950
2
925
950～1000
6
975
1000～1050
35
1025
1050～1100
43
1075
1100～1150
9
1125
1150～1200
3
1175
1200以上
1
1225
合计
100
—
1.样本平均数 x = 105550/100 = 1055.5(小时)
x·f 875 1850 5850 35875 46225 10125 3525 1225 105550
替。则上列公式可简化为：
x
X 2 N n
n N 1
Sx2 1 n n N
例3，现仍以例1资料为例按不重复抽样方法计算抽样误差。
已知： N = 20000 , n = 1000 , Sx = 0.1千克
求：μx = ?
解：
x
0.12 1 1000 0.00308千克
1000 20000
行实割实测，计算结果： x = 6千克，Sx = 0.1千克，试计算重复
抽样误差。
已知：n = 1000 ，Sx = 0.1；求：μx =?
解：μx =
= S 2 x n
= x2 0.12 = 0.01 =0.00316（千克）
n
1000 1000
（2）样本成数的抽样误差
样本成数抽样误差μp等于总体成数除以样本单位数的平方根。 即：
第二节 抽样误差
一、随机事件与概率 （一）随机事件 在相同条件下，每次试验可能出现也可能不出现的状态称为
随机事件。 例如，掷一对骰子，两颗骰子落下时总共有多少种状态呢？ 白色骰子能够以6种状态中任何一种状态落下：
譬如当白色骰子显示 时，黑色骰子仍有6种状态落下：
这里，骰子落下所呈现的每种状态称为随机事件。
100
重复抽样： x
Sx n
51.91 5.191(小时) 100
不重复抽样：x
Sx 1 n n N
51.912 1 100 5.165(小时) 100 10000
2.质量标准规定使用寿命不足1000小时为不合格品，试分别 计算不同抽样方法条件下该厂元件成数（合格率）与抽样误差。 如表4-3所示。
二、抽取样本单位的方法和抽样误差
根据每次从总体中抽取一个样本单位进行 调查登记后，是否再把这个样本单位放回原总体 中去，抽取样本单位方式有重复抽样和不重复抽 样两种方法。
（一）重复抽样
重复抽样也称回置抽样，它是从总体N 个 单位中随机抽取一个容量为n 的样本，每次抽取
并记录事件后把被抽中的单位放回总体中重新参 加下次抽取。这样，总体单位数不变，已经被抽 中的样本单位仍然有同等机会再被抽中。
100
1000
wk.baidu.com
计算表明，不重复抽样比重复抽样误差小，因为n/N 是个小 正数，1-n/N 的值小于1。
由于总体方差σ2未知，实际操作时可用样本方差S2代替。
（三）综合练习
例如，某电子元件厂对10000个元件使用寿命抽取1%进行检 验，结果如表4-1所示。
表4-1 1%样品测试数据
使用寿命（小时） 抽检数f 组中值x
（二）概率
一个随机试验有许多可能的事件，我们不 仅想知道它们有哪些可能的事件，而且还想知道 某些事件出现的可能性的大小，并希望将这一可 能性用数值描述出来。为了定量地描述随机事件， 人们引入了一个描述随机事件发生可能性大小的 统计数据——随机事件的概率。某一随机事件发 生的次数占所有随机事件发生次数的比率就是该 事件的概率。许多数学家、统计学家对概率及其 计算作出了巨大的贡献，提出了概率论的公理化 体系。概率论，就是研究随机事件规律性的科学。
将表4-1整理为表4-2。
表4-2 1% 样品标准差计算表
x
x- x (x- x )2 f
(x- x )2f
875 -180.5 32580.25 1 32580.25
925 -130.5 17030.25 2 34060.5
975 -80.5 6480.25 6 38881.5
1025 -30.5 930.25 35 32558.75
1075 19.5 380.25 43 16350.75
1125 69.5 4820.25 9 43472.25
1175 199.5 14280.25 3 42840.75
1225 169.5 28730.25 1 28730.25
合计 —
—
100 269475
Sx
xx 2 f f
269475 51.91小时
μp=
= p2 n
P 1 P =
n
SP2 n
例2，从1000件产品中随机抽取100件进行质量检验，发现10
件废品，求1000件中的废品率。
p = n1/n = 10/100 = 0.1（即10%）
μp=
0.11 0.1 =0.03,（即3%）
100
（二）不重复抽样
不重复抽样也称不回置抽样，它是按随机原则从总