历届全国周培源力学竞赛试题及答案 材料力学 理论力学
周培源力学 竞赛资料
全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）Ⅰ.理论力学(一)静力学(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。
(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力偶矩及其投影。
(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。
掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。
能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。
掌握重心的概念及其位置计算的方法。
(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。
能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。
(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。
能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。
(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。
会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。
(二)运动学(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。
(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。
能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。
(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。
能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(三)动力学(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。
了解两类动力学基本问题的求解方法。
(2)掌握刚体转动惯量的计算。
了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。
(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。
(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。
(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。
了解其两类动力学基本问题的求解方法。
(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。
第6届周培源全国大学生力学竞赛(样题)
第6届周培源全国大学生力学竞赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。
为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有 6 条等长的桌腿（图 2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。
第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案
8
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
设飞轮转动惯量为 J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂
时设 B 处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 A 点取矩，有
M s = Joε
(M1
+
M
2
)g
⋅
1 2
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G 点）。
7
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（f）一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与 实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
5
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
y
4
5
6
o
x
1
2
3
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
y
4 H
C5 六
o
E 四
6 三G
五D 四
B Fx
A(x,y)
1
2I
时，如果要求
P
点的速度和加速度，你如何考虑？取 a
= 1m
，l
=
4m ，β
=
1 6
π
，ω
= 1rad/s ，
速度和加速度是多少？
周培源力学竞赛试题(第六届—第十届)
A Pi
O
θ
B H E C D
S
二、骄傲自满的大力士（35 分）
有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱 OA 垂直固定于水平地面上，沿 x 轴方 向，高为 H = 2.4m ，横梁 AB 平行于地面，沿 z 轴负方向，长为 L = H 。立柱和 横梁均为实心圆柱，直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫 比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁 B 端中点的绳索，只能用 静力拉球门；绳索上有且只有 B 点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计， 长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力 σ s = 57MPa 。 大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是
r )的无弹性台阶后， 能不 2
3.演员又用细铁棍推动题 2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环
保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 ft ， 圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用 力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。
三、趣味单杠 (30 分 )
一半球形高脚玻璃杯， 半径 r =5cm， 其质量 m1=0.3 kg， 杯底座半径 R =5 cm， 厚度不计，杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量 m2 = 0.1 kg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 （1）高脚玻璃杯会不会 面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中： 滑动； （2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起） 。
EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r ，重量均为 P = ql 。
第十一届全国周培源大学生力学竞赛答案
5
其中，aOn 0
h 2
02
,
aO 0
h 2
0
（1 分）
由式(6)解出
0
3
5g , 5h
aO 0
3
5 g 10
,
FB0
5mg , 10
FBn0
1 2
mh02
再由式(5)，得到
vb
34 3
5 gh （1 分） 10
此后，板作减速转动， 0,
aOn
h 2
02
,
FBn FBn0 。
可见，板在停止转动之前，其 B 端能保持静止不动。（1 分）
(6)
质心 C 的水平速度为
（1 分）
vCx vO r cos r0 cos0
(7) （1 分）
C
R r
vO
O vO r
-3-
依动能定理，有
1 2
JC
2
1 2
2m
(vCx0
)2
(r
sin
)2
2mgr(1
cos)
其中， JC JO 2mr2
由式(8)解出
(8) （2 分）
4mgr
(1
cos
)
2mr
2 2 0
JO 2mr2 cos2
cos2
0
=
2 3
9mgr(1
cos
)
2mr
2 2 0
JO 2mr2 cos2
(当>0 )
(9)
（1 分）
问题（3）——
当 0时 S 0 （1 分）
当 0时，圆盘向右发生水平移动和转动。注意到
vO
dS dt
dS d
第十三届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案及详细解答
第十三届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题参考答案及详细解答出题学校：南京航空航天大学（本试卷分为基础题和提高题两部分，满分120分，时间3小时30分）评分总体原则采用扣分制或加分制。
采用扣分制时，建议最终所扣分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。
采用加分制时，建议最终所给分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。
如果学生的解题方法和参考答案不同，则按以下几种情况分别处理：（1）如果学生给出的最终结果和参考答案相同，建议采用扣分制：侧重检查学生的解题过程有无不严谨的地方或小的概念错误（未影响结果），如果有的话，建议每一处错误可酌情扣1~2分。
（2）如果学生给出的最终结果和参考答案不同：（A）如果学生解答的总体思路合理、清晰，建议采用扣分制：在检查学生的解题过程时侧重区分某错误是概念错误还是计算错误。
建议对于每一处概念错误扣5分或以上，对每一处计算错误酌情扣1~2分。
对于由一处计算错误所引起的后续计算结果错误，只按一次错误扣分，计算错误不累计扣分。
（B）如果学生解答的总体思路不清晰，建议采用加分制：在检查学生的解题过程时侧重寻找其局部正确、合理的部分，酌情给分。
一、参考答案第一部分基础题部分参考答案（共60分）第1题(18分)1）CDE ωω=-，11C DE ωω=（5分）2）2=41)2F ka a+（5分）3）223[+4(28ABC M ka maα=-（8分）第2题(12分)1）1058B B ωω=（3分）2）1min A ω（4分）3）25sin 39[1cos30)]0θθ---≥（（5分）第3题(15分)1）AC BC 7.338kNF F ==（拉）CD CE 10.377kNF F ==（拉）（7分）2）AC BC =33.125kN F F =（拉）CD CE 43.155kN F F ==（压）（8分）第4题(15分)1）31232(1)cos e E D M πβμβ=∆+（5分）2）222(1)sin 2E D F πβμβ=∆+（5分）3）22.5β=︒（5分）第二部分提高题部分参考答案（共60分）第5题(15分)1）当θ=0°或θ=180°时，解不唯一。
第五届全国周培源大学生力学竞赛试题解答
ａａ ｓ ａｌ 石ｌ ｌ２ ｌ ｉ功 ＝０ ｉ ｎ ｓ ｎ
其中
ｉｆ 尸 １ ／尸 ＼ ２ ｋ １
口ｌ
－－
｝
ｎ
ｓ 功石ｌ ｓ ａｌ ｉ ｎ ｌ ｉ ｎ
ｃｓ ｌ ｏ ａ ｌ
ｃｓ ｏ沪石ｌ
。＝２Ｅ ＋ ＼ ４Ｉ ‘ ［ Ｖ Ｉ Ｉ Ｅ）一 Ｅ］
给定 ０ 即可求出ｖ 即问题有多解．当给定 ｖ０时，可用速 ， ， ，
度合成定理求相对速度 ｖ 及方向 ａ ｏ ．
ｖ ｗｒ ＝ ｌ，
ｗ ＝亏ｏ １ ｗ
１
。＝ ２ ， ｗ ｃ ０ ｔ ａ 若 ｖ ｒ ２ ｖ ， ａ ｖ＋ ２２ ｒ ｏ ｗ一 、 ｓ ｎ
‘ｕ １－ ｏｋ ２ 一 ．１ １ ｗ ／ ｖ１
Ｍ（） ｐ
答３ ．
－Ｒ ｎ ｓ ｃ ｉｐ
（） １ 一般公式
浦 。｛ 、
△ ７ｄ 一ｇＯ ｆ（ ｘ ）
Ｍ）一）＋ （１ ｄ 击 ｘ “ｘ （ Ｔ
．／ 儿
劣
Ｍ（） 二ｄ ｘＭ（）ｘ
（ 求解静不定 （ ２ ） 图司
Ｔｌ
＿ 、。 １ 一 １ ） ｘ＋ 确二 ２ｄ 二 Ｆ． ，户
（ ＋ ） ４丰 ２ ３ ａ （） 梅 ｇ 答１（ Ｗ ． Ａ １ ） ２ ＥＩ ４
ＦＡ Ｂ ，
（一２ （ ２ ＝ ） ） ａ ） ３， Ｗｇ Ａ Ｅ Ｉ ４
答２ ．
１求二Ｂ ） （ ）
＋ － ０得 由ｂｅ ＝ｂ Ｊ ８ ． （） １ ２ １
二Ｂ ＝ （ ）
Ｔ Ｍ
。ＪＪ ｏ
伪ｃ 了 ｌ ｏ功 ￡ 石 ｏ ｓ ｓ ａｘ 仇ｃ ＋
（） ｂ
１ Ｊ Ｆｉ ｏ
２ 。ｐ ｑｓ， ｆ一 ３ Ｒｉ＋ ＇ ｃ ｃ ３ ［Ｒｓ ＋ ｎ ｉ ｎ ｅ Ｗ
周培源力学竞赛试题与解答
� �DC 和 DB 界边含包不但�CB 含包�DCB 形角三为区力受腿五得即�CB 上加�式等不个两这
得
据根�足满然自均
据根�足满然自均得求�)5(程方去舍� 0=1N 令�力受不 1 腿设�力受腿五�b� 。形情种几他其论讨限�象一第面桌于位儿特模设面下 为标坐点 B 中其� �界边含不�IHCB 形菱为域区的解到得
。亮全灯盏六此因。盾矛起引会就�亮不灯分部一另�亮灯分部有 设假果如。变不度长�压受不腿桌的应对示表亮不灯而�短变度长�压受腿桌的应对示表亮灯 。同相也态状的灯 5 与 2 而�的同相是总态状的灯 6、4、3 、1 以所。亮不灯 6 和灯 4�称对�轴 x�下上据根又。亮会不也灯 3�称对�轴 y�右左据根则 �亮不灯 1 果如�称对荷载与构结于由。下如号标的灯各及系标坐设。法证反及性称对用利 �来起亮灯盏几有会�央中正的台舞在站儿特模果如�2� 。件条调协的形变�衡平力受�词键关 �系关有容内么什的中学力与题问本�1� 台舞型新与儿特模、二 �3.oN�6891�题 021 第题问小》践实与学力《 �祥道周�自写改题本� 。过通全安 可亦人个一另�间之 m)57.0-635.0 (为离距座支左离段伸外左于立再人的桥木独过通。桥木 独过通全安可人一另�时间之 m)57.0-635.0(为离距的座支右离段伸外侧右于立人个一当以所 m5.7 ≤1x 得� ]M[ ≤1M 到虑考 64.7 ≤ 1x≤ 635.0 得解 需则�立成恒式上使欲 得据数如代� ]M[≤ 2M ]M[ ≤1M � 求要�过通全安要欲
子箱的师术魔 3 图
。衡平持保置位平水在能仍子箱其及板 BA �后板 BA 开离球圆当�是的讶惊人令更。了开推球圆把就地易轻然竟�球圆下一了推右向 轻轻棒魔用师术魔 。示所 3 图如�衡平持保以可仍统系�置位间中的板 BA 在定固子箱把又 师术魔后然。 ?为角夹线垂与线连的 B 点触接和 O 心圆且�衡平持保以可都球圆和板�上球圆 在置 q 放平水 BA 板性刚把先首师术魔。上面平水的性刚在放� 3M 为量质�球性刚的 R 为径 半是具道个一后最�动转铰 A 的滑光绕可� 2M 为量质�BA 板性刚质均的 L 为长是具道个一 另� 1M 为量质�子箱体方立明透不的 a 为长边是具道个一中其。目节个一演表要师术魔 �分 52�演表的师术魔、三 台舞新的儿特模 2 图
第十一届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题
第十一届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题出题学校：湖南大学（本试卷分为基础题和提高题两部分 满分120分 时间3小时30分）说明：个人赛奖项分为全国特、一、二、三等奖和优秀奖。
全国特、一、二等奖评选标准是：提高题得分进入全国前5%，并且总得分排在全国前列，根据总得分名次最终确定获奖人。
全国三等奖和优秀奖直接按赛区内总得分排名确定获奖人。
注意：试题请全部在答题纸上作答，否则作答无效。
各题所得结果用分数或小数表示均可。
第一部分 基础题部分（填空题，共60分）第1题（6分）图1所示正方体边长为c ，其上作用四个力F 1、F 2、F 3、F 4，其中各力大小之间的关系为F 1=F 2=F a ，F 3= F 4= F b 。
(1)、（2分）此力系对OA 轴之矩的大小为（____________________________）；(2)、（2分）若此力系可简化为一个力，则F a 与F b 的关系为（________________________）； (3)、（2分）若F a = F b = F ，此力系简化为一力螺旋，则其中的力偶矩大小为(_________________)。
图1第2题（6分）两匀质圆轮A 和B 的质量同为m ，半径同为r 。
如图2所示，轮A 沿着水平面运动，绕于轮B 的细绳通过定滑轮C 后与轮A 的中心相连，其中CA 段绳水平，CB 段绳铅直。
不计定滑轮C 与细绳的AF 1 yOx z F 4F 3F 2质量，且细绳不可伸长。
系统处于铅垂平面内，自静止释放。
(1)、（2分）若轮A 既滚又滑，则系统的自由度为（_________________）； (2)、（4分）若轮A 与水平支承面光滑接触，则轮B 下落的高度与时间的关系为（___________________________________________________________________________）。
【精品资料】历届全国周培源力学竞赛试题及答案 材料力学 理论力学
赛，后 4 名被淘汰退出比赛，获纪念奖。 z 对于成绩相同的队，将根据另一根试件的成绩进行排名。如果还不能区别，考
虑试件的质量，轻者优先。 z 如有争议，由裁判长负责解决。
起来，裁判测量 10 个周期并记录。由于释放时间不易确定，记录从第 2 到第 11 个周期的时间。1 个周期定义为：摆动时同一侧角速度两次为零的时间间隔。 z 根据 8 位裁判的计时，去掉最大和最小的 2 个计时，把其余的计时进行平均， 为某队的比赛成绩。 z 比赛中如有争议可找裁判长，裁判长的裁决为最终裁决。
～15cm
切口
3cm
A4纸的一部分
两头与筷子相连
图 2a 试件制作示意图
试件
固定物 切口
裁出切口
弹簧秤
注水 图 2b 拉力试验示意图
三、比赛规则与流程（约 40min） z 在比赛开始前的休息时间内抽签分组分为 4 组，每组 2 个队。弹簧秤也抽签选
取。各队自行检查弹簧秤，如有问题可找裁判员。 z 比赛开始后，各队有 5 分钟时间同时进行调试准备。 z 裁判示意后，各队同时开始操作。各队要在 30 分钟内完成操作并得到两试件
三、比赛规则与流程（约 40min） z 在比赛前的休息时间进行抽签，16 个队分为 4 组。抽到 A、B、C、D 的队为
同一组。 z 比赛开始后，每队有 5 分钟进行调试，同时裁判可以试着计时。 z 每队有 2 次机会，顺序为 ABCDABCD。每次摆动要在 3 分钟内完成。 z 每次有 8 位裁判同时记时，队员示意开始，裁判负责计时。各队让不倒翁运动
第6-9届周培源力学竞赛试题及答案
EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r ，重量均为 P = ql 。
假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与 板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚 轴 D ，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。 魔术师的问题如下： （1）如果把滚轴 D 安装在 AB 板的 B 处，此时 AB 板由于自重所导致的最大 挠度在何处？ 有可能使水晶球 O1 在板上静止， （2） 如果把滚轴 D 安装在 AB 板之间的某处， 如果不需要具体计算， 如何说明滚轴 D 是更靠近 A 且球与板的接触点恰好是 B 点。 点还是更靠近 B 点？定性画出此时 AB 板挠度的示意图。 （3）如果把滚轴 D 安装在 AB 板的中点，能否让水晶球 O1 在 AD 之间某位置 平衡，接触点为 C1 ；同时让水晶球 O2 在 DB 之间某位置平衡，接触点为 C2 。观众 试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解， AC1 和 AC2 的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？
本小问 12 分
CE = l =
m( H ) J 1 = = H ma m( H ) 3
1 3 1 2 1 4
2
C
l
SI
a
E
E
距离 3 分 碰撞冲量 3 分
时， C 点的碰撞冲量 I C = 0 。 上述结论可以表示为：小球要在反弹最高点 碰撞，且碰撞点与地面的高度为
2 H。 3
由于水平方向速度与竖直方向速度独立，下 面只考虑竖直方向：
1 2 2 mv y = mgH
D
小球落地时速度大小为 v y =
2 Hg 。碰撞后 y 方向上的速度大小
2
为 v y ' = ei 2 Hg ，再利用上式，得反弹的最大高度为 ei H 。所以
【材料课件】第四届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题.docx
考区（市） ____ 学校_____ 姓名 ____ 题一（25分）如图所示，狭长炬形截血直杆单侧作用有轴向均布剪切载荷，其单位长度上的人小为2. （5分）如果平而假设与胡克定律成立，任意横截面上正应力b （“）= ________3. （5分）q 、N 与M 之间的平衡微分关系为 ___________ o体，螺栓是线性弹性体，其抗压弹性模最为E,许用正应力为［b ］。
设两L 型元件问无初始间隙，也无预紧力，并设在变形过程屮两个螺栓与L 型元件始终 贴合，螺栓与L 型元件在孔壁间无相互作用力，则1. （5分）在L 型元件孔间一段螺栓的轴力N 二 ______ o2. （5分）在L 型元件孔内-•段螺栓的变矩M 二 _____ o3. （5分）两个L 型元件相对转角A"二 _____________ o4. （5分）许用拉力［P 」= __________ o题三（20分） 600尸 矩形等截面臂梁高h,宽b,长仁重Q 的重从高日=EI 处落到白由端并附着它。
梁的重量不计，E 为材料的弹性模量，/为截而轴惯性矩。
1. ____________________________________ （5分）梁内最大冲击正应力％唤= o 将梁设计成两段等长的阶梯梁（两段齐长"2）,梁高h 保持不变，乞段梁宽度可按要 求设计。
在梁内最大冲击正应力不变的条件下，按最省材料原则，阶梯梁在靠H 由端一-段宽 勺靠固定端一段宽优,则2・（5分）叩*= __________ o从! 届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题1.（5分）任意截面上的轴力“⑴二与弯矩M （x ）= ________hh 2b b 1今两相同的L 型元件，用螺栓连接，以传递拉力P 。
儿何尺寸如图所示。
L 型元件是刚题二图3. （10分）阶梯梁比等截而梁节省材料（分数或白分数表示） ________________ 3题四（15分）如图所示，简支梁AB承受均布载荷q,在C、D两点的两个相等的集中力P,在B点的集屮力偶M的作用。
周培源力学竞赛试题与解答(第六界初赛、第六届与第七届)
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分） 一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。
为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分） 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为 ，宽为 ，有 6 条等长的桌腿（图 2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？ （3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分） 魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1 ；另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。
第四届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题
第四届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题 题一（25分）如图所示，狭长矩形截面直杆单侧作用有轴向均布剪切载荷，其单位长度上的大小为 q 。
1．（5分）任意截面上的轴力()x N = 与弯矩()x M ＝ 。
2．（5分）如果平面假设与胡克定律成立，任意横截面上正应力(,)x y σ= 。
3．（5分）q 、 N 与M 之间的平衡微分关系为 。
4．（10分）任意横截面上剪应力(,)x y τ= 。
题二（20分）今两相同的L 型元件，用螺栓连接，以传递拉力P 。
几何尺寸如图所示。
L 型元件是刚体，螺栓是线性弹性体，其抗压弹性模量为E ，许用正应力为[]σ。
设两L 型元件间无初始间隙，也无预紧力，并设在变形过程中两个螺栓与L 型元件始终贴合，螺栓与L 型元件在孔壁间无相互作用力，则1．（5分）在L 型元件孔间一段螺栓的轴力N = 。
2．（5分）在L 型元件孔内一段螺栓的变矩M= 。
3．（5分）两个L 型元件相对转角θ∆= 。
4．（5分）许用拉力［P 」= 。
题三（20分）矩形等截面臂梁高h ，宽b ，长l 。
重Q 的重从高H=360Ql EI 处落到自由端并附着它。
梁的重量不计，E 为材料的弹性模量，I 为截面轴惯性矩。
1．（5分）梁内最大冲击正应力,max d σ= 。
将梁设计成两段等长的阶梯梁（两段各长/2l ），梁高h 保持不变，各段梁宽度可按要求设计。
在梁内最大冲击正应力不变的条件下，按最省材料原则，阶梯梁在靠自由端一段宽1b 靠固定端一段宽2b ，则2．（5分）12/b b = 。
3．（10分）阶梯梁比等截面梁节省材料（分数或百分数表示） 。
题四（15分）如图所示，简支梁AB 承受均布载荷q ，在C 、D 两点的两个相等的集中力P ，在B 点的集中力偶M 的作用。
U 是梁的应变余能（线弹性情形下等于应变能）1．（5分）UM ∂∂的几何意义为 。
2．（5分）UP ∂∂的几何意义为 。
3．（5分）Uq ∂∂的几何意义为。
全国大学生周培源力学竞赛试题及详细答案解析(第三届到第九届)
图９
万方数据
图１２
第１期
第五届全国周培源大学生力学竞赛理论力学试题解答
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第五届全国周培源大学生力学竞赛 理论力学试题解答
答ｎ
恐
答 Ｍ 佰一一２剐
答３．Ｆ１＝Ｆ２＝２Ｆ３
答４．解：向Ｄ点简化： 主矢： Ｆ，Ｒ＝Ｆｉ＋Ｆｊ＋Ｆｋ
主矩：Ｍｏ＝（ｂＦ—ｃＦ）ｉ—ａＦｊ 因为当Ｆ欠·Ｍｏ＝０时才能合成为力， 所以应有Ｆ２（６一Ｃ）一ａＦ２＝０
故ｂ—ｃ—ａ＝０，力系才能合成为一个力
题４图 答５．克服障碍条件为
ＦＲＣＯＳ８一ｍｇＲｓｉｎ８２ ０
蒜独邶＝南一·
代入数据，求解，得垒三里：！至里
∈＝百ｈ－ｍｕ＝等≠＝·
查表得ａ＝Ｆ（１）＝ｏ．８４１
万方数据
题５图
答６．解：建立平移动系与Ａ点固结，则点Ｂ，Ｃ的相对速 度为
ＶＢｒ＝Ｖ２＋ｕ１，
ＶＣｒ＝Ｖ３＋Ｖｌ
（ｂ） 题１２图
第１期
第五届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题解答
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第五届全国周培源大 学生力学竞赛 材料力学试题解答
答１．（１）训Ａ一—（２Ｖ瓦互＋酉３）一ｑａ４ ９）
（２）ｕ，Ａ＝面２ｑａ４（个）
答２．
州驴¨半ｐ．得 １）求丁（ｐ）
下（ｐ）＝痢Ｔ
一去［南卜～＝ ２）求妒
据％＝面７－２．有
磊可Ｍ习２ｌ ８Ｇ丌２璃（¨竿ｐ） ｄ口
提示：设ｕ是随机变量，已知它的数学期望（均值）ｍ。 和均方差盯。，于是ｕ满足ｕ＜ａ的概率ａ由下式确定：
ａ＝ｐ｛ｕ＜ｏ｝＝Ｆ（∈）
∈：—ａ－－—ｍｕ
Ｏ＇ｕ
并且Ｆ（∈）是一特定的分布函数．对于高斯分布，Ｆ（∈）列在 下表中．
∈
一１．５－１．０－０．５