高数3-6边际与弹性(课堂PPT)
边际与弹性
第六节 边际与弹性教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。
教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。
教学难点：需求弹性的计算教学内容：一、边际概念在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数()f x 的导数()f x '为函数()f x 的边际函数．在点0x 处，当x 改变x ∆时，相应的函数()=y f x 的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆．当1=∆x 个单位时，)()1(00x f x f y -+=∆，如果单位很小，则有 )()()1(01000x f dy x f x f y dx x x '=≈-+=∆==．这说明函数)(0x f '近似地等于在0x 处x 增加一个单位时，函数)(x f 的增量y ∆．当x 有一个单位改变时，函数)(x f 近似改变了)(0x f '．二、经济学中常见边际函数1．边际成本总成本函数)(x C 的导数)(x C '称为边际成本函数，简称边际成本．边际成本的经济意义是，在一定产量x 的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．例1： 已知生产某产品x 件的总成本为20010409000)C(x x x .++=(元)，(1)求边际成本)(x C '，并对)1000(C '的经济意义进行解释．(2)产量为多少件时，平均成本最小解： (1)边际成本x x 002040)(C .+='． (1000)400.002100042C '=+⨯=．它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；(2)平均成本x xx x 0010409000C )(C .++==， 00109000)(C 2.+-='xx ，令=')(C x 0，得 x = 3000(件)．由于318000C (3000)03000''=>，故当产量为3000件时平均成本最小．2．边际收入 总收入函数)(x R 的导数)(x R '称为边际收入函数，简称边际收入．边际收入的经济意义是，销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值．例2：设产品的需求函数为p x 5100-=，其中p 为价格，x 为需求量．求边际收入函数，及70,50,20=x 时的边际收入，并解释所得结果的经济意义．解： 根据p x 5100-=得5100x p -=总收入函数)100(515100)(2x x x x px x R -=⋅-== 边际收入函数为)2100(51)(x x R -=' 即销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单位；当销售量为50个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个单位． 3．边际利润总利润函数)(x L 的导数)(x L '称为边际利润函数，简称边际利润．边际利润的经济意义是，在销售量为x 的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润． 由于)()()(x C x R x L -=，所以()()()L x R x C x '''=-．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为202.02100)(x x x C ++=（元）与201.07)(x x x R +=（元）求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义．解： 总利润函数100501.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L边际利润函数为502.0)(+-='x x L日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是 1)200(='L （元），0)250(='L （元），1)300(-='L （元）其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．二、弹性概念弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度．例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．定义：设函数)(x f y =在点x 处可导．则函数的相对改变量y y ∆与自变量的相对改变量x x ∆之比，当0→∆x 时的极限： )()(lim0x f x f x y y x x x y y x '='=∆∆→∆称为函数)(x f y =在点x 处的弹性，记作Ey Ex 或()Ef x Ex，即 ()()Ey x f x Ex f x '=． 由定义知，当%1=∆xx 时，%y Ey y Ex ∆≈．可见，函数)(x f y =的弹性具有下述意义：函数)(x f y =在点0x 处的弹性0x x Ey Ex =表示在点0x 处当x 改变1%时，函数)(x f y =在)(0x f 的水平上近似改变0%x x EyEx =．四、经济学中常见的弹性函数1. 需求价格弹性设某商品的需求量为Q ，价格为p ，需求函数()Q Q p =，则该商品需求对价格的弹性（简称需求价格弹性）为：d p dQ E Q dp= ．2. 供给价格弹性设某商品的供给量为W ，价格为p ，供给函数()W W p =，则该商品供给对价格的弹性（简称供给价格弹性）为：s p dW E W dp=3．需求弹性与总收益的关系总收益()R pQ p =， 所以()()()[1()]()[1]()p R Q p pQ p Q p Q p Q p Q p η'''=+=+⋅=-例4：:某商品需求函数为210Q -=，求（1）当3=P 时的需求弹性； (2)在3=P 时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少它将变化多少解： (1)1220102EQ P P P Q P EP Q P ⎛⎫'==-⋅= ⎪-⎝⎭-． 当3=P 时的需求弹性为3317P EQ EP ==-18.0-≈． (2)总收益2102P P PQ R -==，总收益的价格弹性函数为 22(10)(10)20102ER dR P P P P P EP dP R P P -=⋅=-⋅=--， 在3=P 时，总收益的价格弹性为332(10)0.8220P P ER P EP P ==-=≈-． 故在3=P 时，若价格上涨%1，需求仅减少0018.0， 总收益将增加， 总收益约增加%82.0．。
微积分I课程边际与弹性
lim ( y x) lim ( y x0 )
y x0 0
x0
x0 x y0
=
f
x0 (x0 )
f
(x0 )
Ey Ex
x x0
由极限与无穷小量的关系有
y x Ey ，且 lim 0
y0 x0 Ex xx0
x0
所以 y Ey x y0 Ex xx0 x0
故
Ey Ex
x x0
表示在点x
(6) 1.2 1,说明当P 6时，需求变动的幅度
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性 设某商品的供给函数为Q Q(P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q(P) EP Q(P)
一般情况下 EQ 0,即供给量会随价格的升高 EP
当销售量为Q 时，销售Q 前最后一个
0
0
单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C(Q) 此时，L(Q) R(Q) C(Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
例3.设某商品的需求函数为P 10 Q ,总成本 5
§3.6 边际与弹性 一、边际的概念 二、弹性函数
• 在经济活动中，经常需要考虑一项指标的变化给 其他指标带来的影响，如产量的变化对成本、收 益、利润的影响，价格的变化对需求量、销售量 的影响等。将这些经济指标建立数学模型，利用 导数的特性去研究它们之间的关系，这就是本次 课的内容。
一、边际的概念
x0处，当x产生1%的
改变时，y f (x)相应改变 Ey % Ex xx0
例4.求函数y 100e3x的弹性函数 Ey 及 Ey Ex Ex x2
第6节 边际与弹性
C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
经济数学课件 3.6边际与弹性
解: 因为y 3x 2 2, 所以 y x2 14, 即边际函 数值为14。 它表示函数 y在x 2处，当 x 改变一个单位时，函数 y 近
似地改变14个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际成本的定义
设成本函数C C(q) 可导（其中 C表示总成本， q 表示产量）， 则其边际函数 C C(q)称为边际成本函数，简称边际成本。C(q0 ) 称为当产量为 q0时的边际成本。
经济意义：销售量达到 q0时，如果销售量增减一个单位产品，则 收益相应增减 R(q0 )个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际利润的定义 设利润函数 L L(q) 可导，则其边际函数 L L(q) 称为边际
利润。L(q0 ) 称为当产量为 q0 时的边际利润。 经济意义：当产量达到q0 时，如果增减一个单位产品，则利
设函数
f (x) 在点
x
处可导，称极限
lim
x0
x
x 为函数
f (x)
的弹性函数，记为 E(x) ，即
E(x) lim y x f (x) x
x0 x y
f (x)
《经济数学基础》配套课件
在点 x x0处，弹性函数值
E(x0 )
f (x0 )
x0 f (x0 )
称为函数
f (x)
在点
记为 p 。
《经济数学基础》配套课件
例3
某商品的需求函数为 Q 400 100 p ，求：p 1, 2,3 时
的需求价格弹性，并给出经济解释。
解： 由 dQ 100 可得
dp
p
dQ dp
p Q
100 p 400 100 p
当
p
1时，|
高数3-6边际与弹性学校课件.ppt
Q
1000 900
100
(3)边际成本函数C(Q) 2Q Q ,当Q 900 1200 600
时的边际成本 C(Q) 1.5 Q 900
2. 边际收益
定义：总 收 益 函 数R(Q )的 导 数
R(Q) Lim R Lim R(Q Q) R(Q)
Q0 Q Q0
Q
称 为 边 际 收 益 函 数.
称函数的相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )
y0
f ( x0 )
与自变量的相对改变量 x 之比 y y0 为函数从
x0
x x0
x0到 x0 x两点间的平均相对变化率，或称为 x0与 x0 x两点间的弹性．
当 x 0时，称 y y0 的极限为函数 y f ( x) x x0
乙商品每单位价格200元，也涨价1元；
与原价相比，甲商品涨价20%，乙商品涨价0.5%。
显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大。如果乙 商品的涨价是由甲商品涨价引起的，则若甲涨价1%，乙 会涨价0.025%。
即乙商品相对于甲商品的平均相对变化率 (即弹性)为0.025。
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0处可导，且 x0 0，
dQ P . dP Q
注 因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，
需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方
便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常
用符号 表示。
( p)
Ed
P Q
dQ dP
例1 某需求曲线为：Q 100P 3000，求 当P 20时的弹性．
解 dQ 100
dP 当P 20时，Q 1000
一、 边际的概念
如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
边际与弹性
例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5
边际函数与弹性
第2章 边际函数与弹性2.1 一元经济函数的边际函数1、定义：将函数的导数称为边际函数2、边际成本函数 '0()limQ C C Q Q∆→∆=∆ ，也记为MC ,显然'()0C Q >3、边际成本与平均成本的关系由于产量0Q >，则当'()()C Q C Q <时，'()0C Q <，此时增加产量将使平均成本减少当'()()C Q C Q >时，'()0C Q >，故增加产量将使平均成本增加4、边际收入函数'()R Q ,也记为MR企业在产量为Q 时，再生产并销售一个单位的产品所增加的收入的近似值，也是销售最后一个单位的产品所得到收入的近似值，即最后那个单位产品的售价 5、边际利润函数'()L Q企业销售最后一个单位产品或多销售一个单位产品所得到的利润的近似值'()L Q ='()R Q -'()C Q6、边际效用函数'()f x ，记作MU 表示消费者第x 单位的商品所获得的效用 效用函数为增函数，有'()0f x >；边际效用'()f x 为单调减函数，称为边际效用递减规律，有''()0f x < 7、边际消费倾向dCdY，记为MPC 表示收入增加一单位时消费相应的增加量，即这一单位收入中被用来消费的部分 边际储蓄倾向dSdY，记为MPS 表示收入增加一单位时储蓄的增加量 关系：0,1dC dS dY dY <<且1dC dS dY dY+= 8、如果经济量y 是时间t 的函数()y t φ=，则其导数'()t φ表示t 时刻经济量的绝对变化速度，即单位时间内经济量变化值的近似值。
2.2 由边际、变化速度求总量函数1、设总量函数()P x 可导，其导数（即边际函数）为'()P x ，则有总量函数'()()P x P x dx =⎰其中的积分常数可由某一点的总量函数值确定。
《高等数学B》 第三章 导数、微分、边际与弹性 第6节 边际与弹性
E (ba ) (4)指数函数 f ( x ) ba 的弹性 x ln a ; Ex E (b ln ax ) 1 ; (5)对数函数 f ( x ) bln ax的弹性 Ex ln ax (6)三角函数的弹性 E (sin x ) E (cos x ) x cot x ; x tan x . Ex Ex
则任意销量 Q处的边际收益为 R(Q ) 40 0.04Q ,
由于 R( 30) 38.8 , R(80) 36.8 , R(1200) 0 .
这些数值说明:
销售第31件商品时收益增加38.8 元; (此时总收益为R( 31) 1240 1.24 1238 .76 ) . 销售第 81 件商品时收益增加 36.8 元; 销售第1201件商品时收益减少了.
求量乘以进价为C(P) = Q 10 = 10(80 2P) , 因此 L( P ) 100P 2 P 2 800 , 则 L' ( P ) 100 4 P , 令其为零可解出 P = 25 , 而
L'' ( 25) 0 ,
因此, P = 25 元时 L最大 , 此时 L(25) = 450 (元) .
定义2 设函数 y = f (x) 在点 x x0处可导. 函数值的 相对改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) , y0 y0 x 与自变量的相对改变量 的比 x0
y / y0 x / x0 称为函数y = f (x)从 x x0到 x x0 x两点间的弹性. 而极限 y / y0 lim , x 0 x / x 0
2Q , 令其为零可解出 Q = 20 . 边际利润为 L' (Q ) 8 5 又 L'' ( 20) 0 , 因此 Q = 20 时总利润最大。
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍.ppt
所以 Q 20 时，平均成本最小。
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第四章 中值定理与导数的应用
（三）收益 收益是生产者出售一定量产品时所得到的 全部收入。 平均收益是生产者出售一定量的产品，平 均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品 的售价。 边际收益是总收益的变化率。 总收益、平均收益、边际收益均为产量的 函数。
y0 x0
lim y x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当
x0
为定值时，Ey
Ex
为定值。
x x0
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第四章 中值定理与导数的应用
对一般的 x ，若 f ( x) 可导，则
Ey lim y y lim y x y x
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第四章 中值定理与导数的应用
10%，而商品乙只涨了0.1%。因此我们有必要 研究函数的相对改变量和变化率。
例如，y x2 , 当 x 由10改变到12时，y 由
100改变到144，此时自变量与因变量的绝对改 变量分别为 x 2 ,y 44 , 而
例7 某工厂生产某种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 是年产量 Q 的函数
R
R(Q)
400Q
Q2 2
80000
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总
利润是多少？
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当 Q 10 时，总成本 C(10) 125 平均成本 C(10) 12.5 边际成本 C(10) 5
《边际与弹性》PPT课件 (2)
x
由弹性的定义知：
E E
y x
y
x y
y y
边际函数 平均函数
x
弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。
3、 经济学中常见的弹性函数 ⑴需求 Q 对价格 p 的弹性
①定义 设商品的需求量Q是销售价格p的函数Q=Q(p)
Q 则称 Q为该商品在价格
p p
(弧弹性) 。
间(的p需, p求弹性p)
Ex x x0
x0 x x0
x0 x y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当x0为定值时，EE
y x
为定值，且当x 很小时，
x x0
Ey
y y0 ( 弧弹性)
Ex x x0
x x0
弹性函数的定义
一般的，若函数y f ( x)在区间内(a, b)可导，
且f ( x) 0，则称 Ey lim y / y lim y x y x
p
Ed
p Q Q
d ln Q d ln p
这种形式主要用于：
Q 当 只含有乘、除、乘方、开方时。
⑤需求弹性计算公式的另一种常用形式
Q d ln Q Ed p Q d ln p
1
如： Q 2 p 3
(1)Ed
p Q Q
2
p
4 3
(
1
)
p
3
1
1 3
2p 3
(2)lnQ ln 2 1 ln p 3
平均函数边际函数1933微积分微积分三三需求q对价格p的弹性定义经济学中常见的弹性函数设商品的需求量q是销售价格p的函数qqp为该商品在价格间的需求弹性2033微积分微积分三三定义epeq弹性点弹性记为时的需求价格为则称此极限为该商品在之比的极限存在2133微积分微积分三三点弹性的经济意义由于需求函数通常为价格的减函数故随着价格的上涨下跌需求量将减少增加即需求量变化方向与价格相反
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平均R收 益 R(Q) 25517 Q15 Q Q15 15
边 际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 1 5
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为均
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品
(3)边际成C本 (Q)函 2Q数 Q,当 Q900 1206 000
时的边际C成 (Q) 本1.5 Q900
2. 边际收益
定义：总 收 益R函 (Q)的 数导 数
R(Q)LimRLimR(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际收. 益函数
设 P 为价 PP (格 Q )， ， 因此 R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q )Q P (Q )
显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与入 边 际 成 本 决, 定
C(Q) R(Q) C(Q) 时,
C(Q)
0 L(Q) 0
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析
后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的关
系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨， 25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
平 均 成 C(本 Q)的 导 数
C(Q)CQ (Q)
QC(际
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
L(Q)LimLLimL(QQ)L(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际. 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产品， 再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，数 总 L(Q利 )等润 于函 总收益函数 R(Q)与总成本 C(函 Q)之 数差．即
L(Q) R(Q)C(Q),则边际利润为
L(Q) R(Q)C(Q)
第六节 边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
平均变化率为y x
；在x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0)
9020
C(Q) 110 0 1775
Q900
1200
平均成本为
C(Q)
17751.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的
平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
Q2 C (Q ) 1100 1200 ， 求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
解 Q(P)dP2P,当P4时的边际需求为
dQ Q(P)P4 8
它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
练习题
1. 试就下列各总函数： (1)C（Q ） 3Q2 7Q 12
(2)L(Q) Q2 13Q 78
(3)R(Q) 12Q Q2 (4)C(Q) 35 5Q 2Q2 2Q3
f (x0)
，
经济学中称它为f (x)在x x0处的边际函数值.
定义1 设函数 y f (x)在 x处可导，则称导数 f (x)
为 f (x)的边际函数． f (x)在 x0处的值 f (x0 )为边 际函数值．即当 x x0时，x改变一个单位， y改 变 f (x0 )个单位．
例1 设函数 y x2，试求 y在 x 5时的边际函数值． 解 因为 y 2x，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位）．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本 C(Q )函 的数 导数
C(Q )Li m CLiC m (QQ )C(Q )
Q 0Q Q 0
Q
2)边际平均成本：
4. 边际需求
定义 若 Qf(P)是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P 的 导 数 dPf(P)称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 52， 求 P4 时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
求：（1）边际函数； （2）Q=3,Q=5 时的边际函数值。并说明经济 意义 2. 就下列各函数求其 MR 函数，并在 Q=4 和 Q=5 时求其值：
的需求函数为P
P(Q)
10e
Q
2，其中Q为需求量，
P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数
和边收益际函数．
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02 e (0Q 6 )
Q
边际收 R (Q )益 5(2 函 Q )e数 2(0Q 6)
3. 边际利润
定义：总利润L函 (Q)数 的导数
例3 设某产品的需求函数为P20Q， 其中P为
5
价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个
单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解 总收 R 益 Q(Q P 为 )2Q 0Q 2
5
销售 15个单位时
总收R 益
Q2 (20Q )
255
Q1 5
5
Q1 5