机器人避障问题

机器人避障问题

摘 要

本文讨论的是机器人避障问题，运用改良的橡皮筋算法思想，对最优路径逐步探索，并进行了大胆猜想．通过分析，利用几何关系证明了猜想的正确性，以此得到判断最短路径的三个原则：一、所走路线应尽可能接近两目标点与目的地连线；二、目标点转弯半径越小越好；三、找不到两圆间的公切线时，机器人应尽可能沿障碍物边界运动． 对于问题一，依据路径最优原则，确定转弯半径为10个单位，建立了机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径的优化模型．利用MATLAB 求解得到结果如下：A O →:总时间为：96.00826秒，总路程为471.0372个单位；B O →:总时间为179.09982秒，总长度为853.7113单位；C O →:总时间为239.72602秒，总路程为1100.19单位；

O C B A O →→→→：总路程：2794.512单位 ，最终总时间为598.5477秒．

对于问题二，要使机器人行走时间最短，需在尽可能保证最短路径的基础上适当增加转弯半径．利用几何知识推导出机器人行走时间与转弯半径的关系，时间对半径求导，并令导数为零，得出最短时间所对应的半径5055.11=r ，进而建立最短时间路径的优化模型．利用MATLAB 软件求解得，当机器人从)0,0(O 出发到达A 时，所用最短时间为

2130.94秒，总距离为470.8301个单位．

关键词：导数；橡皮筋算法；优化模型

一、问题的重述

图1是一个800⨯800的平面场景图，在原点)0,0(O 点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围活动．图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物单位数学描述如下表：

表1．12个不同形状区域的特性

障碍物的距离至少超过10个单位）．规定机器人的行走路线有直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人的转弯路径．机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位．为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若发生碰撞，则机器人无法完成行走．

机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒．机器人转弯时，最大转弯速度为

2

1.01001)(ρρ-+=

=e

v v v ，其中ρ是转弯半径．如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无

法完成行走．

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型．对场景图中4个点)0,0(O ，)300,300(A ，)700,100(B ，)640,700(C ，具体计算： （1）机器人从)0,0(O 出发，A O →、B O →、C O →和O C B A O →→→→的最短路径．

（2）机器人从)0,0(O 出发，到达A 的最短时间路径．

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间 ．

图1 800⨯800平面场景图

二、问题分析

对题目条件进行分析：要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位，又知O 点坐标为（0,0），即边界不视为障碍物，但目标点不能超出界限．规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，转弯路径只能由一段圆弧组成也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位，因为半径趋于0的时候，圆弧长度趋于0，圆弧趋于折线．机器人行走路径与障碍物之间的最近距离为10个单位，否则发生碰撞，即可将障碍物区域向外扩充10个单位，余下部分为目标点可行走范围，对条件中所给最大转弯速度2

1.01001)(ρρ-+=

=e

v v v 进行分析，当半

径∞→ρ时，即可视为直线运动，50==v v 个单位/秒；当半径10→ρ时， 最小速度

5.22

min ==

v v 个单位/秒；半径ρ越大，机器人转弯速度越大． 对问题一分析：机器人从)0,0(O 出发，A O →、B O →、C O →和

O C B A O →→→→的最短路径问题．首先分析A O →，在没有障碍物的情况下，A O →两点间线段最短，但在两点之间有正方形障碍物5阻碍，必须绕开障碍物5到

达A ，要使A O →路径最短，则实际路径越逼近OA 线段越短．根据目标点的位置，可以猜想出机器人的几种避障路径．同理分析B O →、C O →路段．当分析

O C B A O →→→→路径时，采用分段处理的方法，将其分为A O →、B A →、C B →、O C →；使各分段路径最短，最后将分段路径综合起来也是最短．

对问题二分析：机器人从)0,0(O 出发，到达A 的最短时间路径．在前文条件分析中，

半径ρ越大，机器人转弯速度越大，速度v 越大．在问题一最短路径基础上，在转弯路段进行优化处理，适当增大转弯半径ρ，速度增大，与此同时转弯路段圆弧长度必然增加，综合使得到达目的地总时间最短．最后将给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间 ．

三、模型假设

1．假设机器人在行进过程中为质点；

2．假设机器人直线路段以速度50=v 个单位/秒行进； 3．假设机器人在各转弯路段匀速行进；

4．假设机器人从直线段至圆弧段，速度由直线行进速度瞬间降至转弯速度，速度不存在过度阶段；

5．假设平面范围边界不是障碍物，不要求目标点与边界的距离至少超过十个单位，机器人目标点不出界即可．

四、符号说明

i l 表示机器人每段路径，2,1=i ；

r 表示转弯半径；

i t 表示机器人所用时间，2,1=i ；

i ω表示 第i 段圆弧对应的圆心角；

⎩⎨⎧=

,0,1其它个切点与目标点相连个障碍物第第j i m ij ；

),(ij ij ωτ表示切点坐标．

五、模型的建立与求解

问题一模型的建立 模型准备：

根据对问题的分析及两点之间直线最短的原理，为使机器人能以最短的路径避过障碍达到目标点，应使所走的路线尽可能的接近两目标点的连线，对此，可以猜想出几种机器人行走的路径并对其进行探索．