复变函数的基本概念及运算
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数(全)解析
1
2
1
2
1
2
乘法
z z (x x y y ) i(x y x y ),
12
12
12
21
12
商
z 1
xx 12
yy 12
i
xy 21
xy 12
z
x2 y2
x2 y2
2
2
2
2
2
第一节 复数及其代数运算
(2)性质
z z z z , zz zz;
1
2
2
1
12
21
z (z z ) (z z ) z ,z (z z ) (z z )z
1
2
3
1
2
3 1 23
12 3
z (z z ) z z z z
12
3
12
13
第二节 复数的几何表示
1.复平面 （ 1 ） 定 义 复 数 z x iy 与 有 序 实 数
(x, y) 一一对应，对于平面上给定的直角 坐标系，复数的全体与该平面上的点的全
体成一一对应关系，从而复数 z x iy 可
对复平面内任一点z ,用一条直线将N 与z 连结起来,该直线与球面交于异于N 的 唯一点P ,这样除了N 之外,复平面内点与 球面上的点存在一一对应的关系.这样的 球面称为复球面.
第三节 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设有两个复数
（1）乘积
z1
r1 (cos 1
sin1 )
r e i1 1
,
z2
r2 (cos2
z2 r2
第二节 复数的几何表示
2.幂与根 (1) 幂 n个相同复数z 的乘积称为z 的n次幂,记作zn ,即
复变函数知识点概括
第六章
①基本概念：
共形映射
转动角，伸缩率，圆的对称点
例 试求映射 w f ( z ) z 在 z 1 i 处的 转动角和伸缩率？
②分式线性映射：
1 ( i ) w z b ( ii ) w az(a 0) ( iii )w z
称为： 平移 整线性 反演
（i）上半平面到上半平面
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线 性映射.
(iii)单位圆到单位圆
za we 1 az
i
( 为实数 )
例
1 求将单位圆映射为单位 圆且满足条件w 0, 2 1 w 0的分式线性映射 . 2
(iv)角形域映射成角形域
⑤
留数定理
z dz c : 正 向z 2 例 计 算c 4 z 1
z 解： c z 4 1 dz 2 i{Re s[ f ( z), 1] Re s[ f ( z),1] 1 1 1 1 Re s[ f ( z ), i] Re s[ f ( z ), i]} 2 i[ ] 0 4 4 4 4
z z0
( 4)
规则II 若z0是f ( z )的m级极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} (5) ( m 1)! z z0 dz P(z) 规则III 设f ( z ) P ( z ), Q( z )在z0处解析, Q( z )
2
i
2 3
第三章
复变函数的积分
计算积分：
①利用曲线方程的表达式
x 3t 例：计算 zdz OA : (0 t 1) C y 4t C : z 3t 4ti 0 t 1 解
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数
Argz 2 =
π
+ 2 nπ
n = 0, ± 1, ± 2, L
要使上式成立,必须且只需 要使上式成立 必须且只需 k=m+n+1.
定理2 定理
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差. 数的辐角之差
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的. 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的. 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系， 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域. 但在十八世纪以前， 数域扩大到复数域. 但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚， 数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人 们把复数看作不能接受的“虚数” 们把复数看作不能接受的“虚数”. 直到十八世纪， 直到十八世纪，J.D’Alembert与L.Euler等人逐 与 等人逐 步阐明了复数的几何意义和物理意义， 步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数 的概念， 的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学 等方面的一些问题. 复数才被人们广泛承认接受， 等方面的一些问题. 复数才被人们广泛承认接受， 复变函数论才能顺利建立和发展. 复变函数论才能顺利建立和发展.
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3. 共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x—iy 为z 的共轭复数. 共轭复数的性质
(1) ( z1 ± z 2 ) = z1 ± z 2
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对复变函数的一些重要知识点进行总结，以便读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
首先，我们来看一下复数的定义和性质。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。
复数可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
此外，复数还可以表示为极坐标形式z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
接下来，我们介绍复变函数的概念和性质。
复变函数是将复数域上的一个集合映射到另一个复数域上的函数，通常表示为f(z)。
复变函数可以进行加减乘除、求导、积分等运算，并且满足柯西—黎曼方程等一些重要的性质。
复变函数的导数也具有柯西—黎曼方程的性质，这是复变函数理论中的一个重要定理。
在复变函数中，解析函数是一个重要的概念。
解析函数是指在某个区域内可导的函数，并且在该区域内具有泰勒级数展开式。
解析函数具有许多重要的性质，比如在其定义域内是无穷次可微的，且导数也是解析函数。
解析函数在物理学、工程学、金融学等领域都有着广泛的应用。
复变函数中的积分也是一个重要的概念。
复变函数的积分可以分为定积分和不定积分两种。
定积分在复变函数中的计算通常采用路径积分的方法，而不定积分则可以通过换元法、分部积分法等方法进行计算。
复变函数的积分在物理学中有着重要的应用，比如在电磁学中的麦克斯韦方程中就包含了路径积分的概念。
最后，我们来看一下复变函数在实际应用中的一些例子。
复变函数在电路分析、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
比如在电路分析中，复变函数可以用来描述电路中的电压、电流等信号，从而进行电路的分析和设计。
在信号处理中，复变函数可以用来描述信号的频谱、相位等特性，从而进行信号的处理和分析。
复变函数的基本概念及运算
量子力学
复变函数在量子力学中用于描述 波函数，通过复数形式表达波函 数的实部和虚部。
电磁学
在电磁学中，复数形式的复变函 数被用于描述电场和磁场，以及 相关的波动现象。
光学
光学中的波动方程和麦克斯韦方 程组可以通过复数形式的复变函 数进行描述，解释了光的传播和 干涉等现象。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，复数形式的复变函数被用于描述交流电路中的电 压和电流，以及相关的频率响应和稳定性分析。
泰勒级数展开
01
泰勒级数展开是复变函数中一个重要的展开方法，它
可以将一个复杂的复变函数表示为一个无穷级数。
02
泰勒级数展开的一般形式为：f(z)=∑(n=0~∞)(z-
z0)^n/n!*f^(n)(z0)
03
其中，z0是展开点，f^(n)(z0)表示f(z)在z0点的n阶
导数。
洛朗兹级数展开
01
复变函数的复合运算
复合函数
设$f(z)$是一个复变函数，$g(w)$是一个 实变函数，且$g(w)$的值域包含在$f(z)$ 的定义域内，则复合函数$h(z) = f(g(w))$是定义在某个区间内的复变函数 。
VS
复合函数的导数
设$h(z) = f(g(w))$是复合函数，则复合 函数的导数定义为$(h'(z)) = (f'(g(w)) times g'(w))$。
除法
$frac{a + bi}{c + di} = frac{a+bi}{c+di} times frac{c-di}{c-di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，即复数域上的函数，是数学中重要的研究领域之一。
在复变函数的研究过程中，人们发现了许多有趣且重要的性质和定理。
本文将对复变函数的一些基本概念、性质以及常见定理进行总结，并探讨它们的应用。
一、复数的基本概念复数是由实部和虚部构成的，以形如a + bi的形式表示，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数域上的运算包括加法、减法、乘法和除法。
二、复变函数的定义与性质复变函数可看作是以复数为定义域和值域的函数。
复变函数的导数概念在复数域上进行推广，被称为复导数。
复导数的定义如下：设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是定义在某区域上的复变函数，若当点z在该区域内变动时，极限f'(z_0)=lim(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)在极限存在时，则称f(z)在z_0处可导。
复变函数的可导性与解析性密切相关。
如果一个函数在某区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
解析函数具有许多重要的性质，如可导函数的连续性和可微性。
三、柯西-黎曼方程与调和函数柯西-黎曼方程是解析函数的一个重要条件，其表达式为：∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x其中u(x, y)为解析函数的实部，v(x, y)为解析函数的虚部。
柯西-黎曼方程表明，解析函数的实部与虚部之间存在一定的关系。
调和函数是满足柯西-黎曼方程的实函数，它在物理学和工程学中应用广泛。
调和函数具有许多有趣的性质，如最大值原理和平均值性质。
四、复变函数的积分与实变函数类似，复变函数也存在积分的概念。
复积分常用路径积分表示，即沿着某条曲线对函数进行积分。
路径积分与路径有关，沿不同路径积分的结果可能不同。
当沿闭合路径进行积分时，根据柯西积分定理可知，对于解析函数来说，积分结果为0。
这是柯西积分定理的基本形式。
另外，在某些情况下，复积分可通过取局部极值来求解，这一方法称为留数法。
留数法是复变函数积分的一个重要工具，在计算复积分中发挥着重要的作用。
复变函数的基本概念与运算法则
复变函数的基本概念与运算法则复变函数是指定义在复数域上的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
复变函数在数学和工程学科中有着广泛的应用，特别是在复分析和电路理论中。
本文将介绍复变函数的基本概念和运算法则。
一、复变函数的定义与表示复变函数通常用f(z)来表示，其中z是复数变量。
复变函数可以写成两个实部和虚部表示的形式，即：f(z) = u(x,y) + iv(x,y)其中，u(x,y)和v(x,y)分别表示实部和虚部，x和y分别是z的实部和虚部。
二、复数域上的连续性与解析性复变函数的连续性指的是函数在复数域上的连续性，即如果lim(z→z0)f(z)=f(z0)，则称f(z)在z0处连续。
复变函数的解析性指的是函数在某个区域内可导，即函数的导数存在。
如果f(z)在某个区域内解析，则称f(z)在该区域内是光滑的。
复变函数的光滑性与它的连续性是有关系的，连续函数不一定是光滑的，但是光滑函数一定是连续的。
三、复变函数的运算法则1. 复变函数的加法和减法：设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)和g(z) = p(x,y) + iq(x,y)是两个复变函数，则它们的和与差分别为：f(z) ± g(z) = (u(x,y) ± p(x,y)) + i(v(x,y) ± q(x,y))2. 复变函数的乘法：设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)和g(z) = p(x,y) + iq(x,y)是两个复变函数，则它们的乘积为：f(z) * g(z) = (u(x,y) * p(x,y) - v(x,y) * q(x,y)) + i(u(x,y) * q(x,y) + v(x,y) * p(x,y))3. 复变函数的除法：设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)和g(z) = p(x,y) + iq(x,y)是两个复变函数，且g(z) ≠ 0，则它们的商为：f(z) / g(z) = [(u(x,y) * p(x,y) + v(x,y) * q(x,y)) + i(v(x,y) * p(x,y) - u(x,y) * q(x,y))] / [p^2(x,y) + q^2(x,y)]4. 复变函数的导数：设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，则它的导数为：f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x = ∂v/∂y - i∂u/∂y5. Cauchy-Riemann方程：对于复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，如果它满足以下条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x则该函数在某个区域内是解析的。
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数(全)
0
0
0
0
第二章
第一节 解析函数的概念
1.复变函数的导数与微分 (1) 导数的定义 设函数 w f ( z ) 定义于区域 D , z 为D 中的一点,点 z z 不超出 D 的范围,如 f ( z z ) f ( z ) 果极限 lim 存在, 那么就说 f ( z ) z z 的导数,记作 在 z 可导.这个极限值就称 f ( z ) 在 dw f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . dz z
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数 , 其中x, y 分别称为 z 的实部 和虚部,记作 x Re( z ), y Im( z ) . 当 x 0, y 0 时 , z iy 称 为 纯 虚 数 ; 当 y 0 时, x x i 0 可看作实数x .
如果存在z0 的一个邻域,该邻域内的所有点
G 的内点.如果 G 内的 z0 为 都属于G ,那么称 G 为开集. 每个点都是G 的内点,那么称
第四节 区
域
(3) 区域 D 满足下列 平面点集D 称为一个区域, 如果 两个条件: 1)D 是一个开集;
2)D 是连通的, 即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第一节 解析函数的概念
(3)求导法则:
f ( z) g ( z ) f ( z ) f ( z ) g ( z ) ] 5) [ g ( z) g 2 ( z)
6) { f [ g ( z )]} f ( w) g ( z ) , 其中 w g ( z ) 7)
复变函数的基本运算与性质
复变函数的基本运算与性质一、引言复变函数是数学中重要的概念之一，在很多科学领域中都有广泛的应用。
为了更好地理解复变函数，本文将探讨其基本运算与性质。
二、复变函数的定义复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。
若函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)是实函数，则称该函数为复变函数。
三、复变函数的基本四则运算1. 复变函数的加法：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)和g(z)=p(x,y)+iq(x,y)是两个复数函数，则它们的和为h(z)=f(z)+g(z)=(u+p)+(v+q)i。
2. 复变函数的减法：若f(z)和g(z)同上，则它们的差为h(z)=f(z)-g(z)=(u-p)+(v-q)i。
3. 复变函数的乘法：若f(z)和g(z)同上，则它们的乘积为h(z)=f(z)g(z)=(up-vq)+(uq+vp)i。
4. 复变函数的除法：若f(z)和g(z)同上，并且g(z)≠0，则它们的商为h(z)=f(z)/g(z)=[(up+vq)+(vp-uq)i]/(p^2+q^2)。
四、复变函数的导数与解析性1. 复变函数的导数：若f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内可导。
其导数可表示为f'(z)=lim((f(z+Δz)-f(z))/Δz)，其中Δz是趋于0的复数。
2. 复变函数的解析性：若f(z)在区域D内处处可导，并且导数f'(z)在D内连续，则称f(z)在D内解析。
五、复变函数的性质1. 复变函数的实部与虚部：对于f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部为u(x,y)，虚部为v(x,y)。
实部和虚部都是实函数，它们唯一确定了复变函数。
2. 复变函数的共轭函数：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则其共轭函数为f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)。
共轭函数与原函数有相同的实部，但虚部取负值。
复变函数1-2
28
充分性 : 如果 lim u ( x, y ) u0 ,
x x0 y y0
x x0 , y y 0
lim
v( x, y ) v0
即当0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 时，有
于是当0 | z z0 | 时, 有
单连通域
多连通域
12
第五节 复变函数
一、复变函数的概念
1.复变函数的定义:
设 G 是一个复数 z x iy 的集合. 如果有一 个确定的法则存在, 按这个法则, 对于集合 G 中的 每一个复数 z , 就有一个或几个复数 w u iv 与 之对应, 那末称复变数 w 是复变数 z 的函数 (简称 复变函数 ), 记作 w f ( z ).
cos t ,sin t在[0, 2 ]上连续
t1, t2 [0, 2 ], t1 t2时
若e e , 则t1 t2 2k ,(k 0, 1, 2,)
it1 it2
由t1 , t2 [0, 2 ],
t1 , t2只能取0与2 ,
故z eit 无重点
9
例3
7
Jordan曲线( 简单曲线):
设C : z z( t ) (a t b) 为一条连续曲线, z(a ) 与 z(b) 分别称为 C 的起点和终点.
对于满足a t1 b, a t2 b 的 t1与t2 , 当t1 t2 而有 z (t1 ) z (t2 ) 时, 点 z (t1 ) 称为曲线 C的重点.
z z0
29
注解：
四则运算：保持加、减乘除（分母不等于 零）
30
复变函数连续性的定义
复变函数的运算与性质
复变函数的运算与性质复变函数是指在复数域上定义的函数，具有实部和虚部两个分量。
与实函数相比，复变函数更加复杂且具有独特的性质。
本文将探讨复变函数的运算和性质，以帮助读者更好地理解和应用复变函数。
一、复变函数的定义复变函数是指定义在复平面上的函数$f(z)$，其中$z=x+iy$表示复平面上的点，$x$和$y$分别是$z$的实部和虚部。
复变函数可以分为解析函数和非解析函数两类。
解析函数是指在其定义域上处处可导的函数，非解析函数则是不具备这一性质的函数。
二、复变函数的四则运算1. 复变函数的加法设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的和可以表示为$h(z)=f(z)+g(z)$。
复变函数的加法满足交换律和结合律，即$h(z_1+z_2)=f(z_1)+g(z_1)+f(z_2)+g(z_2)$。
2. 复变函数的减法与加法类似，复变函数的减法也满足交换律和结合律。
设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的差可以表示为$h(z)=f(z)-g(z)$。
3. 复变函数的乘法设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的乘积可以表示为$h(z)=f(z) \cdot g(z)$。
复变函数的乘法满足交换律和结合律，即$h(z_1+z_2)=f(z_1) \cdot g(z_1)+f(z_2) \cdot g(z_2)$。
4. 复变函数的除法复变函数的除法需要注意分母不等于零的条件。
设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的商可以表示为$h(z)=\frac{f(z)}{g(z)}$。
同时，复变函数的除法也满足交换律和结合律，即$h(z_1+z_2)=\frac{f(z_1)}{g(z_1)}+\frac{f(z_2)}{g(z_2)}, g(z) \neq 0$。
三、复变函数的性质1. 实部和虚部是实函数对于一个复变函数$f(z)$，它的实部和虚部分别定义为$u(x,y)$和$v(x,y)$。
复变函数
解析函数的泰勒展开
充要：f(z)=∑f(n)(a)/n!*(z-a)^n
f(z)在a邻域解析
exp(z)=∑z^n/n!
例子
cosz=∑(-1)^n*z^2n/(2n)! sinz=∑(-1)^n*z^(2n+1)/(2n+1)!
ln(1+z)=∑(-1)^n*z^(n+1)/(n+1)!
分离（z-a)项
Res[f(z),∞]=-Res[1/z^2f(1/z),0]
留数及其应用
积分计算
∫R(cosθ,sinθ)dθ
z=exp(iθ) dθ=dz/izcosθ=1/2(z+1/z)sinθ=1/2i(z-1/z)
Q(x)在实轴无零点，且比P(x)至少高两次
有理函数积分∫P(x)/Q(x)dx
运算法则
exp(z)=exp(x)*(cosy+isiny)
求导：d(w_k)/dz=1/z
三角函数
cosz=(exp(iz)+exp(-iz))/2 sinz=(exp(iz)-exp(-iz))/2i
三角函数
双曲函数 反三角函数
coshz=(exp(z)+exp(-z))/2 sinhz=(exp(z)-exp(-z))/2
留数定理
定理：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a_k]，要在C上解析
Res[f(z),a]=a_-1
泰勒展开
Res[f(z),a]=1/(m-1)!limd^(m-1)/dz^(m-1)[(z-a)^mf(z)]
计算
一级极点
Res[P(z)/Q(z),a]=P(a)/Q'(a) P(a)≠0,Q(a)=0,Q'(a)≠0
复变函数重点知识点总结
复变函数重点知识点总结复变函数是数学分析中的一门重要课程，主要研究复数域上的函数。
复变函数具有许多特殊性质和重要应用，在数学、物理学等领域有广泛的运用。
以下是复变函数的一些重点知识点总结。
1.复变函数的定义及运算法则：-复变函数是定义在复数域上的函数，可以表示为f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，其中z=x+i*y为复数，u(x,y)和v(x,y)为实函数，分别称为f的实部和虚部。
-复变函数的加法、减法、乘法和除法运算法则与实数类似，可以进行复数的加减乘除运算。
-复变函数可以表示为级数形式，如幂级数、三角级数等。
2.复变函数的解析性：- 解析函数是指在其定义域内可导的函数，复变函数的解析性与其实部和虚部的连续性及Cauchy-Riemann条件密切相关。
- Cauchy-Riemann条件是解析函数必须满足的条件，即函数的实部和虚部的偏导数满足一定的关系。
-如果一个复变函数在其定义域内解析，则其在该域内无穷次可导，并且导数处处存在。
3.高阶导数及全纯函数：-复变函数的高阶导数可以通过对复变函数的导数进行重复求导得到。
-如果一个复变函数在其定义域内高阶导数均存在，则称该函数为全纯函数。
-全纯函数具有许多优良性质，如解析、无奇点等。
4. 路径积分及Cauchy定理：-路径积分是指沿着一条曲线对复变函数进行积分的操作，复变函数的路径积分与路径无关。
- Cauchy定理是复分析中的重要定理之一，它指出如果一个函数在一个简单连通区域内解析，那么它在该区域中的曲线积分等于零。
5.解析延拓及解析函数的唯一性定理：-解析延拓是指将一个函数的定义域扩展到更大的区域上，使得该函数在扩展后的区域内解析。
-解析函数的唯一性定理是指如果两个解析函数在一些区域内相等，那么它们在该区域内处处相等。
-解析函数的唯一性定理是复分析中的一个重要定理，它可以用于证明解析函数的存在性、奇点的性质等。
6.高阶亚纯函数及留数计算：-亚纯函数是指解析函数和有限阶极点函数的叠加，亚纯函数可以表示为f(z)=P(z)+Q(z)，其中P(z)为解析函数，Q(z)为有限阶极点函数。
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
w
u( ,) iv( ,) u(,) iv(,)
lim lim z0 z 0
( )e i
u(
lim x0
,)
u(,
)
i
v(
,)
v(,)
e
i
ei ( u i v )
二 复函数可导的必要条件
2 极坐标系的柯西――黎曼方程
w
u x
x
u y
y
1x
2y
i
(
v x
x
v y
y
3x
4y)
三 复函数可导的充分条件
证明：
其中当 x, y 0 时， 1 、 2 、 3 、 4 0 。 u 、 v 满足 C R 方程，
w
u x
x
v x
y
1x
2 y
i
(
v x
x
u x
y
3x
4y)
u
四 求导规则及初等函数的导数都与实变 函数的相应公式一致
6 单连域与复连域：一个区域 B，如果在其中 任作一简单闭合曲线，曲线内部总属于 B，就称为 单连通区域，反之称为复连通区域。如图所示。
y
y
y
单连通区域 x
复连通区域 x
区域的连通性
非连通区域 x
四 复变函数极限
定义 1：函数 f (z) 在 z0 点及其邻域内有定义，
如果存在复数 w0 ，对任意给定的 0 ，总能找到
本初等函数，而复反三角函数不是基本初等函数，可用 其它基本初等函数表示。
二 复变函数的定义
若在复数平面上存在点集 E ，对 E 的每个点 z x iy 都有复数 w u iv 与之对应，则称 w 为 z 的函数， z 为 w 的宗量，定义域为 E ，记为：
w f (z) u(x, y) iv(x, y) ， z E
第1章 复变函数
本章内容提要
1 复数与复数的运算 2 复变函数 3 复数的导数 4 解析函数 5 小结
一 复变函数积分定义 1 代数式 z x iy
2 三角式 z (cos i sin)
3 指数式
z ei 欧拉公式的证明
二 复数的几何意义
y z(x,y)或(ρ,φ)
ρ φ
x
复平面
6 幂函数: z s es ln z , ( s 为复数), 多值函数
一 基本初等函数的定义
7 三角函数
sin z 1 (eiz eiz ) , cos z 1 (eiz eiz ) , 周
2i
2
期为 2 ，实三角函数的一些重要公式在复三角函数中均
成立，复正弦、余弦函数值的模可以>1。
8 反三角函数 其定义与实反三角函数类似，但实反三角函数是基
(2) z 沿 一定的弧线 0 的情况, z ei iei 0, ( 0)
lim
z 0
w z
lim
0
u(,
)
iv(, ) iei
u(,)
iv( , )
lim ei
0
v(,
) v(,)
i
u(,
) u(,)
ei v u ( i )
三 复函数可导的充分条件
如果柯西—黎曼方程在 z 点处成立，且 u(x, y) 、 v(x, y) 在 z 点 的 一 阶 偏 导 数 存 在 并 连 续 ， 则 w f (z) u iv 在 z 点可导，其导数为：
为 f (z) 或 df 。 dz
二 复函数可导的必要条件
如果函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 B 中的
z 点可导，则 u,v 在 z 点必须满足以下的柯西—黎曼方
程（Cauchy-Riemann Equation）
u x
v y
v
u
x y
或
u
1 u
1 v
2 2
1 (cos i sin )ei
1
i
e 2
1
d
2z
2 2
2
2
2z dz
f (z)
2z C
2ei C
i
2e 2 C
2 (cos i sin ) C
2
2
u 2 cos C (1 cos) C x x2 y 2 C
2
二 解析函数的性质
2 “ u(x, y) 常数”和“ v(x, y) 常数”是相互正交的两
df u i v ，或 v i u ， dz x x y y
或 ( u i v )ei ，或 1 ( v i u )ei
三 复函数可导的充分条件
证明：
w f (z z) f (z)
u(x x, y y) u(x, y)
i[v(x x, y y) v(x, y)] u(x, y) ， v(x, y) 在 z 点的一阶导数存在且连续，
y0
iy
lim
v(x,
y0
y
y) y
v(x,
y)
i
u(x,
y
y) y
u(x,
y)
v i u y y
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程
(3)在 z 点可导，这两个极限必须相等，即： u v ， v u x y x y
二 复函数可导的必要条件
2 极坐标系的柯西――黎曼方程
2 x x2 y2 C
f (z)
2
cos
C
i
2 sin
2
2
2 (cos i sin ) C 2z C
2
2
二 解析函数的性质
解：方法二
v(x, y) 2 sin
2
df ( 1 v i v )ei [ 1 2 1 cos i 2 1 sin ]ei
dz
22
，m、n∈N+
3 指数函数： e z e xiy e x (cos y i sin y) ，周期 2i
一 基本初等函数的定义
4 双曲函数
sinh z 1 (e z ez ) , coshz 1 (e z ez ) , 周期
2
2
5 对数函数
ln z ln z eiArgz ln z iArgz ln i , 多值函数
同理，曲线 v(x, y) c2 在 A
y
点的法方向为
nv
v
i
x
v y
j 。由于
A(x,y)
nu
nv
u x
v x
u y
v y
u x
( u ) y
u y
(u ) x
0
u(x,y)=c1 曲 线
B(x+Δx,y+Δy)
x
所以“ u(x, y) 常数”和“ v(x, y) 常数”是相互
y)
i
v(x
x, y) x
v(x,
y)
u i v x x
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程
(2) z 沿竖直轴 0 的的情况, z iy 0, (x 0)
w
u(x, y y) iv(x, y y) u(x, y) iv(x, y)
lim lim
z z0
0 ， 使 得 ： 当 0 z z0 时 ， 恒 有
f (z0 ) w0 成立，则称当 z 趋近于 z0 时 f (z)
的极限为
w0
，记为
lim
zz0
f
(z)
w0 。
定义
2：如果 lim zz0
f (z)
f (z0 ) ，则称
f (z) 在
z0 点连续。 f (z) 在 z0 连续 u(x, y) 、 v(x, y) 在
曲线族。
证明：如图设 A、B 为曲线
u(x, y) c1 上 的 两 个 相 邻
点，则有：
y
A(x,y)
u(x,y)=c1 曲 线
B(x+Δx,y+Δy)
u(x, y) u(x x, y y) c1
x
u u(x x, y y) u(x, y) 0
u
u
dx
u
dy
( u
i
u
j)(dx i
2
u v 2
1
sin
sin
2 2
22
u 1 v 1 2 1 cos 1 cos 2 2 2 2
du u d u d 1 cos d sin d
2 2
22
2 cos d 2d cos 2d( cos )
2
2
2
二 解析函数的性质
解：方法一
u 2 cos C (1 cos) C cos C
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
ei 1 (i)n
i 2k
2k
i 2k1
2k 1
n0 n!
k0 (2k)!
v
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程
(1) z 沿水平轴 0 的情况， z x 0, (y 0)
lim w lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0 z x0
x
lim
u(
x
x 0
x, y) x
u(x,
dy
j)
0
x y
x y
二 解析函数的性质