高三理科复习线性规划学案

第二课时线性规划问题

一、学习目标

1. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

2. 会从实际问题情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。

二、要点梳理

1. 二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧所有点组成的_________.我们把直线画成虚线以表示区域______边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应____边界直线，则把边界直线画成_____.

(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都_____，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的_____即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.

2. 线性规划相关概念

3.

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

三、基础自测

1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是______________．

2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是_ ___

3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x －y ≥0，

2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为

4．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，则b －3

a －1

的最

大值为________.

四、典型例题

活动一：求目标函数的最值问题

例1、 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1

，

（1）设3z x y =-求z 的取值范围； （2）设z ＝y

x ，求z 的取值范围； （3）设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；

（4）z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围.

变式：若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，

x －my ＋1≥0，

且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________.

活动二：线性规划的简单应用

例2、某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

自己先做，再看格式！！

例3 解题导引 解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．

解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元， 由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤300，

500x ＋200y ≤90 000，

x ≥0，y ≥0.

目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .

二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤300，

5x ＋2y ≤900，

x

≥0，y ≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值．

由方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，

解得x ＝100，y ＝200.

所以点M 的坐标为(100,200)．

所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．

答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

第二课时巩固练习

1．若不等式组⎩⎨⎧

x ≥0，

x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4

3分为面积相等的两

部分，则k 的值是 .

2．设二元一次不等式组⎩⎨⎧

x ＋2y －19≥0，

x －y ＋8≥0，

2x ＋y －14≤0

所表示的平面区域为M ，使函数

y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是____________．

3．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧

0≤x ≤

2，

y ≤2，

x ≤2y

给定，若M (x ，

y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为______________．

4．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为________．

5．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧

x －y ＋2≥0，

x ＋y －4≥0，

2x －y －5≤0，

目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若取

最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是____________．

6．设不等式组⎩⎨⎧

2x ＋y －6≤0，

x ＋y －3≥0，

y ≤2

表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图