不定积分的性质与基本积分公式

10. ∫ csc2 xdx = −cot x + C .
11. ∫sec x ⋅ tan xdx = sec x + C.
12. ∫csc x ⋅ cot xdx = −csc x + C .
13. ∫
dx = arcsin x + C = −arccos x + C. 1− x2
14.
∫
1
dx +x
于是
d F (ϕ −1(u))
dx
=
F
′(
x)
⋅
ϕ
1 ′( x
)
=
g(ϕ
(Fra Baidu bibliotek
x))ϕ
′(
x)
⋅
ϕ
1 ′( x
)
=
g(u),
所以(2)式成立.
第二类换元积分法常用在 f (a2 − x2 ), f (a2 + x2 ),
f ( x2 − a2 ) 等类型的不定积分上, 对此可分别设
x = a sin t, x = a tan t, x = a sec t.
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
数:
s′(t) = v(t).
(ii) x3 是 x2 的一个原函数:
3
⎛ ⎜ ⎝
x3 3
⎞′ ⎟ ⎠
=
x2.
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(iii)ln( x + 1 + x2 ) 是 1 的一个原函数: 1+ x2
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证 (i) 由 (F ( x) + C )′ = F′( x) = f ( x), 知 F ( x) + C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数. (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) − G( x))′ = F ′( x) − G′( x) = f ( x) − f ( x) = 0.
例1 p( x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an , 则
∫ p( x)dx = a0 xn+1 + a1 xn +
n+1
n
+
a n−1 2
x2
+
an x
+
C.
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∫ ∫ 例2
x4 x2
+ +
1 1
dx
=
(x2
−1+
x
2 2+
1
)
dx
= 1 x3 − x + 2arctan x + C . 3
(3)
xα dx
=
α
1 +
1
d(xα
+1
);
(4)
cos xdx = d(sin x);
(5)
sin xdx = d(−cos x);
(6)
1 x
dx
=
d( ln
x
);
(7) sec2 x dx = d( tan x); (8)
dx 1+ x2
=
d(arctan x).
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∫ 例1
求
dx a2 + x2
又u = ϕ ( x)在[a,b]上可导，且α ≤ ϕ ( x) ≤ β , x ∈[a,b].
则 ∫ g(ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ g(u)du
= G(u) + C = G(ϕ ( x)) + C . (1) 证 因为 d G(ϕ ( x)) = G′(ϕ ( x))ϕ′( x) = g(ϕ ( x))ϕ′( x).
若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数, 则由定理 8.2,
∫ f (x) d x ={ F(x)+C C ∈R}.
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为方便起见, 我们记 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C. 其中
C 为任意常数.
由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得:
∫ x2dx = 1 x3 + C,
2t
⎞ ⎟⎠
+
C
=
a2 2
⎛ ⎜ ⎜⎝
arcsin
x a
+
x a
1
−
⎛ ⎜⎝
x a
⎞2 ⎟⎠
⎞ ⎟ ⎟⎠
+
C
=
1 2
⎛ ⎜⎝
a2
x x
dx
=
∫
d(sin x 1 − sin2
) x
=
1 ln
1 + sin
x
+
C.
2 1 − sin x
(解法二) ∫ sec
xdx
=
∫
sec x(sec x + tan sec x + tan x
x)
dx
=
∫
d(sec x + tan x) sec x + tan x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
例3 ∫ tan2 x dx = ∫ (sec2 x − 1)dx = tan x − x + C.
∫ ∫ 例4 (10x − 10− x )2dx = (102x + 10−2x − 2)dx
∫= [(102 )x + (10−2 )x − 2]dx
= 1 (102x − 10−2x ) − 2 x + C . 2 ln10
1
1 − x2 2d(x2 )
2
( ) ( ) ∫ = − 1
1
1 − x2 2d 1 − x2
2
( ) = − 1 ⋅ 2 1 − x2
3
2+ C
23
( ) = − 1 1 − x2
3
2+ C.
3
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例4 求∫ sin3 xdx.
解 ∫ sin3 x dx = ∫ sin2 x sin x dx
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∫ 例7 求 a2 − x2dx (a > 0).
解 设 x = a sin t, | t |< π , 2
∫ ∫ a2 − x2 dx = a cos t d(a sin t)
∫ ∫ = a2
cos 2 t
dt
=
a2 2
(1 + cos 2t)dt
=
a2 2
⎛ ⎜⎝
t
+
1 2
sin
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F(x) − G(x) ≡ C.
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二、不定积分
定义2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f
在 I 上的不定积分, 记作
∫ f ( x)dx ,
其中称 x 为积分变量, f ( x) 为被积函数,
f ( x)dx 为积分表达式,∫ 为积分号.
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这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 在原函数,它是否惟一? 2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 来?
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第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函 数 F, 即
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
∫ g(ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ g(ϕ( x))dϕ( x) = G(ϕ( x)) + C,
其中 G′(u) = g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx = d(ax);
(2) dx = d( x + a);
2
= arctan x + C
=
−arccot x + C.
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由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f + k2g 在 I上也存在原函数, 且
∫ ∫ ∫ ( k1 f ( x) + k2g( x) )dx = k1 f ( x)dx + k2 g( x)dx.
(2)
证 在ϕ′( x) ≠ 0 的条件下, 必有 ϕ′( x) > 0 , x ∈[a,b]
或 ϕ′( x) < 0, x ∈[a,b]. 因此 u = ϕ ( x) 是严格单调
函数,从而 u = ϕ ( x) 存在反函数 x = ϕ −1(u), 且
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dx = 1
.
du ϕ ′( x) x=ϕ −1(u)
= −∫ (1 − cos2 x)dcos x
= − cos x + 1 cos3 x + C . 3
例5
求
∫
dx x ln
x
.
解
∫
dx x ln x
=∫
d( ln x) ln x
= ln ln x + C.
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例6 求∫sec xdx.
解
(解法一)
∫ sec
xdx
=
∫
cos cos2
α +1
4. ∫ 1xdx = ln | x | +C.
∫5. exdx = ex + C . ∫6. a xdx = a x + C .
ln a
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7. ∫ cos xdx = sin x + C.
8. ∫ sin xdx = −cos x + C.
9. ∫ sec2 xdx = tan x + C .
∫ s (t ) = v0 dt = v0 t + C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) = v0(t − t0 ) + s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. ∫ 0dx = C.
2. ∫1dx = ∫dx =x + C. ∫3. xαdx = xα+1 + C (α ≠ −1, x > 0).
(a > 0).
解
∫ ∫ dx a2 + x2
=
1 a
d⎜⎛ ⎝
x a
⎟⎞ ⎠
1 + ⎜⎛ x ⎟⎞2
⎝a⎠
=
1 a
∫
1
du + u2
= 1 arctan u + C a
= 1 arctan x + C.
a
a
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∫ 例2 求
dx x2 − a2
(a ≠ 0).
解
∫
dx x2 − a2
=
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§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法
三、分部积分法
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一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
设 g (u) 在 [α , β ] 上有定义，且∫ g(u)du = G(u) + C.
( ) ln( x + 1 + x2 ) ′ = 1 . 1+ x2
( ) (iv)
1 2
x
1 − x2 + arcsin x 是
1 − x2 的一个原函数 :
( ) ⎡1
⎢⎣ 2
x
1−
x2
+ arcsin x
⎤ ⎥⎦
′
=
1− x2 .
从(iii) (iv)可以看出, 尽管象
1 和 1− x2 1+ x2
s(t), 使 s′(t) = v(t).
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y = f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ′( x) = k( x).
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定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若
F ′( x) = f ( x)， x ∈ I ,
3
∫ dx = ln( x + 1 + x2 ) + C, 1+ x2
( ) ∫ 1 − x2dx = 1 x 1 − x2 + arcsin x + C. 2 前页 后页 返回
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
F ′( x) = f ( x). 在第九章中将证明此定理.
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定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 (i) F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数. (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
所有的积分曲线都是
y
y = F(x)+ C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y = F(x) i ( x0 , y0 )
O
x
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满足条件 F ( x0 ) = y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
+C
.
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二、第二换元积分法
定理8.5 (第二换元积分法)
若 g(u) 在 [α , β ] 上有定义, u = ϕ ( x)在[a,b]上可导,
ϕ′( x) ≠ 0, 且∫ g(ϕ( x))ϕ′( x)dx = F ( x) + C,
则
∫ g(u)du = F (ϕ −1(u)) + C .
1 2a
∫
⎛ ⎜⎝
1 x−a
−
1 x+a
⎞ ⎟⎠
dx
=
1 2a
∫
d(x − a) x−a
−
1 2a
∫
d(x + a) x+a
=
1 2a
ln
|
x
−
a
|
−
1 2a
ln
|
x
+
a
|
= 1 ln x − a + C. 2a x + a
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例3 求∫ x 1 − x2dx.
( ) ∫ ∫ 解
x 1 − x2dx = 1
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
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一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ′( x) = f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求