对称性与代数方程的公式解

对称性与代数方程的公式解

一元二次方程的根满足维达定理

212120

x ax b x x a

x x b

++=+=-=

很明显12,x x 具有对称性2Z 2Z 具有两个1维不可约表示11

11-，表示基底可以由12,x x 构造，即

12

12x x x x +-，这两个表示基可以用来构造不变表示的基

()2

1122212()y x x y x x =+=-

可以用方程系数表示出来()1222124x x a

x x a b +=--=-，因此

1212x x a

x x +=--=

12x x =，

一元三次方程的根满足维达定理

321231223311230

x ax bx c x x x a

x x x x x x b

x x x c +++=++=-++==-

很明显123,,x x x 具有对称性3S

3S 具有不变子群3Z ，且332S /Z Z ≈

3Z 具有三个1维不可约表示22111

11ωωωω

，表示基底可以由123,x x x ,构造，即

0123

2112322123

y x x x y x x x y x x x ωωωω=++=++=++，后两个表示基可以用来构造不变表示的基

3211231223311233222212312233132123122331123322221231223313(1)(()()3)

()3()()

3(1)(()()3)

()3()()

y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωω=-++++-+++-+++=--++++-+++++++ 令2221122331

222

2122331z x x x x x x z x x x x x x =++=++，可知12x x ↔时，12z z ↔

即12z z ，承载了2Z 群的忠实表示，可以用他们构造不可约表示基，对应于

1212(1,2)

1

111e z z z z +--可以通过幂函数构造不变表示212()z z -，有

12122331123123()()3z z x x x x x x x x x x x x +=++++-

22212123123123123123122331222

122331123122331(-)27()4()18()()()()4()z z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--++++++++++++-++于是开根方可以求解12z z -，求出12z z ，

代入可以计算3312

,y y ，开3次根求出12y y ，，结合0y 解三元1次方程求出123,,x x x

一元4次方程求解

一元4次方程的根满足维达定理

432123412233441243112323434141212340

x ax bx cx d x x x x a

x x x x x x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x c

x x x x d

++++=+++=-+++++=+++=-=

很明显1234,,,x x x x 具有对称性4S

4S 有正规子群4V ，443S /V S ≈；3S 有正规子群3Z ，332S /Z Z ≈

4V =(e,(12)(34),(13)(24),(14)(23))具有4个1维不可约表示

1234

1234

1234

1234

(12)(34)(13)(24)(14)(23)1111111111111111e x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-----+-----+--表示基

第一个已经是不变表示，后三个表示基可以用来构造不变表示的基

411422

433

z y z y z y === 由此构造3S 的不变量

2212342234531223312222422-16 a b + 32 b + 40 a c - 160 d

64 a b - 256 a b + 256 b + 64 a c - 640 a b c + 1024 a b c + 64 a c + 1024 b c - 640 a d + 5120 a b d - 8192 b d - 3584 a c d +z z z z z z z z z ++=++=2

752334123624222233348642 7168 d =-512 a b c + 3584 a b c - 8192 a b c + 6144 a b c + 2048 a c - 10240 a b c + 12288 a b c - 5632 a c + 16384 a b c + 4096 c + 512 a d - 2048 a b d -

4096 a b d + z z z 23453222242222223

24576 a b d - 24576 b d - 19456 a c d + 110592 a b c d - 147456 a b c d + 18432 a c d - 98304 b c d + 57344 a d -

344064 a b d + 491520 b d +

73728 a c d - 98304 d

因此123,,z z z 是一元三次方程