三维图形学_孔斯、贝齐埃曲线曲面的描述函数

1.贝齐埃曲线的定义
设有n+1个控制点Pi，则贝齐埃曲线的矢量形式为
n
P(u) Pi Bi,n (u)
(1)
i0
其中,参数ｕ的取值范围是u∈［0,1］；
Bi i,n(u)＝C(n,i)·ui·(1-u)n- 是贝齐埃基函数 而 C(ｎ,ｉ)＝ n! 为二项式系数。
i!(n i)!
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编程中要区 别这两个不 同的概念。
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3.双线性曲面（了解） 双线性曲面片的矩阵表达式为
P(u, w) [(1 u)
u]PP1000
P01 1 w
P11
w
可以验算该曲面的四周边线为直线，见下图。
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4.单线性曲面（了解） 若已知两条边界曲线是P(u,0)与P(u,1),则单线 性曲面可定义为
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2.贝齐埃曲线程序清单与绘图实例
贝齐埃曲线程序清单见课件演示程序， 绘图效果见下图。
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3.贝齐埃曲线的性质（1）
(1)端点特性:指曲线在起点与终点的位置与导数关系等
P(0)=P0
P(1)=Pn
P’(0)=n(P1-P0)
P’(1)=n(Pn-Pn-1)
P”(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0) P”(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2)
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3.贝齐埃曲线的性质（2）
(2)对称性：控制点次序反向，画图方向亦反向。 (3)凸包性：曲线的形状与特征多边形保持一致,红 线范围
P(u,w)=P(u,0)(1-w)+P(u,1)w
该曲面的形状见下图。
注：P(u,0)， P(u,1) 一般是参数u的三次 多项式。
同理可以定义单线性曲面 P(u,w)=P(0,w)(1-u)+P(1,w)u
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§9.2.2 贝齐埃(Bézier)曲线与曲面
（1）故有二次、三次曲线表达式
1 2 1P0
P(u) [u 2 u 1] 2
2
0
P1
1 0 0P2
1 3 3 1P0
P(u) [u3
u2
u
1]
3
6
3
0
P1
3 3
1
0
0 0
0 0
P2 P3
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(2)贝齐埃曲线(分段曲线)在拼接点处达到一阶导数、 二阶导数连续的条件
§9.2 常用曲线曲面的描述函数
曲面物体的扫描表示法、边界表示法、放样表示法 等都要求建立曲面片的描述函数，才能用它们拼接构 建一个完整的曲面物体的模型。曲面的基础是曲线， 受课时限制，仅有选择的介绍部分曲线曲面。
样条曲线：用低阶分段曲线拼成一条整段曲线。 样条曲面：用低阶面片拼成整块曲面。 分类：一类曲线用于数值分析，如二维图形学介绍 的三次样条曲线与三次参数样条曲线，主要描述物体 的运动方程与运动轨迹，这里不再介绍了。
(u,w)
O
U
参数定义域
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2.平面片的双参表达式（重点掌握 平面片是孔斯双三次曲面片的退化表示，它在纹理 显示中有应用价值。它的表达式为
P(u,w)=P00+ur+ws, u,w∈[0,1] 见图，它表示平面片过P00点且平行于向量r，s。
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位置向量与 方向向量，
一阶导数连续，见图。
拼接点处要三点共线，另两点分别在拼接点两侧
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二阶导数连续： 要使两曲线达到二阶导数连续的充分必要条件是：
在其一阶导数连续的条件下,再满足 ①密切平面重合,副法线矢量同向； ②曲率相等。
满足这些条件、且曲线形状控制自如的贝齐埃 曲线一般为6、7次多项式的表达形式，因而情况 很复杂，因为又有比该曲线性能更好的曲线，故 不再介绍。
另一类曲线曲面用于物体外表形状的交互设 计，这是本小节的主要内容。
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§9.2.1 孔斯（Coons）曲面
孔斯曲面的特点：用双参方式定义曲面片，
曲面的构造方法优美、直观；多个曲面片拼
合在一起以描述一个物体的整体边界。
现已很少用它构造复杂曲面体，但它在平
面与线性曲面中还有重要应用。
令u=1/3，有右图效果。 用此能进行求交运算
人们常利用u=1/2，求出 贝齐埃曲线上的各点，画贝
P1
P11
P02
P03
P01
P2
P12 P21
齐埃曲线。
P0
P3
图1－16 德卡斯特里奥算法递
推三角形的几何关系
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4.常用的二、三次贝齐埃曲线表达式
工程中，只要能满足一阶、二阶导数连续的 曲线，即可满足大部分应用的需要。
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3.贝齐埃曲线的性质（3） (4)几何不变性：控制点旋转,曲线也旋转,但形状不变 (5)全局控制性：一点移动，全线变形。
(6)变差缩减性：在平面内，任意直线与该曲线的交 点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。
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1.孔斯参数曲面片表达式（了解）
双参曲面片
P=P(u,w)
一般为双参u,w的三次多项式
u,w∈[0,1]
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1.定义在矩形 参数域上的孔斯 双参曲面片
双参曲面片 P=P(u,w) u,w∈[0,1]
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W
(1,1)
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n
P(u) Pi Bi,n (u)
(1)
i0
把(1)式写成标量形式
x(u) xi Bi,n (u)
y(u) yi Bi,n (u)
(2)
z(u) zi Bi,n (u)
特征多边形：把其控制点Pi依次用直线连接， 称贝齐埃曲线的特征多边形，它可反映该曲线 的大致形状。
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3.贝齐埃曲线的性质（4）
(7)曲线的可分割性(重要特性)：
当n＝3时，有
P10(u)=(1-u)P0+uP1; P11(u)=(1-u)P1+uP2; P12(u)=(1-u)P2+uP3;
P20(u)=(1-u)P10+uP11(u) P21(u)=(1-u)P11+uP12(u) P30(u)=(1-u)P20+uP21(u)