函数的极限(定义及性质)ppt课件
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极限的定义PPT课件
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
第19页/共27页
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
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高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
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1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
《高数极限》课件
答案4
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
函数的极限-课件
函数的极限-PPT课件
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
函数的极限函数的连续性PPT教学课件
一暴（ pu） 十寒：
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
函数极限PPT课件
有|f(x)-A|<e
例例33 证 明 lim (2x -1) 1 x1
证明 因为e 0 de /2 当0|x-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2x -1) 1 x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
所以
lim
x x0
x
x0
分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
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结束
铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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铃
函数的极限PPT课件
详细描述
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
函数的极限定义及性质(共9张PPT)
两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如， f ( x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
函数的极限定义及性质
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
函数的极限(左右极限)ppt课件
记作： lim f (x) a x
◆定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋 向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,
记作： lim f (x) a
x
3
◆定义(3)
如果 lim f (x) a且 lim f (x) a
限是4．记作：limx 2 4 x 2 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从
左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．7
2. 考察函数 y x 2 1 （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
不等于1）时，函数的变化趋势
（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y 4 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 ……
y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 ……
y 4 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
函数在一点处的极限与左、右极限的定义 10
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如
果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，
函 数 f(x) 的 极 限 是 a ， 记 作 f(x)→a。
lim f( x) a 或 当 x→x0 时
x x 0
（2）lim f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
xx0
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函数的极限（定义及性质）
对 y f (x) , 自变量变化过程的六种形式:
(1) x x0 (2) x x0 (3) x x0
本节内容 :
(4) x (5) x (6) x
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
A f (x) A
几何解释:
y A
A
y f (x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线 y f (x) 的水平渐近线 .
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两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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内容小结
1. 函数极限的" " 或" X " 定义
2. 函数极限的性质: 保号性定理
思考与练习
与左右极限等价定理
1. 若极限 lim
x x0
f (x) 存在,
是否一定有 lim
x x0
f (x)
f (x0 )
？
2. 设函数 f (x)
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，f (x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
(A<0)
使当x U (x0 , )时, f (x) 0.
( f (x) 0)
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性.
若
lim
x x0
f
(x)
A,
且A>
0,
则存在
U (x0 , ),
(A<0)
使当x U (x0 , )时, f (x) 0.
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
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例. 给定函数
f
(x)
x 1, 0,
x0 x0
x 1 , x 0
y y x1
1
O 1 x y x 1
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
a x2, 2x 1,
x 1 x 1
且
lim
x1
f
(x)
存在,
则
a 3 .
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1. x x0 时函数极限的定义
lim f (x) A 或 f (x) A (当x x0 )
x x0
0 , 0 , 当 x U (x0 , ) 时, 有
f (x) A
y
A
A
A
y f (x)
x0
x
几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
( f (x) 0)
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推论 若在 x0的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
lim f (x) A , 则 A 0.
( f (x) 0)
x x0
(A 0)
思考: 若条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如 lim x2 0
x0
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x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性.
若
lim
x x0
f
(x)
A,
且A>
0,
则存在
U (x0 , ),
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :ຫໍສະໝຸດ f(x0)
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
结论：
lim f (x) A
x x0
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若
0 , X 0 ,当 x X 时, 有 f (x) A , 则称常数
A 为函数 f (x)当 x 时的极限, 记作
lim f (x) A 或 f (x) A (当x )
x
x X 或x X
对 y f (x) , 自变量变化过程的六种形式:
(1) x x0 (2) x x0 (3) x x0
本节内容 :
(4) x (5) x (6) x
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
A f (x) A
几何解释:
y A
A
y f (x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线 y f (x) 的水平渐近线 .
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两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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内容小结
1. 函数极限的" " 或" X " 定义
2. 函数极限的性质: 保号性定理
思考与练习
与左右极限等价定理
1. 若极限 lim
x x0
f (x) 存在,
是否一定有 lim
x x0
f (x)
f (x0 )
？
2. 设函数 f (x)
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，f (x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
(A<0)
使当x U (x0 , )时, f (x) 0.
( f (x) 0)
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性.
若
lim
x x0
f
(x)
A,
且A>
0,
则存在
U (x0 , ),
(A<0)
使当x U (x0 , )时, f (x) 0.
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
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例. 给定函数
f
(x)
x 1, 0,
x0 x0
x 1 , x 0
y y x1
1
O 1 x y x 1
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
a x2, 2x 1,
x 1 x 1
且
lim
x1
f
(x)
存在,
则
a 3 .
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1. x x0 时函数极限的定义
lim f (x) A 或 f (x) A (当x x0 )
x x0
0 , 0 , 当 x U (x0 , ) 时, 有
f (x) A
y
A
A
A
y f (x)
x0
x
几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
( f (x) 0)
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推论 若在 x0的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
lim f (x) A , 则 A 0.
( f (x) 0)
x x0
(A 0)
思考: 若条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如 lim x2 0
x0
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x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性.
若
lim
x x0
f
(x)
A,
且A>
0,
则存在
U (x0 , ),
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :ຫໍສະໝຸດ f(x0)
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
结论：
lim f (x) A
x x0
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若
0 , X 0 ,当 x X 时, 有 f (x) A , 则称常数
A 为函数 f (x)当 x 时的极限, 记作
lim f (x) A 或 f (x) A (当x )
x
x X 或x X