很全抛物线焦点弦的有关结论附答案
专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论试题及答案
专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用专题21 抛物线的焦点弦微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用 【微点综述】在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．本文对此作一些介绍． 一、常用结论不妨设抛物线方程为()220y px p =>，如图1，准线2px =-与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为原点，α为AB 与对称轴正向所成的角，AB 的中点为C ，又作111,,AA l BB l CC l ⊥⊥⊥，垂足分别为111,,A B C ，则有如下结论（1）～（9）：（1）221212,4p x x y y p ==-． （2）焦半径长公式：12,22p pAF x BF x =+=+（坐标式）；夹角式：,1cos 1cos p pAF BF αα==-+（A 在x 轴上方，B 在x 轴下方）．（3）焦点弦长公式：1222,sin pAB x x p AB α=++=．（4）通径长公式：2AB p =（通径最短）．（5）AF ，BF 的数量关系：22112,sin 2p AB p AF BF AF BF p α⋅+=⋅==． （6）三角形AOB 的面积：2,2sin AOF AOBBOF AF S p S S BFα==△△△． （7）中点弦斜率：若AB 斜率为k ，()00,C x y ，则0pk y =． （8）直线,PA PB 的斜率之和为零0PA PB k k +=，即APF BPF ∠=∠． （9）焦点弦与圆有关的结论，如图2， ①以AB 为直径的圆M 与准线相切； ①以AF 为直径的圆C 与y 轴相切； ①以BF 为直径的圆D 与y 轴相切；①分别以,,AB AF BF 为直径的圆之间的关系：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M 相内切．（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论，如图3，①以AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影1M 与,A B 两点的连线互相垂直，即11M A M B ⊥；①以AF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影1C 与,A F 两点的连线互相垂直，即11C A C F ⊥；①以BF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影1D 与,B F 两点的连线互相垂直，即11D B D F ⊥；①以11A B 为直径的圆必过原点，即11A F B F ⊥； ①1M F AB ⊥．（11）点1,,A O B 三点共线；点1,,A O B 三点共线．（12）如图4，点A ，B 是抛物线()20y px p =>，O 为原点，若90AOB ∠=︒，则直线AB 过定点()2,0p ．图4证明：（1）因为焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：2220ky py kp --=，212122,p y y y y p k ∴+==-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==．当AB x ⊥轴时，直线AB 方程为2p x =，则1y p =，2y p =-，①212y y p =-，同上也有：2124p x x =．（2）由抛物线的定义易得1112,22p p AF AA x BF BB x ==+==+． 又()1cos ,1cos A F p AF AA p x x p AF AF αα==+-=+∴=-，同理可证1cos pBF α=+．（3）由（2）可得弦长：121222,221cos 1cos sin p p p p pAB AF BF x x x x p AB AF BF ααα=+=+++=++=+=+=-+．（4）当AB x ⊥轴时，直线AB 方程为2px =，则1y p =，2y p =-，①通径长公式：2AB p =． （5）由212122,py y y y p k+==-，得()()2222221212121222222222p p k p y y y y y y k x x p p p k ⎛⎫+ ⎪++-+⎝⎭+====，又()()22221212121212,42224424p p p p p p p p x x AF BF x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=∴⋅=++=+++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21222222sin sin p p p p x x p αα=++=⋅=， 222112sin 2sin AF BF AB p AF BF AF BF AF BF p pαα++===⋅=⋅⋅． （6）点O 到直线AB 的距离d 就是的AOB ∆高，sin 2p h d α===， 221112sin 2,122sin 22sin 2AOF AOB BOFAF d AF S p p pS AB h S BF BF d ααα⋅⋅∴=⋅=⋅⋅===⋅⋅△△△． （7）2211222,2y px y px ==，由点差法得()()()()221212121212121212022,2,y y p py y p x x y y y y p x x k x x y y y --=-∴+-=-∴===-+．（8）()()1122,,,,,02p A x y B x y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，122112121222222222PA PBp p p p k x x k x x y y k k p p p p x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴+=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 分子2221221122202222242p p p p p p p k x x k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴直线,PA PB 的斜率之和为零：0PA PB k k +=，即APF BPF ∠=∠．（9）①如图2，过M 点作1MM l ⊥于1M ，则1MM 是梯形11AA B B 的中位线，由抛物线的定义知()()11111111,,222AA AF BB BF MM AA BB AF BF AB ==∴=+=+=， 即以AB 为直径的圆M 与准线相切，同理可证①，①． ①,AF BF AB +=∴分别以,,AB AF BF 为直径的圆有以下关系：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M 相内切．（10）①准线与圆M 相切，∴圆M 的圆心在准线上的射影1M 就是切点，直径所对的圆周角是直角，11M A M B ∴⊥．同理可证①，①：1111,C A C F D B D F ⊥⊥． ①由抛物线的定义知11,AA AF BB BF ==，1BB //NF //1111,AA AA F AFA A FN ∴∠=∠=∠， 111BB F BFB B FN ∠=∠=∠，而111111,2AFA A FN BFB B FN A FN NFB π∠+∠+∠+∠=π∴∠+∠=，即11A F B F ⊥． ①易知10,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11010,0,,,1,2M F AB M F AB y p p F k k k k M F AB p y ⎛⎫∴=-=∴⋅=-∴⊥ ⎪⎝⎭．（11）由（1）知2222221221212122224422,,44OAy y x y p p p p x x y y p k x y x y y p----==-∴==÷===．1221122,,,,22OB OA y y p BB l B y k k p p -⎛⎫⊥∴-∴===∴⎪⎝⎭-点1,,A O B 三点共线．同理可证：点1,,A O B 三点共线．（12）11,1,1,1OA OB OA OB k k st t s⊥∴⋅=-∴⋅=-∴=-．设()()222,2,2,2A pt pt B ps ps ，则()()22212AB p s t k s t p s t -==+-，直线AB 方程为()2122y pt x pt s t-=-+， 即()222212,,,2x pt x pst x p y pt y y y x p s t s t s t s t s t s t s t-=+-∴=+∴=+∴=-+++++++，∴直线AB 过定点()2,0p ． 二、应用举例例1．（2022太原一模）1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点，若AB =6，则AOB ∆的面积为A B ．C ．D ．4例2．（2022晋中二模）2．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 坐标原点，若AOB 的面积为AB = A ．24B ．8C ．12D ．163．过抛物线2y ax =(>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于 A ．2B ．12aC ．4aD ．4a4．直线过抛物线24y x =的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，A 在x 轴上方，若=5AF ，求BF ．5．直线过抛物线24y x =的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，A 在x 轴上方，直线倾斜角为60︒，求OAFS．6．若抛物线23y x =，过焦点F 作倾斜角为30的直线与抛物线交于A ，B ，求AB ． 7．直线过抛物线22y x =的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，若25=12AB AF BF <，，求AF ．8．若抛物线24y x =，过焦点F 作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于A ，B 和C ，D ，求()min AB CD +．9．若抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于A ，B ，若=3AF BF ，求直线l 方程．10．若抛物线23y x =，过焦点F 且倾斜角为30的直线交抛物线于A ，B 两点，求OABS．11．斜率为k 的直线过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，O 为原点，M 为AB 中点，且2OFMS =，求k ．【强化训练】（2022·云南玉溪·高二期末）12．直线10x -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．B ．8C ．D ．1613．过抛物线24y x =的焦点F 的直线与其交于A ，B 两点，AF BF >，如果5AF =，那么BF =（ ）A B ．54C ．52D ．3214．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则11AB CD+=（ ） A ．2 B ．4 C ．12D ．1415．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 A ．24y x =或 28y x = B ．22y x =或 28y x = C ．24y x =或 216y x = D ．22y x =或 216y x =（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）16．已知直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点，并且与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，若()02,M y 为线段AB 的中点，则||AB 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8（2022·广东佛山·模拟预测）17．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点且斜率为l 与抛物线C 交于A ，B （A 在B 的上方）两点，若AF BF λ=，则λ的值为（ ）AB C ．2D 18．已知抛物线2:8W x y =-，点()11,A x y ，()22,B x y 是曲线W 上两点，若128y y +=-，则AB 的最大值为（ ） A ．10B ．14C ．12D ．16（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）19．已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ） A ．2B ．83C ．103D ．4（2022全国·高二月考） 20．已知抛物线C ①214y x =，过抛物线焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线y =x -2于E ，F 两点，则|EF |的最小值（ ）A ．253B ．3C ．12825D （2022·辽宁实验中学模拟预测）21．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，准线为l ，过点A 作1AA l ⊥，垂足为1A ，1A AF ∠的角平分线交l 于点M ，过B 作抛物线的切线交l 于点N ，则MN =_________．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测）22．已知抛物线C ：22y px =（p >0）的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，与抛物线C 的准线交于点E ，若2AB EF =，则p ＝________. （2022·江苏南通·高二期末）23．直线l 过抛物线()220x py p =>的焦点为()0,1F ，且与抛物线交于A 、B 两点，则2AF BF-的最小值为_______． （2022·四川省内江市第六中学高二月考）24．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()3,6，圆222:680C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆依次交于P ，M ，N ，Q ，则3PN QM +的最小值为___________.（2022·广东广州·高二期末）25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线l 与抛物线C 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若124y y +=，则线段PQ 的长度为__________． （2022·全国·高二月考）26．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点M N ，在抛物线上，且M N F ，，三点共线;点P 在准线上，PN NM = ，则pMF= __． 27．已知抛物线()2:20C x py p =>，直线l 经过抛物线C 的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且4MN =． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知点()2,1P ，直线():2m y k x =+与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，设直线P A 与直线PB 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k ⋅为定值． （2022·湖南衡阳·三模）28．已知抛物线C ：()20y ax a =>的焦点是F ，若过焦点F 的直线与C 相交于A ，B 两点，所得弦长AB 的最小值为2． (1)求实数a 的值；(2)设P ，Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点，且以线段PQ 为直径的圆经过点O ，作OM PQ ⊥，M 为垂足，试探究是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，则求出该定点N 的坐标及定值MN ，若不存在，请说明理由． （2022·河北秦皇岛·三模）29．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点M 与焦点F 的距离为9，点M 到x 轴的距离为．(1)求抛物线C 的方程．(2)经过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，E 为直线=1x -上任意一点，证明：直线,,EA EF EB 的斜率成等差数列．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N ．(1)求证：||||PM NQ =；(2)若线段NP 上的任意一点均在以点Q 为圆心、线段QO 长为半径的圆内或圆上，若≤NABSp 的取值范围；（2022·江苏·扬州中学模拟预测）31．已知抛物线H ：()220y px p =>的焦点为F ，抛物线H 上的一点M 的横坐标为5，O 为坐标原点.2cos 3OFM ∠=-.(1)求抛物线H 的方程；(2)若一直线经过抛物线H 的焦点F ，与抛物线H 交于A ，B 两点，点C 为直线=1x -上的动点，求证：π2ACB ∠≤. （2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）32．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点FA 、B 两点（点A 在第一象限），交抛物线准线于G ，且满足83BG =． (1)求抛物线的标准方程；(2)已知C ，D 为抛物线上的动点，且OC OD ⊥，求证直线CD 过定点P ，并求出P 点坐标；(3)在（2）的条件下，求PC PD ⋅的最大值． （2022·江苏南京·模拟预测）33．已知圆F ：()2221x y -+=，动圆P 与圆F 内切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；(2)若直线l 过点F ，且与E 交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，满足MA AF λ=，MF FB μ=（0λ>，0μ>），试探究λ与μ的关系．参考答案：1．A【详解】解：设直线AB 的方程为：()1y k x =- ，与抛物线方程联立可得：2440y y k--= ，则：12y y -==，21221416,2y y k k ⎛⎫-=+=∴= ⎪⎝⎭，三角形的面积为：1211122S OF y y =⨯⨯-=⨯=.本题选择A 选项. 2．A【详解】抛物线24y x = 的焦点F 坐标为(10)F ，,过焦点(10)F ，的直线设为1x my =+ ,设1122(,),(,)A x y B x y ,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩ 有2440y my --= ,所以有121244{y y my y +==- ,由1211122AOB S OF y y ∆=⋅⋅-=⋅,所以有m =,1224AB y =-== ,故选A. 3．C【分析】设PQ 直线方程是14y kx a -=则x 1，x 2是方程2104ax kx a--=的两根，借助韦达定理即可得到11p q+的值． 【详解】抛物线2(0)y ax a =>转化成标准方程：21x y a=， ∴焦点F 坐标1(0,)4a，准线方程为14x a =-，设过1(0,)4F a 的AB 直线方程为14y kx a=+， ∴214y kx a y ax⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2104ax kx a --=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y由韦达定理可知：1214x x =，12k x x a+=， 212121()2k y y k x x a a∴+=++=，12122111()()4416y y kx kx a a a =++=， 根据抛物线性质可知，14ap y =+，22p q y =+， 2122122111241()()444k ay y p q a a p p k p q pq y y a+++++====+++，∴11p q+的值为4a ，故选：C ．【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 4．54【分析】根据抛物线的焦点弦性质计算．【详解】由对称性，不妨设AB 的倾斜角α为锐角，52p >=， 由结论2可得：23255,5,cos ,31cos 5415AF BF αα=∴=∴=∴==-+．5【分析】由焦点弦的性质求得AF ，【详解】由题意211==4,=sin1201412212AOFAF SOF AF ∴⋅︒=⨯⨯- 6．12【分析】由抛物线的焦点弦长公式22sin pl α=（α是焦点弦所在直线倾斜角）计算． 【详解】222312sin 12p AB α===⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．56【分析】根据抛物线的焦点弦长公式22sin pl α=（α为焦点弦所在直线的倾斜角，由对称性，设α为锐角）求出弦所在直线的倾斜角的正弦，再由焦半径公式较短的1cos pAF α=+，较长的1cos pBF α=-计算．【详解】设AB 倾斜角为α，且α为锐角，则2225115==,sin cos ,1sin 125615AB AF ααα∴=∴=∴==+． 8．16【分析】设出直线AB 的倾斜角为θ，根据抛物线焦点弦的结论得到AB 与CD ，利用三角函数的恒等变换及有界性求出最小值.【详解】设直线AB 的倾斜角为θ，则2224sin sin p AB θθ==，2224πcos sin 2p CD θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以2222224444161sin cos sin cos sin 2sin 24AB CD θθθθθθ+=+===，当π4θ=或3π4时，2sin 21θ=，()min 16AB CD += 90y -=0y +=．【分析】由焦点弦性质求得直线AB 的倾斜角的余弦值，从而得直线斜率，得直线方程． 【详解】先设直线AB 倾斜角α为锐角，1cos 13,cos ,tan :1)1cos 2AF k l y x BF αααα+==∴=∴===--． 由对称性直线l 方程还可以为3(1)yx ，综上，直线l0y -0y +． 10．94【分析】求出直线AB 的方程，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出原点到直线AB 的距离，从而求出三角形OAB 的面积. 【详解】由题意得：3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB的斜率为tan 30︒故直线AB的方程为34y x ⎫=-⎪⎝⎭， 将23y x =联立得：217303216x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ， 则1212219,216x x x x +==，则12AB ==， 点()0,0O 到直线AB的距离为38d ==， 所以1139122284OABSAB d =⋅=⨯⨯= 11．12±．【分析】由焦点弦的性质求解.【详解】设(,)M x y ，设0y >，24p =，2p =， 2OFMS=，又112OFM S y ∆=⨯⨯，12,42y y ∴=∴=，所以2142p k y ===，由对称性，12k =-也适合． 综上，12k =±． 12．D【分析】焦点弦长度等于12x x p ++.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0在直线10x -=上，故AB 是抛物线的焦点弦，则由2104x y x⎧-=⎪⎨=⎪⎩得：21410x x -+=， 所以，1214x x +=，所以，1214216AB x x p =++=+= 故选：D. 13．B【分析】设(),A x y ，根据5AF =，利用抛物线定义求得点A 的坐标，进而得到直线AF 的方程，求得点B 的坐标，再利用抛物线定义求解. 【详解】解：抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 设(),A x y ，则15AF x =+=，故4x =，此时4y =， 即()4,4A ，则直线AF 的方程为014041y x --=--，即()413y x =-， 代入24y x =得241740x x -+=，解得4x =（舍）或14x =， 则15144BF =+=， 故选：B ． 14．D【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算． 【详解】抛物线24y x =，可知24p =， 设直线1l 的倾斜角为θ，则2l 的倾斜角为π2θ-，显然2πθ≠， 过焦点的弦，22sin pAB θ=，2222πcos sin 2p pCD θθ==- ①2211sin cos 112224AB CD p p p θθ+=+==， 故选：D ． 15．C【详解】①抛物线C 方程为22(0)y px p =>,①焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键. 16．C【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过,,A B M 作准线的垂线，垂足分别为111,,A B M ，由抛物线的定义可得出答案.【详解】抛物线2:4C y x =的准线方程为：=1x - 分别过,,A B M 作准线的垂线，垂足分别为111,,A B M 则点()02,M y 到准线的距离为213+=根据抛物线的定义可得11,AF AA BF BB ==,且111222AA BB AF BF ABMM ++===所以1||26AB MM == 故选：C17．C【分析】设直线l 的倾斜角为θ，求得1cos 3θ=．过A 作1AA ⊥准线于1A ，过B 作1BB ⊥准线于1B ，过B 作1BC AA ⊥于C .由抛物线定义求出()1AC BF λ=-和()1AB BF λ=+. 在直角三角形ABC 中，利用余弦的定义表示出1cos 3ACAB θ==,即可解得．【详解】设直线l 的倾斜角为θ，根据条件可得tan θ=1cos 3θ=．过A 作1AA ⊥准线于1A ，过B 作1BB ⊥准线于1B ，过B 作1BC AA ⊥于C . 由抛物线定义可得：11,AF AA BF BB ==.因为AF BF λ=，所以()11111AC AA AC AA BB AF BF BF λ=-=-=-=-. 而()1AB AF BF BF λ=+=+.在直角三角形ABC 中，()()11cos 13AC BF AB BF λθλ-===+,解得：2λ=． 故选：C 18．C【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得()124AF BF y y +=-+，结合条件可得12AF BF +=，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A ，F ，B 三点共线时12AB ≤，即可得答案.【详解】设抛物线2:8W x y =-的焦点为F ，则(0,2)F -,焦准距4p =,准线方程为2y =， 根据抛物线的定义得，()124AF BF y y +=-+． 又128y y +=-，所以12AF BF +=．因为AF BF AB +≥，当且仅当A ，F ，B 三点共线时等号成立，即12AB ≤， 所以AB 的最大值为12， 故选：C 19．B【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及AF FB λ=，联立可得121,x x λλ==，进而可用对勾函数的性质求12AB λλ=++的最值，进而可求.【详解】解法1：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -，设()11,A x y ，()22,B x y ，则①AF BF λ=，由抛物线定义可知()1211x x λ+=+①，①121x x λλ=+-，又因为AF FB λ=，所以()()11221,1,x y x y λ--=-，即()1211x x λ-=-②，由①①可得：121,x x λλ==所以()()121112AB AF BF x x λλ=+=+++=++.①133λ≤≤，当=3λ时，1162=3AB λλ=++，当1=3λ时，1162=3AB λλ=++，①max 11623λλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离2AB d =，d 最大值是83.①弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是83，故选：B.解法2：弦AB 的中点到C 的准线的距离22222sin 22sin sin pAB p d θθθ====，根据结论121cos 10,112λθλλ-⎡⎤==-∈⎢⎥++⎣⎦，223sin 1cos ,14θθ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，2282,sin 3d θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 故选：B. 20．D【分析】设AB 的方程为y =kx +1代入214y x =，得x 2-4kx -4=0，设()()1122,,A B x y x y ，，得出根与系数的关系，再得出直线OA 的方程为11y y x x =，与2y x =-联立求得点E 、F 的坐标，表示出线段EF ，运用函数的性质可求得最小值得选项. 【详解】由抛物线C ①214y x =，得焦点为()01，，设AB 的方程为y =kx +1代入214y x =，得x 2-4kx -4=0，设()()1122,,A B x y x y ，，所以124x x k +=，124x x =-，12||x x -=216+16>0k ∆=，直线OA 的方程为11y y x x =，联立11121111112,228144Ey x x x x y y x x y x x x x =-⎧⎪⇒===⎨=--⎪-⎩； 同理可得284F x x =-，，所以||EF === 令()430k t t -=≠，则3+4t k=，所以||EF = 当>0t时，||EF = 当0t<时，||EF =≥当253t =-，即43k =-时，取等号，所以|EF| 故选：D.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式. 21．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，求出1A AF ∠的角平分线方程1122y y x y -=，得到1121,2y M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；求出在()22,B x y 处的切线方程为： 222224y y x y y ⎛-=⎫- ⎪⎝⎭，得到2221,2y N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由124y y =-，整理得M 、N 重合.即可求得.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线为l ：=1x -.因为过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，所以可设直线AB ：1x my =+.设()()1122,,,A x y B x y ，则241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得：2440y my --=.所以2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-.不妨设10y >，则2140y y =-<. 因为过点A 作1AA l ⊥，垂足为1A ，所以()111,A y -，1110112A F y yk -==--- 设1A F 的中点为E ,则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1112AE A F k k y =-=，所以直线AE : 1122y y x y -=. 令=1x -，解得：1122y y y =-，所以1121,2y M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 对于点()22,B x y ，因为20y <，由24y x =可得：y =-y '=. 所以在()22,B x y处的切线的斜率为22k y ==，切线方程为：()2222x x y y y =--，即222224y y x y y ⎛-=⎫- ⎪⎝⎭.令=1x -，解得：2222y y y =-，所以2221,2y N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为124y y =-，所以214y y =-所以1111422422y y y y y -=-=-+-，即1121,2y N y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭所以M 、N 重合. 所以MN =0. 故答案为：0. 22．2【分析】过点F 且斜率为1的直线方程为2p y x =-，联立抛物线C 的方程，求出AB ，EF ，由2AB EF =，即可求出p 的值.【详解】过点F 且斜率为1的直线方程为2p y x =-， 联立抛物线C 的方程，得22304p x px -+=，所以3422p pAB p p =++=， 又因为令2p y x =-中2p x =-，则,2p E p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以EF ，又因为2AB EF =，所以242p p =，解得p ＝2. 故答案为：2.23．2##2-+【分析】推导出抛物线的焦半径的性质111AF BF +=，再利用基本不等式可求得2AF BF-的最小值. 【详解】易知12p=，可得2p =，所以，抛物线的方程为24x y =. 若直线l 与y 轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得244x kx =+，即2440x kx --=，216160k ∆=+>，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-.所以，()()122121212124111111112224k x x AF BF y y kx kx k x x k x x +++=+=+=+++++++ 222441484k k k +==-++，所以，111BF AF =-，则212212AF AF AF BF AF AF ⎛⎫-=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭22≥=，当且仅当AF 2AF BF-的最小值为2.故答案为：2. 24．16+【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得111||||3PF QF +=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．【详解】解：设抛物线的方程：()220y px p =>，焦点为F ，则3623p =⨯，则212p =，①抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标()3,0F ，准线方程为3x =-， 圆222:680C x y x +-+=的圆心为()3,0，半径为1，由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：3my x =-， 设P ､Q 坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，由2123y x my x =⎧⎨=-⎩联立，得212360y my --=，21441440m ∆=+>恒成立， 由韦达定理得：1212y y m +=，1236y y ⋅=-，①()1212612x x m y y m +=++=，22121291212y y x x ⋅==⨯，①()22112111112661333931269m PF QF x x m +++=+==+++++， 则()()11313134334PN QM PF QF PF QF PF QF PF QF ⎛⎫+=+++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭(334434416QF PF PF QF ⎛⎫=+++≥++=+ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当)1233PF x x =⇒++时等号成立，故答案为：16+25．8【分析】确定2P =，设直线方程并和抛物线方程联立，求得114y y =-，进而求出12x x +，根据抛物线的弦长公式求得答案.【详解】由题意知2p =,故24y x =，其焦点为(1,0)，设直线l 的方程为1,(0)x ky k =+≠ ，联立24y x =，得:2440y ky --= ,216(1)0k ∆=+> ,由于()11,P x y ，()22,Q x y ，则11114,4y y k y y +==-，而124y y +=，故22212121212()2162(4)64444y y y y y y x x +---+=+=== ， 故PQ 的长为12628x x p ++=+=， 故答案为：8 26．23【分析】作辅助线，由PN NM =可知PN NM =，由三角形相似结合抛物线定义可求得2MF NF =，从而推得23PF PM =，从而由p FK PF MF ME PM ==求得答案. 【详解】如图，设抛物线准线交x 轴与点K ,分别过M N ，作ME NG ，垂直于抛物线的准线于E G ，， 由PN NM =，得PN NM = ，由抛物线定义可知NF NG FM ME ==，，由PNG PME ∽ ，得12,,PM PM PNPM PN PM ME NG MF NF MF NF =∴=∴= ，2MF NF ∴=，则1111236263NF NM PM PF PN NF PM PM PM ===+=+=，，23p FK PF MF ME PM ∴=== ， 故答案为：23． 27．(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）将MN 用p 表示，得出p 的值，进而得抛物线方程；（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果. （1）由题意可得24p =，得2p =， ①抛物线2:4C x y =. （2）证明：():2m y k x =+，联立()224y k x x y ⎧=+⎨=⎩，得2480x kx k --=．由216320k k ∆=+>，得0k >或2k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x k =-，①2212121212121111442222x x y y k k x x x x ----=⋅=⋅---- ()()()121212222488411616164x x x x x x k k +++++-++====.28．(1)12(2)存在，定点N 为()0,1，MN 为定值1【分析】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段PQ 为直径的圆经过点O ，转化成0OP OQ ⋅=，可得直线过定点，再由OM PQ ⊥，根据直角三角形的特征即可找到N 的位置，即可求解. （1）抛物线C ：()20y ax a =>化为标准方程为：21x y a =，其焦点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为斜率一定存在，设其方程为114y k x a=+， 联立方程得：12141y k x a x ya ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得：212104k x x a a --=，0∆>恒成立．其中()11,A x y ，()22,B x y ，112k x x a +=，()21121121122k y y k x x a a a+=++=+， 因为焦点弦长2112112k y AB y a a a=++=+，所以当210k =时，弦长min 12AB a ==． 所以，实数a 的值为12． （2）由题意可知直线PQ 的斜率存在，设其方程为()0y kx t t =+≠．联立方程得：22y kx tx y =+⎧⎨=⎩，整理得：2220x kx t --=，2480k t ∆=+>．其中()33,P x y ，()44,Q x y ，342x x k +=，342x x t =-， 因为以PQ 为直径的圆经过点O ，所以0OP OQ ⋅=．又因为2222343434344220224x x t OP OQ x x y y x x t t t ⋅=+=+⋅=-+=-+=， ①0t ≠，①2t =．所以直线PQ 过定点()0,2T ，又因为OM PQ ⊥，所以OMT △为直角三角形， 所以当N 为斜边OT 中点时，MN 为定值， 此时112MN OT ==． 所以定点N 为0,1，MN 为定值1．29．(1)24y x =； (2)证明见解析.【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求p 即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明2EA EB EF k k k +=即可.【详解】（1）设点00(,)M x y，由题意可知0y =所以202px =，解得08x =． 因为08922p pMF x =+=+=，所以2p =． 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）设直线AB 的方程为2212121,,,,44y y x my A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组24,1,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440,y my --=，所以12124,4y y m y y +==-．设()1,E n -，则()()22121212121222221212244411114444EA EBy y y y y y y y n n y n y n k k y y y y ⎛⎫+++-+- ⎪--⎝⎭+=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22122212244244y y n n y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==-++， 又因为2EF nk =-，所以2EA EB EF k k k +=，即直线,,EA EF EB 的斜率成等差数列．【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线,,EA EF EB 的斜率成等差数列只需证明2EA EB EF k k k +=即可. 30．(1)证明见解析(2)0<≤p【分析】（1）设22121212,,,,022⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y A y B y y y p p ，即可表示M 、N 的坐标，再由直线OA 的方程，得到P 点坐标，同理可得Q 点坐标，从而得证；（2）依题意可得OQ PQOQ QN ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即可求出1y 、2y ，再根据三角形面积求出p 的取值范围；（1）解：设22121212,,,,022⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y A y B y y y p p ， 则22121212,,,,,042222⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y y y y p y y p M N F p ， 由于A ，F ，B 三点共线，则1222122222=--y y y py p p p ，整理得212y y p =-， 又12:OA pl y x y =， 则22112,42⎛⎫-+ ⎪⎝⎭y p y y P p ，同理可得22212,42⎛⎫-+ ⎪⎝⎭y p y y Q p 则2222221212||444+-+=-=y y y p y p PM p p p， 222222||424-+=+=y p p y p QN p p，所以||||=PM QN ，即证；（2）解：若线段NP 上的任意一点均在以点Q 为圆心、线段QO 长为半径的圆内或圆上，即OQ PQ OQ QN ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，则22222222121222222222122424424y p y y y y p p y p y y y p p p ⎧⎛⎫⎛⎫-+-⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-++⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 化简得4422112215168164-+≥-p y y p y p ，2212≥y p ， 即24422211221541681644-≥-+≥-≥-p p y y p p y p可得1y =，又因为212y y p =-，2212=-=-p y p y，12221212222-===+-AB y y p k y y y y p p可得2⎛⎫- ⎪⎝⎭p N p，58⎛⎫ ⎪⎝⎭p M p，12=-=h y y ，119228=⨯⨯=⨯≤NABp SNM h 2329≤p，即0<≤p 31．(1)24y x =； (2)证明见解析.【分析】（1）根据点在抛物线上的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量夹角公式进行计算证明即可. （1）因为抛物线H 的方程为22y px =，M 抛物线H 上且的横坐标为5， 所以M的纵坐标为当点M的坐标为(时，过点M 作MN OF ⊥，垂足为N ，因为2cos 3OFM ∠=-，所以2cos 3MFN ∠=，所以tan MFN ∠=又tan 52MN MFN FN ∠==-52=-所以100p +=，所以0=，又0p >所以2p =，同理当点M 的坐标为(5,时，2p =所以抛物线H 的方程为24y x =； （2）设直线AB ：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,C n -，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=， 则124y y m +=，124y y =-，21242x x m +=+，121=x x .()111,CA x y n =+-，()221,CB x y n =+-()()2212121212120CA CB x x x x y y n y y n m n ⋅=++++-++=-≥，所以cos ,0CA CB 〈≥〉，所以π2ACB ∠≤. 【点睛】关键点睛：利用平面向量夹角公式是解题的关键. 32．(1)24y x =(2)证明见解析；P 点坐标为（4，0） (3)16-【分析】（1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M ，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出||MF 即可得解；（2）设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组，由根与系数的关系求出12y y ，再由OC OD ⊥建立斜率的方程即可得解； （3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值. （1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M ，如图，由题知，直线l 的倾斜角为π3．①在R t BGH 中，π3GBH ∠=， 又①83BG =，①43BH =，①43BF =．①4GF BG BF =+=，①在R t GFM 中，又3MFG π∠=，①2MF =，①2p =，①抛物线的标准方程为24y x =． （2）由（1）可知，抛物线方程为24y x =，设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线与抛物线联立：24x my ty x=+⎧⎨=⎩，得：2440y my t --=，则124y y m +=，124y y t ，①14OC k y =，24OD k y =且OC OD ⊥，①12161614OC OD k k y y t⋅===--则4t =， ①直线CD 过定点（4，0），即P 点坐标为（4，0）， （3）由（2）可知P 点坐标为（4，0），①()2222212121216161616y y PC PD y y y y m ⋅=-+++=--， ①PC PD ⋅的最大值为16-． 33．(1)28y x = (2)λμ=【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得3R x =+，根据圆与圆的位置关系可得1R =，列出方程，解之即可；(2)设直线l 的方程为()2y k x =-、()11,A x y 、()22,B x y ，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得()241k λλ=+、()241k μμ=+，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得112x x λ=-、222x μ=-，证明0λμ-=即可.【详解】（1）设(),P x y ，圆P 的半径为R ，由题可知，点P 在直线3x =-右侧， 因为圆P 与定直线3x =-相切，所以3R x =+． 又圆P 与圆F内切，所以11R PF =+=，所以31x +=，化简得28y x =，即E 的方程为28y x =．（2）解法一：由（1）得()2,0F ，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 则()0,2M k -，因为MA AF λ=，由定点分比公式可知121x λλ=+，121ky λ-=+ 因为点A 在E 上，所以2118y x =，即()2241611k λλλ=++，所以()241k λλ=+． 同理，由MF FB μ=，可得222,11x k y F μμμμ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， 所以221x μμ=+，2201k y μμ-+=+，即()221x μμ+=，22ky μ=， 因为点B 在E 上，所以2228y x =，即()221614k μμμ+=，所以()241k μμ=+．由()()4141λλμμ+=+，得()()10λμλμ-++=， 因为0λ>，0μ>，所以10λμ++≠，即0λμ-=．解法二：设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()0,2M k -．由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得()22224840,k x k x k -++=， 由韦达定理可知212248k x x k ++=，124x x =．因为MA AF λ=，即()()1122,22,x y k x y λ+=--，所以112x x λ=-． 由MF FB μ=，可得()()222,22,k x y μ=-，所以222x μ=-． 所以()()()()()()211112121212222420222222x x x x x x x x x x x x λμ-+---=-===------， 即λμ=．。
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=； 6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102=结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162PF =。
抛物线焦点弦问题(附答案解析)
（难度3星）1.（2019 •安徽高二期末（文））在平而直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点（2（1）求抛物线的标准方程：（2）过点 3的直线交抛物线于弘"两点，尸点是直线：=一2上任意一点.证明：直线、、的斜率依次成等差数列.【答案】（1）—2 : （2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线关于轴对称，可设抛物线为亠2，而点（玄②在抛物线上，从而有另=2X2,得 =故抛物线方程为2=2 ：（2）设点（―）是直线上任意一点，直线交抛物线于“、"两点，所以直线的斜率不等于0,可设直线：= +2交抛物线于（”』）、（？，？），由｛可得：--2 - 2= 0从而有j + 2=2, 1 2= ~~ 2,1 ~ _ 2~= ------- •= ------ 9 =— --1^1 ?+/ 21且在直线上，所以有：1= 丄+Z 2= E+Z-2 —=―：=一'而2 =-，即证得证直线，,+ =2的斜率成等差数列.（难度2星）2. （2020 •河南高二期末（理））已知是抛物线： I （2,）是抛物线上一点，且| |=2（1）求抛物线的方程：（2）直线与抛物线交于，两点，若―'• 一 = -彳（否会过某个泄点若是，求出该立点坐标，若不是，说明理由.【答案】（1）2=4:⑵是，（2,6.【解析】（1）由抛物线的泄义知I | =』+三=2,.・.=2,•••抛物线的方程为：2=4（2）由题意知:可设的方程为：= + ,代入'=4有2— 4 — 4 = 0、（＞。
的焦点,为坐标原点），则直线是设(b 1}>( 9 2)> 则r 2= -4、・・「（宀一么••1 2_ 托 _ 、S・・・•= 广？+ 厂2= 4 =_4 ・•・ =2••• 的方程为 = +Z恒过点（2,0）.所以直线过左点（20・（难度2星）3.（2020 •江西高二期末（文））已知抛物线：亠2（2_ 2=谢圆心.（1）求抛物线Q的标准方程：（2）过抛物线的焦点尸的直线』与抛物线相交于两点，程.■【答案】（1）2=4（2）=2一戒=_2 +2【解析】（1）圆的标准方程为（一庁+ 2*圆心坐标为（20,>0的焦点尸为圆2 +| = £求直线』的方即焦点坐标为 g 则7= I =缩到抛物线的方程亠4（2）设直线的方程为: + /联立抛物线的方程2=4消整理得: 2- {4 2+2) +1=0：.』+ 尸 4 - + 2根据焦点弦的性质可知：| |= ；+ .+ =4 2+4又因为| | = 5 ..4 2+4=M得=±：所以所求直线的方程为：=2 = _2 +2（难度2星）4.（2019 •四川高二期末（文））已知点（一2。
抛物线的几个常见结论及其用
抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证：11AF BF+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin PAB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
AB 倾斜角为3π或23π。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。
结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P 坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB长为，求P 的值．解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，， 则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．AB∴=．2p =∴． 练习：1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11pq+= 故114a pq+=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2px my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-．BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO pk y =； 又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据22444120x y xy x y ++--=，即为所求抛物线的方程．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦22条结论
抛物线焦点弦22条结论抛物线是一种经典的数学曲线，被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
在研究抛物线的性质和应用过程中，焦点和弦是两个重要的概念。
本文将介绍抛物线焦点弦的22条结论。
1. 抛物线的焦点是由平行于抛物线的直线反射后汇聚而成的点。
2. 抛物线的焦点是离抛物线顶点等距离的点。
3. 抛物线的焦点是所有平行于抛物线的直线的交点。
4. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点的对称轴的交点。
5. 抛物线的焦点是所有与抛物线相切的直线的交点。
6. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线平行的直线的交点。
7. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线垂直的直线的交点。
8. 抛物线的焦点是所有经过抛物线的两个端点并且与抛物线垂直的直线的交点。
9. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直的直线的交点。
10. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行的直线的交点。
11. 抛物线的焦点是所有与抛物线相交的直线的交点。
12. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线相交的直线的交点。
13. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线相交的直线的交点。
14. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
15. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
16. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线平行于抛物线的对称轴的直线的交点。
17. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线垂直于抛物线的对称轴的直线的交点。
18. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
19. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
20. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
21. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
抛物线焦点弦问题(附答案解析)
（难度3星）1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xxx 中，抛物线x 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2).（1）求抛物线x 的标准方程；（2）过点x (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线x :x =−1上任意一点.证明：直线xx、xx、xx 的斜率依次成等差数列.【答案】（1）x 2=2x ；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线x 关于x 轴对称,可设抛物线为x 2=2xx ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2x ×2，得x =1，故抛物线方程为x 2=2x ；（2）设点x (−1,x )是直线x 上任意一点，—直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线xx 的斜率不等于0，可设直线xx :x =xx +1交抛物线于x (x 1,x 1)、x (x 2,x 2)，由{x =xx +1x 2=2x可得：x 2−2xx −2=0 从而有x 1+x 2=2x ,x 1x 2=−2,x xx =x 1−x x 1+1，x xx =x 2−x x 2+1，x xx =−x 2且在直线上,所以有:x 1=xx 1+1,x 2=xx 2+1x xx +x xx =x 1−x x 1+1+x 2−x x 2+1=2xx 1x 2+(2−xx )(x 1+x 2)−4x x 2x 1x 2+2x (x 1+x 2)+4 =−2xx 2−4x 2x +4=−x ，而2x xx =−x ，即证x xx +x xx =2x xx .得证直线xx ，xx ，xx 的斜率成等差数列.【（难度2星）2．（2020·河南高二期末（理））已知x 是抛物线x :x 2=2xx(x >0)的焦点，x (1,x )是抛物线上一点，且|xx |=2.(1)求抛物线x 的方程；(2)直线x 与抛物线x 交于x ，x 两点，若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4（x为坐标原点），则直线x是否会过某个定点若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1)x 2=4x ；(2)是，x (2,0).【解析】（1）由抛物线的定义知|xx |=1+x 2=2,∴x =2,∴抛物线x 的方程为：x 2=4x*（2）由题意知:可设xx 的方程为：x =xx +x ,代入x 2=4x 有x 2−4xx −4x =0,设x (x 1,x 1),x (x 2,x 2),则x 1⋅x 2=−4x ,∴x 1⋅x 2=(x 1⋅x 2)216=x 2,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+x 1⋅x 2=x 2−4x =−4∴x =2∴xx 的方程为x =xx +2,恒过点x (2,0).所以直线x 过定点(2,0).?（难度2星）3．（2020·江西高二期末（文））已知抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点F 为圆x 2+x 2−2x =0的圆心.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线相交于xx 两点，且|xx |=5，求直线l 的方程.【答案】（1）x 2=4x （2）x =2x −2或x =−2x +2【解析】（1）圆的标准方程为(x −1)2+x 2=1，圆心坐标为(1,0)，即焦点坐标为x (1,0)，则x 2=1,x =2得到抛物线x 的方程x 2=4x（2）设直线x 的方程为：x =xx +1联立抛物线x 的方程x 2=4x 消x 整理得： 》x 2−(4x 2+2)x +1=0 ∴x 1+x 2=4x 2+2根据焦点弦的性质可知:|xx |=x 1+x 2+x =4x 2+4 又因为|xx |=5∴4x 2+4=5解得x =±12所以所求直线x 的方程为：x =2x −2或x =−2x +2（难度2星）4．（2019·四川高二期末（文））已知点x (−2,0)，x (3,0)，动点x (x ,x )满足： xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6.（1）求动点P 的轨迹x ；-（2）已知点x (14,0)，若曲线E 上一点M 到x 轴的距离为12，求|xx |的值.【答案】（1）焦点在x 轴，开口向右的抛物线x 2=x ；（2）12【解析】（1）x 点坐标为(x ,x ),则有:xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x ,−x )，xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x ,−x ) ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x −6+x 2=x 2−6，即：x 2=x ，∴点P 的轨迹为焦点在x 轴，开口向右的抛物线.（2）由题意可得：x x =±12代入方程求得x x =14,所以x (14,±12),而x (14,0)∴|xx |=√(14−14)2+(±12−0)2=12 ,即|xx |=12.。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
(完整版)梳理抛物线焦点弦的有关结论
梳理抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝⎛=2:k y AB()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）p y x p y x 2,2222211== ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:pmy x AB +=与px y 22=联立，得 22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
高中数学与抛物线有关的结论
与抛物线有结论抛物线中有一些常见、常2()22py k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
证明：因为焦点坐标为F(2p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2py k x =-， 由得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。
当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2px =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。
则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AFBFAF BFx x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin PAB α=（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2py k x =-由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-，∴12AB y =-222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。
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p 2
= 2 px k 2 x2
−
k2
+2
px +
k2 p2
=0
2
4
( ) x1
+ x2
=
p
k2 +2 k2
,
x1 x2
=
p2 4
.
由抛物线的定义知 m =
AF
= x1 +
p,n = 2
BF
= x2 +
p 2
3
一寸光阴不可轻
1 +1 = m+n = m n mn
x1 + x2 + p
x1 x2
AM
= m, BM
AA1 // KF // BB1
A1K B1K
=
AF FB
而 AF
=
A1 A, BF
=
B1 B
o
K
F
B
A1K = A1 A B1K B1B
A1 K A1 A
=
B1K B1B
，而 AA1K
=
BB1K
=
90 0
AA1K ∽ BB1K AKF = BKF
A1KA = B1KB
2
一寸光阴不可轻
知识点 6：若 AB 是过抛物线 y2 = 2 px(p 0)的焦点 F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接
yC
=
−
p2 −p
2
= y2
y2
BC // OF
逆定理：若 AB 是过抛物线 y2 = 2 px(p 0)的焦点 F 的弦，过点 B 作 BC // OF 交抛物
线准线于点 C, 则 A、C、O 三点共线。
证明略
与抛物线焦点弦有关的几个结论
与抛物线焦点弦有关的几个结论在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦A B叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．A B与x轴不垂直也不平行时，设弦A B所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦A B被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若A B与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦A B为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦A B所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦A B为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦A B的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦A B为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设A F的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。
（完整版）抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。
很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案
[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝⎛=:k y AB.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）p y x p y x 2,2222211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:pmy x AB +=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知（2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得(),22221k k p x x +=+∴()222112kk p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N设以AB 为直径的圆的半径为,r∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则01190=∠FB A 。
证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴BB KB A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则由知识点1知221p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论
知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则
（1）4
2
21p x x =；（2）221p y y -=
证明：如图，
（1）若AB 的斜率不存在时，
依题意,2
21p
x x ==4221p x x =∴
若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝
⎛
=2:k y AB
()
04222222
222
2=++-⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k
.4221p x x =∴ 综上：.4
2
21p x x =
（2）p y x p y x 2,22
22211== ，,22142
221p y y p y y ±=⇒=∴
但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2
:p
my x AB +
=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知
,2
,221p
x BF p x AF +=+=
p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x =
==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=≠与设α联立，得
()
04222222
222
2
=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-p k px k x k px p x k
(),22221k k p x x +=+∴()
22211
2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，
()
α
αα2
22sin 2tan tan 12p
p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r
.
2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+==
∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0
1190=∠FB A 。
证明借助于平行线和等腰三角形容易证明
知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠
证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA
B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴
B
B K
B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴
知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接
AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC
证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴=1111
2,2,:x p y p C x x y y AB 1
2
2
1
111222y p p
y p y x p y y C -=⋅-=-=∴ 由知识点1知2
21p y y -= 22
22
y y p p y C =--=∴ OF BC //∴ 逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。
证明略
知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F .211p
n m =+ 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =
p n m ==∴ ∴
.2
11p
n m =+ （2）若AB 与x 轴不垂直，设(),,11y x A ()22,y x B ，AB 的斜率为k ，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=2:p x k y l 与
px y 22=联立，得()
04222222
222
2=++-⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k
()
,22
221k
k p x x +=+∴.42
21p x x = 由抛物线的定义知2
,221p
x BF n p x AF m +==+
==
∴
()p p
x x p x x p x x mn
n m n m 2
4
2112
212121=+
++++=+=+ 知识点8：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其过焦点F 的弦，,,n BF m AF ==则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB
4
2
证明：设,θ=∠AFx 则
BOF AOF AOB S S S ∆∆∆+=
()()θθ
θπsin 4
sin 221sin 221n m p
p
m p +=⋅⋅+-⋅⋅=
而mn p p mn p n p m 2
2
2sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθ
θθ ().4422⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=∴∆n m m n p mn p n m p S AOB
逆定理：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其弦且与x 轴相交于点M ，若
,,n BM m AM ==且,4
2⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB
则弦AB 过焦点。
证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，,θ=∠AMx ()0,t M ，则
BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 2
1
sin 21sin 21t n m tn tm +=+-
而,sin ,sin 21n
y m
y =
=
θθ mn
y y 2
12sin -=
∴θ mn y y 21sin -=
∴θ ()()21212121
y y t mn n m mn y y t n m S AOB -+=-+=∴∆ 而()2214
22
p mn n m n m m n p S AOB
+=⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴① 又可设
0222:2
2
=--⇒⎭
⎬⎫=+=pt pay y px y t ay x l pt y y 221-=∴②
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
B´
A´由①②得2p t =
AB ∴恒过焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p 例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =_________. 8
变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是_________. 2
例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别
向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点，则QF = _________.（用a 表示）
2
a
变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''A B 的中点，
则QF =_________.（用,a b
例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，OA OB ⋅= -3 例4、过抛物线2
(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则
11p q +=_____. 4a
小结：
（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；
（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.。