高中 两角和与差的正弦、余弦和正切 知识点+例题

tanαtanβ＝1－ ＝ －1.
[例1]已知 为第二象限角， ，则
[巩固1]已知 为锐角， ，则
[巩固2]已知函数 ， ，则
[例2]已知 ，则 的值为_______.
[巩固1]若 ，则
[巩固2]已知 为锐角， 为钝角， ， ，则 的值为_______.
[例3]已知 ，则
[巩固]在△ABC中，若 ，则 的值为_______.
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))
3.两角和与差的正切公式：tan(α－β)＝ (T(α－β))
tan(α＋β)＝ (T(α＋β))
[例1]若 ，则
[巩固]已知 ， ，且 ，则 的值为___________.
[例2]化简： 的值为___________.
[巩固]求 的值为________.
所以，f(α)＝ (sin 2α＋cos 2α)＋ ＝ .
(2)由(1)得f(x)＝ (sin 2x＋cos 2x)＋ ＝ sin ＋ .
由x∈ ，得 ≤2x＋ ≤ .
所以－ ≤sin ≤1,0≤f(x)≤ ，
所以f(x)的取值范围是 .
答案－
解析由tan(α＋ )＝ ＝ ，得tanα＝－ .
又－ <α<0，所以sinα＝－ .
故 ＝ ＝2 sinα＝－ .
12．若α∈ ，且sin2α＋cos 2α＝ ，则tanα的值等于_______.
答案
解析∵α∈ ，且sin2α＋cos 2α＝ ，
∴sin2α＋cos2α－sin2α＝ ，∴cos2α＝ ，
又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ>0，
∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.
8． ＝________.
答案－4
解析原式＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝－4 .
9．已知 － ＝－2tanα，试确定使等式成立的α的取值集合．
解因为 －
＝ －
＝ －
＝
＝ ，
所以 ＝－2tanα＝－ .
所以sinα＝0或|cosα|＝－cosα>0.
∴ cosα＋ sinα＝ ，
( cosα＋ sinα)＝ ，
sin( ＋α)＝ ，∴sin( ＋α)＝ ，
∴sin(α＋ )＝－sin( ＋α)＝－ .
练习
1．已知 ，则 ▲．
2.已知 ，则
3.已知 是第三象限角，且 ，则
4.若 、 均为锐角，且 ， ，则 ．
1．已知tan(α＋β)＝ ，tan ＝ ，那么tan 等于___________.
(2)证明由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝ ，
cosβcosα－sinβsinα＝－ ，
两式相加得2cosβcosα＝0，
∵0<α<β≤ ，∴β＝ ，
∴[f(β)]2－2＝4sin2 －2＝0.
15．已知f(x)＝(1＋ )sin2x－2sin(x＋ )·sin(x－ )．
（1）若tanα＝2，求f(α)的值；
∴tanα＝－ ＝ ，∴cosα＝－ sinα.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝ .
又∵α∈( ，π)，∴sinα＝ .
(2)原式＝ －sin 10°· ＝ － ＝
＝ ＝ ＝ .
题型二：三角函数公式的灵活应用
[例]（1）sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为_________.
答案
解析因为α＋ ＋β－ ＝α＋β，所以α＋ ＝(α＋β)－ ，
所以tan ＝tan ＝ ＝ .
2．若θ∈[ ， ]，sin 2θ＝ ，则sinθ等于________.
答案
解析由sin 2θ＝ 和sin2θ＋cos2θ＝1得
(sinθ＋cosθ)2＝ ＋1＝( )2，
又θ∈[ ， ]，∴sinθ＋cosθ＝ .
解析(1)∵α，β∈(0， )，从而－ <α－β< .
又∵tan(α－β)＝－ <0，∴－ <α－β<0.
∴sin(α－β)＝－ ，cos(α－β)＝ .
∵α为锐角，sinα＝ ，∴cosα＝ .
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝ × ＋ ×(－ )＝ .
cos(α＋β)＝± ＝± .
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．
因为 > >－ ，
所以cos(α＋β)＝－ .
于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－ × ＋ × ＝ .
(2)∵cos(α－ )＋sinα＝ ，
(2)因为cos2 ＝ ＝ ＝ ，
所以cos2 ＝ ＝ ＝ ，选A.
[巩固]（1）设α、β都是锐角，且cosα＝ ，sin(α＋β)＝ ，则cosβ等于________.
（2）已知cos(α－ )＋sinα＝ ，则sin(α＋ )的值是________．
答案(1) (2)－
解析(1)依题意得sinα＝ ＝ ，
解析∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，
1．二倍角公式
(2)因为 <α<π， <β<π，
所以－π<－β<－ ，故－ <α－β< .
又sin(α－β)＝－ ，得cos(α－β)＝ .
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－ × ＋ × ＝－ .
11．已知tan(α＋ )＝ ，且－ <α<0，则 等于______.
[例4] -1
[巩固]
[例5]若 ，则 的最大值为_________.
[巩固]若 ，则 的最大值为_______.-8
题型一：三角函数公式的基本应用
[例]（1）设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为_________.
（2）若0<α< ，－ <β<0，cos( ＋α)＝ ，cos( － )＝ ，则cos(α＋ )等于________.
同理，sinθ－cosθ＝ ，∴sinθ＝ .
3．已知tanα＝4，则 的值为___________.
答案
解析 ＝ ，
∵tanα＝4，∴cosα≠0，分子、分母都除以cos2α得 ＝ .
4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于_______.
答案
解析4cos 50°－tan 40°＝ ＝ ＝
故α的取值集合为{α|α＝kπ或2kπ＋ <α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋ ，k∈Z}．
10．已知α∈ ，且sin ＋cos ＝ .
（1）求cosα的值；
（2）若sin(α－β)＝－ ，β∈ ，求cosβ的值．
解(1)因为sin ＋cos ＝ ，
两边同时平方，得sinα＝ .
又 <α<π，所以cosα＝－ .
(2)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ cos 2x.
(3)原式＝ ＝ ＝tan(45°＋15°)＝ .
[巩固]（1）已知α∈(0，π)，化简： ＝________.
（2）在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋ tan tan 的值为________．
答案(1)cosα(2)
解析(1)原式＝ .
∴cosα＝ 或－ (舍去)，
∴α＝ ，∴tanα＝ .
13．若tanθ＝ ，θ∈(0， )，则sin(2θ＋ )＝________.
答案
解析因为sin 2θ＝ ＝ ＝ ，
又由θ∈(0， )，得2θ∈(0， )，
所以cos 2θ＝ ＝ ，
所以sin(2θ＋ )＝sin 2θcos ＋cos 2θsin ＝ × ＋ × ＝ .
＝ ＝ ＝ .
5．已知cos(x－ )＝－ ，则cosx＋cos(x－ )的值是________.
答案－1
解析cosx＋cos(x－ )＝cosx＋ cosx＋ sinx＝ cosx＋ sinx＝ ( cosx＋ sinx)＝ cos(x－ )＝－1.
6． ＝________.
答案os >0，
所以原式＝ ＝(cos ＋sin )·(cos －sin )＝cos2 －sin2 ＝cosα.
(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝ ， ＝ ，tan ＝ ，
所以tan ＋tan ＋ tan tan ＝tan ＋ tan tan
辅导讲义――两角和与差的正弦、余弦和正切
教学内容
1.两角和与差的正弦公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))
2.两角和与差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))
（2）若x∈[ ， ]，求f(x)的取值范围．
解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin ·
cos ＝ ＋ sin 2x＋sin
＝ ＋ (sin 2x－cos 2x)＋cos 2x＝ (sin 2x＋cos 2x)＋ .
由tanα＝2，得sin 2α＝ ＝ ＝ .
cos 2α＝ ＝ ＝－ .
（2）化简： ＝________.
（3）求值： ＝________.
答案(1) (2) cos 2x(3)
解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]
＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝ .
sin 2α＝2sinαcosα；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝ .
2．半角公式
； ；
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．
如T(α±β)可变形为
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，
答案(1)－3(2)
解析(1)由根与系数的关系可知
tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝ ＝ ＝－3.
(2)cos(α＋ )＝cos[( ＋α)－( － )]＝cos( ＋α)cos( － )＋sin( ＋α)sin( － )．
∵0<α< ，
则 < ＋α< ，∴sin( ＋α)＝ .
又－ <β<0，则 < － < ，
则sin( － )＝ .
故cos(α＋ )＝ × ＋ × ＝ .故选C.
[巩固]（1）若α∈( ，π)，tan(α＋ )＝ ，则sinα等于_______.
（2）计算： －sin 10°( －tan 5°)＝________.
答案(1) (2)
解析(1)∵tan(α＋ )＝ ＝ ，
＝ ＋ tan tan ＝ .
题型三：三角函数公式运用中角的变换
[例]（1）已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，tan(α－β)＝－ .则sin(α－β)＝________，cosβ＝________.
（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝ ，则cos2 等于______.
答案(1)－ (2)
7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
答案1
解析根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.
14．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，x∈R.
（1）求f(x)的最小正周期和最小值；
（2）已知cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，0<α<β≤ ，求证：[f(β)]2－2＝0.
(1)解∵f(x)＝sin ＋cos ＝sin ＋sin ＝2sin ，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
[例3]在△ABC中， ， ，则 的值为__________.
[巩固]已知锐角三角形ABC中， ， ，则 2
[例4]若 ， ，则 的值为______.
[巩固]若 ， ，则
[例5]已知 ， ， ， 均为锐角，则
[巩固1]已知 ，则 0
[巩固2]已知 ， ，那么
[巩固3]已知 ， ，则
[巩固4] (2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．1