对数函数及对数不等式

对数函数和对数不等式

指导老师：王春晓

1. 对数定义：

一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是

N a b

=，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

N a b

= b N a =l o g ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）

⑵01l o g =a

，1l o g =a a ⑶对数恒等式

如果把 N a b

= 中的 b 写成 N a

log , 则有 N a N a =log

⑷常用对数

我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN。

⑸自然对数

在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作lnN。

2. 对数运算性质

①积、商、幂、方根的对数

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

l o g ()l o g

l o g

a a

a

M

N M N =+

l o g

l o g l o g a a a

M M N N

=-

l o g l o g (

)

n

a

a M n M n R =∈

②换底公式

a N

N m m a l o g l o g l o g = （ a > 0，a ≠ 1 ） 称为对数换底公式

①

1l o g l o g =⋅a b b a

1log log log =⋅⋅a c b c b a

② b m

n

b a n

a m log log =（ a ，

b > 0且均不为1）

[例1] 把下列指数式写成对数式。 （1）3225

= （2）5128=x

解：

（1）

5

32 log

2

=

（2）

x

=

512 log

8

[例2] 求下列各式中的

x

（1）2

3

27log =x

（3）2)223(log -=+x

解：

（1）由2

327log =x 得2723

=x ∴ 93)3(27232

332====x （3）由2)223(log -=+x

得2

22

3-=+x

即

2

2

)

12(+=-x

∴ 12)12(]

)12[(1

2

12

-=+=+=--

x

3. 对数函数的定义：

函数

x

y

a

log

=)1

(≠

>a

a且叫做对数函数

它是指数函数

x

a

y=)1

(≠

>a

a且的反函数

[例1] 求下列函数的定义域：

()lg f x x = 2

()lg f x x

= 2

()lg(23)f x x x =+-

[例2] 求下列函数的值域。

f t t

=

()l g

=≥

f t t t

()l g(1

21

=

f x+

()l g x

x

x

f

=x

(2+

)1

lg(

)

+

解： 设12

++=x x t

即

t y lg =是增函数

∴

4

3

43)21(2≥++=x t ∴43

lg ≥y

∴原函数值域：),4

3

[lg ∞+

[例3] 比较大小

（1）5.0log 3

1与2.6log 3

1

（2）8log 3与9

3log

（3）的大小与判断若y x y x ,log log 33

例4、 解不等式 2

22

log 2log (36)x x x ≤--．

解：∵2log y x =是增函数，∴原不等式等价于 2

220

360236x x x x x x >⎧⎪-->⎨⎪≤--⎩

20560x x x >⎧⇔⎨--≥⎩

061x x x >⎧⇔⎨≥≤-⎩或， ∴6x ≥，即原不等式的解集为[)6,+∞．

例5解不等式log x+1(x2-x-2)＞1

解 [法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)

所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。