数学九年级上册 压轴解答题(Word版 含解析)

数学九年级上册 压轴解答题（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；
(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.
2．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，
4），一次函数2
3
y x b =-
+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；
（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．
3．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
4．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点
P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速
度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点
P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时
间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
5．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2
y x
=
在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．
（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，
T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范
围，
（3）已知直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝+-+⎭
+，点(),D a b
恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 6．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
7．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使3
2
DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设
3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
8．已知：如图1，在
O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点
E ．
（1）求E ∠的度数；
（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．
9．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；
()1求点C 的坐标；
()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；
()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一
时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．
10．如图 1，抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且
3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
11．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，
连GD ．是否存在点P ，使
2GD
GO
=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.
12．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.
（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；
（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，
2AB =，6BD =CD 的长；
（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.
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一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是3
2
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(,)1313
【解析】 【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值； （2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，
M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标． 【详解】
（1）在2
3
y x b =-+中，令x=0，解得y=b ， 则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，
∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ），
将点E 代入2
3
y x b =-+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=
11
()(31)3622
OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13
=42
ODM OAED S S ∆=
四边形 设M 的横坐标是a ，则13
322
a ⨯=， 解得：1a =， 将1x a ==代入2
33
y x =-
+中，得： 27333
y =-⨯+=
则点M 坐标为7
(1,)3
；
（3）依题意，有两种情况：
①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32
， 把32y =
代入2
33
y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94
x =，
∴点M 坐标为93(,)42
， 点N 坐标为93(,)42
-；
②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2
(,3)3
m m -
+， 由OM=OD 得：2
22
(3)93
m m +-+=， 解得：36
13
m =
或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(,)1313
， 又MN ∥OD ，MN=OD=3，
∴点N 的坐标为3654(
,)1313
， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42
-或3654(
,)1313
．
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 3．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出
BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.
【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =，
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，
1110522
OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155,222
DH OD QH DH ∴==∴==， 2
222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,2OM QH MQ OH ∴====， 515522
CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，
E 为OA 上的点，
F 为OB 上的点
PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=，
45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
4．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；
【详解】
解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，
∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =， 2.5t =．
当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③
54t at -=-④，
由③④可得0.5a =，2t =．
综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；
②AP BD ⊥，
90BEP ∴∠=︒，
90APB CBD ∴∠+∠=︒，
90ABC ∠=︒，
90APB BAP ∴∠+∠=︒，
BAP CBD ∴∠=∠，
在ABP △和BCD 中，
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，
BP CD ∴=，
即54t -=，
1t ∴=；
（2）当38a =，83
t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，
∴点N 在点C 、D 之间，
1.54AM t ==，4CD =，
AM CD ∴=，
如图②中，连接AC 交MD 于O ，
90ABC BCD ∠=∠=︒，
180ABC BCD ∴∠+∠=︒，
//AB BC ∴，
AMD CDM
∴∠=∠，BAC DCA
∠=∠，
在AOM和COD
△中，
AMD CDM
AM CD
BAC DCA
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
()
AOM COD ASA
∴≅
△△，
OA OC
∴=，
ADO CDO
S S
∆∆
∴=，
AFO CFO
S S
∆∆
=，
ADO AFO CDO CFO
S S S S
∆∆∆∆
∴-=-，
ADF CDF
S S
∆∆
∴=．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．（1）22
+；（2）63103
t
≤≤-或103165
-≤≤-3）32
5
m≤-或0
m≥
【解析】
【分析】
（1）作直线：y x b
=-+平行于直线
1
l，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线
1
l于点Q，作PM⊥x轴，根据只有一个交点可求出b，再联立求出P的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB，再利用直线1l表达式求A、B坐标证明OA=OB，从而证出PQ即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；
（2）过点T作TH⊥直线2l，可判断出T上的点到直线2l的最大距离为3
TH+
后根据最大距离的范围求出TH的范围，从而得到FT的范围，根据范围建立不等式组求解即可；
（3）把点P坐标带入表达式，化简得到关于a、b的等式，从而推出直线3l的表达式，根据点E的坐标可确定点E所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可．
【详解】
解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l
，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，
∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ，
∴2x b x
-+=，即220x bx -+=，只有一个解， ∴24120b ∆=-⨯⨯=，解得22b =，
∴22y x =-+，
联立222y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩
，解得22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()2,2P ， ∴2PM OM ==，且点P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ， ∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2，
∵直线1l ：2y x =--，
∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-，
∴A(－2，0)，B(0，－2)，
∴OA=OB=2，
又∵OQ 平分∠AOB ，
∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，
∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离，
∵OA=OB ，
∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=︒，
∴AQ=OQ ，
∴在Rt AOQ 中，OA=2，则OQ=2，
∴22PQ OP OQ =+=+，即()1,22min D H l =+；
（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，
则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤
由题60HFO ∠=︒，则3FT =
， ∴610FT ≤≤， 又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤， 解得63103t ≤≤103165-≤≤-；
（3）∵直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝+-+⎭
+， ∴把点P 代入得：
2111211184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪--⎝⎭， 整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---， ∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩，化简得224801a b c c +-+=⎧⎨=⎩
， ∴182
b a =-+， 又∵点(),D a b 恒在直线3l 上，
∴直线3l 的表达式为：182
y x =-
+， ∵()min 3,0D K l =，
∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交，
∵(),28E m m +，
∴点E 一定在直线28y x =+上运动，
情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +，
∴(),28m m F ---，
把点F 代入182y x =-
+得：18282m m +=--，解得：325
m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向下运动，即325
m ≤-；
情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，
把点E 代入182y x =-
+得：18282
m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，
∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，
综上所述，325m ≤-或0m ≥． 【点睛】 本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．
6．(1)证明见解析；(2)213；(3)
2330a 【解析】
【分析】 (1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明；
(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．
【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，
∴∠DEB=∠D ，
∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6，
∴BG=11322
BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==
∵BF ⊥EC ，
∴BF ∥AG ，
∴AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2， ∴BE=
23BG=2，
∴EG=BE+BG=3+2=5
，
在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知
AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=
211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ， ∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+， ∵33AG BG ==
， ∴233525
BF a a =⨯=， ∴△OFB 的面积＝
21313223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
7．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【解析】
【分析】 （1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12
AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32
QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，5BQ x =
= ∵OD m ⊥，m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ = ∴122AH BH AB x ==
= ∴2CD x = ∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形
∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．
（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =
①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x =
∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23
x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =
或3AP = 【点睛】
本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
8．（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AD BD ⊥得到AB 是直径，连接OC 、OD ，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得30EBD ∠=︒，再进一步求得E ∠的度数；
（2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得．
【详解】
解：（1）连接OC 、OD ，如图：
∵AD BD ⊥
∴AB 是直径
∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形
∴60COD ∠=︒
∴30DBE ∠=︒
∴60E ∠=︒
（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒
证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：
∵1OD OC CD === ∴OCD 为等边三角形
∴60COD ∠=︒
∴30DAC ∠=︒
∴30EBD ∠=︒
∵90ADB ∠=︒
∴903060E ∠=︒-︒=︒
②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒
证明：连接OC 、OD ，如图：
∵AD BD ⊥
∴AB 是直径 ∴1OC OD CD ===
∴OCD 是等边三角形
∴60COD ∠=︒
∴30DBE ∠=︒
∴903060BED ∠=︒-︒=︒
③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒
证明：如图：
∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与
O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线
∴90ABE ∠=︒
∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =
∴30A ∠=︒
∴60E ∠=︒．
故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质．此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径，进一步发现等边COD △，从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．
9．（1）(C 8,43；（2）t=18s ；（3）t 1513=
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．
（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．
（3）设M （﹣5+t ，3），EF 12
=
AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题．
【详解】 （1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．
∵A （20，0），AB =16，∴OA =20，OB =4．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =16，∠CAB =30°，∴BC 12
=
AB =8，CH =BC •sin60°=43，BH =BC •cos60°=4，∴OH =8，∴C （8，43）．
（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．
∵MN =MH 3MN ⊥BC ，MH ⊥BA ，∴∠MBH =∠MBN =30°，∴BH 3==9，∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时，t 的值为18s ．
（3）∵C （8，3B （4，0），A （20，0）．
∵CE =EB ，CF =FA ，∴E （6，3），F （14，3），设M （﹣5+t ，3），
EF 12
=AB =8． ∵∠EMF =90°，∴EM 2+MF 2=EF 2，∴（6+5﹣t ）2+32+（14+5﹣t ）2+32=82，整理得：t 2﹣30t +212=0，解得：t =1513
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
10．（1）()221y x =--；（2）1023n <<
；（3）552
M x << 【解析】
【分析】
(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A 点坐标可求B 点坐标，代入解析式可得；
(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P ，由题意可得
ACB BCP ∠>∠，过点C 作//l x 轴.作PD l ⊥，可得ACO PCD ∠=∠，设
()2,43P t t t -+，由13
tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；
(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，设M 点坐标为()2,43t t t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
， 由两点间距离公式可得2MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2CN =221522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由3MN CN =可得：52t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围.
【详解】
解：()1对称轴为422a x a
-=-= ()3,0B ∴
()0,1C ∴
代入
()2
24321y x x x ∴=-+=-- ()()222:21C x n ---
()2423x n x =-++
CAP ∆的内心I 在CAB △内部
,ACB BCP ∴∠>∠
∴当ACB BCP ∠=∠时
过C 作//l x 轴.作PD l ⊥
,ACB BCP ∠=∠
90,OCD ∠=
45,DCB ∠=
,ACO PCD ∴∠=∠
13
tan ACD tan PCD ∠=∠= 设()
2,43P t t t -+ 13
PD CD ∴= 3p y DP OC +==
214333
t t t ∴-++= 113
t = 将P 代入2C 解析式中 103n ∴=
又P 在第一象限内
h AB ∴>
2n ∴>
1023n ∴<< (3) 552
M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：
由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3,
MCB ∠为直角，C(0,3)，
∴直线CM 的解析式为：y=x+3，
则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为：
2343x x x +=-+，
解得：x=5或0(舍去)，
所以，当MCB ∠为直角时，5M x =；
当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示： 过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，
设M 点坐标为(
)
2
,43t t t -+，
MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3, ∴MN 解析式可设：y=x+b,
将P (
)
2
,43t t t -+代入解析式可得： b=253t t -+,
则直线MN 解析式为：253y x t t =+-+， 将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：
N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭
，
∴2MN =2
2
22215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
= 2
21322
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 2
CN = 22
221
5152
222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2
21522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 由
3MN
CN
=可得： 2213221522
t t t t --=3； 解得：5
2
t =或0(舍去) ；
∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：
5
52
M x <<. 【点睛】
本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键. 11．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 992
2
m -+= 【解析】 【分析】 (1)把
,
,代入
,解方程组即可.
(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将
绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,
则点G在线段BC上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O顺时针旋转
得到,首先证明,设,,则
,
设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,由,推出,,M、N关于直线对称,
所以,设,则,利用勾股定理求出a以及MN的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.
【详解】
(1), ,,代入,
得,解得,
∴抛物线的解析式为
(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K.
由题意,,,,
,,
,
将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.
设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,,
,
∴直线OD的解析式为,
,
∴直线OG的解析式为,
由解得或, 点P在对称轴左侧,
点P坐标为
(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到
,
,
,,,
,
,
,
,
,
设,,则
, 设平移后的抛物线的解析式为,
由消去y得到,
,
, ∴M 、N 关于直线
对称,
,设
,则
,
,
(负根已经舍弃), ,
,
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大. 12．（1）详见解析；（2）333CD =或3；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题；
（2）如图3中，作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，分两种情形构建方程求解即可；
（3）①当△AFE ∽△EFC 时，连接BC ，AC ，BD ．②当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．③当△AFE ∽△CEF 时，分别求解即可，注意答案不唯一． 【详解】
解：（1）如图1，∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===，90A D ∠=∠=，E 为AD 中点
∴2AE ED ==，∵1AF DH ==，∴1
2
AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽
∴AEF DCE ∠=∠，AFE DEC ∠=∠ ∵//AF DH ，∴四边形AFHD 为平行四边形
∴AD FH ，∴AEF EFG ∠=∠，DEC EGF AFE ∠=∠=∠
∴AEF EFG ∆∆∽
∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.
（2）如图2，过点D 作DE BA ⊥，垂足为E ，设AE a = ∵120A CBD ∠=∠=，∴60EAD ∠=，∴3DE a =
∵2AB =，6BD =
∴()2
2236a a ++=
31
2
a -=
（负根已经舍弃）， ∴31AD =-
分为两种情况：
①如图3，当ABD BCD ∆∆∽时，AD BD
BD CD
= ∴
(
)
316CD -=，∴333CD =+
②如图4，当ABD BDC ∆∆∽时，AB BD
BD CD
= ∴26CD =，∴3CD = 综上，333CD =+或3
（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ， ∴AFE BEC ∠=∠，
AF EF AF
AE EC BE ==，∴AFE BEC ∆∆∽，∴90B ∠= 由“一线三等角”得83
AF =
.
②如图，当△AFE∽△FEC时，作CH⊥AD交AD的延长线于H，作OM⊥AD于M，连接OA．
∵△AFE∽△FEC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AD∥EC，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四边形AEOM，四边形AECH都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM=MD=3，
∴AM=OE=3，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=4，
∴OA=22
34
+=5，
∴CE=AH=8，设AF=x，则FH=8-x，CH=AE=4，
由△AEF∽△HFC，可得AF
CH
=
AE
FH
，
∴
4
48
x
x =
-
，
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴AF=4．
③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形，AF=EC=8．
综上所述，满足条件的AF的长为8
3
或4或8．（答案不唯一）
【点睛】
本题属于圆综合题，考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。