高三中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试题及答案解析

学科（历史、政治、地理）的 6 门学科中选择 3 门学科参加考试。根据以往统计资料，1 位同学 选择生物的概率为 0.5，选择物理但不选择生物的概率为 0.2，考生选择各门学科是相互独立的． （1）求 1 位考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门的概率； （2）某校高二段 400 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 140，求 1 位考生同时选择生
中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试
文科数学试卷（一卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知集合U = N, A = x x = 2n,n N,B = x 1 x 6,n N ，则 ( A) B = U
在直角梯形 ABCD 中，AC = 2，AB = 2AP，AP ⊥?PC ， 所以 PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点，所以 PO ⊥ AC ． BE AC = O, BE 面ABCD ，所以 PO ⊥ 平面 ABCD …………………………6 分
（2）法一：以 O 为原点，分别以 OB，OC，OP 为 x 轴， y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设 BO =1
6．点 P, Q 在圆 x2 + y2 + kx − 4y + 3 = 0 上 ( k R) ，且点 P, Q 关于直线 2x + y = 0 对称，则该圆
的半径为
A． 3
B． 2
C．1
D． 2 2
7．已知函数 f ( x) = x3 − x 和点 P (1，−1) ，则过点 P 与该函数图像相切的直线条数为
文科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DAD A B B BCBADC
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. −1, 0) (0,1
………………………………12 分
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18．解：（1）设数列{an} 的公差为 d（ d 0 ），
由题意得
a1 = 1
a2
2
=
a1a5
，解得
da1
=1 =2
所以 an = 2n −1, Sn = n2
………………………………3 分 ………………………………6 分
（2）因为
bn
=
(2n
A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．在△OAB 中，已知|OB|= 2,|AB|=1, ∠AOB = 45 ，点 P 满足 OP = OA + OB(, R) ，其
中 , 满足 2 + =3 ，则|OP| 的最小值为
35 A． 5
25 B． 5
6 C． 3
物、物理两门学科的概率．
18．（12 分）设数列an是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn , a1 = 1 ．若 a1, a2, a5 成等比数
列．
（1）求 an 及 Sn ；
（2）设 bn
=
1 a2
n +1
−1
(n N ) ，求数列
bn
前 n 项和Tn ．
19．（12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中， AP ⊥ 平面 PCD , AD / / BC , DAB = , 2
A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0),
设 n = (x, y, z) 是平面 PBD 的法向量．
满足
n
PB
=
0
n BD = 0
,所以
−x + z = 0 −3x + y = 0
，则令 x = 1
，解得
n = (1,3,1) …………9 分
sin = cos AB, n = AB n = 2 22 ……………………………12 分 AB n 11
= 1,
PO
=
2 2
解得 h = 2 22 11
sin = h = 2 22 AB 11
…………………………11 分 …………………………12 分
20．解（1） ln x + a x 在 (0,1恒成立，得 a x − x ln x 在 (0,1恒成立。
x
令 h(x) = x − x ln x ，则 h'(x) = 2 x − ln x − 2
的直线 l 与圆 Q 有交点．
（1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）求△AOB 面积的取值范围．
（第 19 题图） （第 21 题图） （第 21 题图）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
（2）即证： ln m ln n − mn 1 ， m,n (0,1) 4
由（1）知，ln x + 1 x ，即 − ln x 1− x ，当且仅当 x = 1 时取到等号，因为 m,n (0,1) ，
x
x
所以 0 − ln m 1− m = n ,0 − ln n 1− n = m ，所以 lnmln n mn ，……9 分
法二：（等体积法求 A 到平面 PBD 的距离）
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设 AB=1 ，点 A 到平面 PBD 的距离为 h ，计算可得 PB=1,PD=
3 ,BD=
5 , S ΔPBD =
11 4
VA−PBD = VP−ABD
…………………………9 分
1 3
S
ΔPBD
h
=
1 3
S
ΔABD
PO , SABD
B． x2 + y2 = 1 34
C． x2 + y2 = 1 96
D．0 D． x2 + y2 = 1
69
ln x 4．函数 f (x) = 的部分图像是
x3
A
B
C
D
5．已知
(0,
)
， sin
+
3
=
3 5
，则
cos
2
+
6
=
A． 24 25
B． − 24 25
C． 7 25
D． − 7 25
（2）若曲线
C 1
上恰有一个点到曲线
C2
的距离为
1，求曲线
C2
的直角坐标方程．
23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） （1）解不等式 x +1 − 2x − 5 + 3 − 2 2 0 ； （2）求函数 y = 3 2x − 4 + 2 3 − x 的最大值．
中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 1 月测试
x = 1+ 2 cos α
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C 1
的参数方程为
y
=
−
（其中 为参数, R ）．在极 3 + 2 sin α
坐标系（以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，曲线 C2 的极坐标方程为
ρ
sin
θ
−
π 6
=
a
．
（1）求曲线
C 1
的普通方程和曲线
C2
的直角坐标方程；
14. (0, 2 4
15.
( −, 0)
0,
1 2
1
16.
4
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分． 17． 解：记 A 表示事件：考生选择生物学科
6 D． 2
11．边长为 2 的等边△ABC 和有一内角为 30 的直角△ABC1所在半平面构成 60 的二面角，则下
列不可能是线段 CC1 的取值的是
A． 30 3
B． 10
C． 10 2
D． 10 3
12．已知不等式 x + a ln x + 1 xa 对 x (1,+) 恒成立，则实数 a 的最小值为
ex
A． − e
B． − e 2
C． −e
D． −2e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．如图所示的程序框图的输出值 y (0,1 ，则输入值 x
．
14．在△ABC 中， 2b sin A = a cos(B − ) , b = 2 ，若满足条件的 6
△ABC 有且仅有一个，则实数 a 的取值范围是
为
．
（第 16 题图）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每道试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分． 17．（12 分）根据某省的高考改革方案，考生应在 3 门理科学科（物理、化学、生物）和 3 门文科
B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；
C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门学科；
D 表示事件：选择生物但不选择物理
E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科
（1） P ( A) = 0.5，P ( B) = 0.2，C = A B , A B = ………………………………2 分
P (C ) = P ( A B) = P ( A) + P ( B) = 0.7
………………………………5 分
（2）由某校高二段 400 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 140，
可知 P(D) = 0.35
………………………………7 分
因为 D E = A
………………………………9 分
P(E) = P(A)− P(D) = 0.5 − 0.35 = 0.15
2x
…………………………2 分
令 u(x) = 2 x − ln x − 2, 则 u' ( x) = 1 − 1 0 在 (0,1恒成立，
xx
所以在 (0,1上， u(x) u(1) = 0, 所以在 (0,1上 h'(x) 0 ，
所以 h(x)在 (0,1上递增，所以在 (0,1上 h(x) h(1) = 1，所以 a 1 ……………………5 分
AP = AB = BC = 1 AD , E 为 AD 的中点， AC 与 BE 相交于点 O ．
2 （1）求证： PO ⊥ 平面ABCD ； （2）求 AB 与平面 PBD 所成角 的正弦值．
（第 19 题图）
20．（12 分）已知 f (x) = ln x , g(x) = x ．
（1）若 f (x) + a g(x) 在 (0,1] 恒成立，求实数 a 的取值范围；
A．1
B．2
C．3
8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是
A． 7 cm3 2
B． 7 cm3 3
C． 7 cm3 6
D．4
1 1
2 正视图
D． 7 cm3
俯视图
1
2 侧视图
9．已知数列 an 是等比数列，前 n 项和为 Sn ，则“ 2a3 a1 + a5 ”是“ S2n−1 0 ”的
A．{2, 3, 4, 5, 6}
B．{2, 4, 6}
C．{1, 3, 5}
D．{3, 5}
2．复数 z = (1− mi)2 ( i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 m =
A． 1
B．－1
C．1
3．以双曲线 y2 − x2 = 1的顶点为焦点，离心率为 3 的椭圆的标准方程为
3
3
A． x2 + y2 = 1 43
．
15．过点 P(1,1) 作直线 l 与双曲线 x2 − y2 = λ 交于 A, B 两点，若点 P 恰
2
为线段 AB 的中点，则实数 的取值范围是
．
(第 13 题图)
16．如图，正三角形 ABC 边长为 2， D 是线段 BC 上一点，过 C 点作直线
AD 的垂线，交线段 AD 的延长线于点 E ，则 AD DE 的最大值
mm
nn
所以 ln m ln n − mn
mn − mn = −
mn
−
1
2
+
1
1
，即f(m)源自f(n)1
+1)2
−1
=
1
4n(n +1)
=
1 4
1 n
−
1 n +1
………………………………9 分
所以 Tn
=
n
4(n + 1)
………………………………12 分
19．解（1）
由已知 AP ⊥ 面 PCD ，可得 AP ⊥ PC ， AP ⊥ CD ， 由题意得， ABCD 为直角梯形，如图所示，易得 BE / /CD ,所以， AP ⊥ BE ． 又因为 BE ⊥ AC，所以 BE ⊥ ⊥ 面 APC ,故 BE ⊥ PO． ………………………………3 分
g(x)
（2）若 m , n 0 , m + n = 1，求证 f (m) f (n) −[g(m)]2[g(n)]2 1 ．
4
21．（12 分）如图，已知圆 Q：( x + 2)2 + ( y − 2)2 = 1 ，抛物线 C : y2 = 4x
的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点，过 F 且与 l 垂直