垂径定理及其推论

证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
课堂讨论
① 根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
D
A
B
E
O
A
DB
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
垂径定理及其推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
短的弦等于 2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O
D
P E
C
A
A OM
2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，AB 设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
试一试
1.判断：
()(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
√( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
5 3 OO
A
4 PP B
D
3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
·O
E
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
证求AD明证=：：BD连CD,接⊥OAAB，，O且⌒B，⌒则A⌒C
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
小练习 C
已知：A⌒B．
求作：A⌒B的中点．
E
A
B
作法：
1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 平分线 C⌒D，交 AB于点E．
点E就是所求A⌒B的中点． D
已知：A⌒B． 求作：A⌒B的四等分点．
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即 R2=18.72+（R－7.2）2
R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8
求这两条平行弦间的距离.
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
垂径定理的推论2
C A
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
作法： 1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 于点E． 3． 连结AC．
4平．分作线A，C的交垂A⌒C直 于点F． 5． 点G同理．
D A
C E
B
点D、C、E就是A⌒B的四等分点．
× 作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
C
A
B
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线．
你能确定A⌒B的圆心吗？ C
A
=⌒BC
E D
B
OA=OB ∵ AE=BE
∴ CD⊥AB ∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理&三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d 2 (a)2
2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件。
作法： 1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 A
B
于点C．
3． 作AC、BC的 垂直平分线．
4． 三条垂直平分 线交于一点O．
O 点O就是A⌒B的圆心．
你
能
破
镜 重
A
圆
吗？
m
n
C
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，
交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C
A ·O B
D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4 22
·
在Rt △ AOE 中
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
所对的两条弧．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
解决求赵州桥拱半径的问题